Золотое сечение - Божественная мера красоты.
Числа Фибоначчи.
Урок новых знаний, бинарный урок
Дата: 30.11.16
Класс: 11
Предмет – математика, биология
Цели:
Образовательные: организация исследовательской работы учащихся с различными источниками информации, развитие умений анализировать и передавать информацию, присваивать ее, увязывая новое (на стадии осмысления) с уже имеющимися знаниями, представлениями; интерпретировать, применять информацию на стадии рефлексии.
Воспитательные: развитие коммуникативных способностей (умение вести диалог, дискутировать на уроке, работать в группах); усвоение этических норм межличностного общения; воспитание ответственного отношения к общему делу;
Развивающие: формирование навыков самостоятельной учебно-исследовательской деятельности; формирование умений работать с дополнительными источниками, в том числе интернет-источниками; развитие коммуникативных навыков личности; формирование этических и эстетических представлений учащихся; информационно-коммуникационное развитие старшеклассников.
Задачи урока:
– познакомить учащихся с последовательностью чисел Фибоначчи и её математическими свойствами;
– формировать навыки самостоятельной работы с большим объемом информации;
– формировать умение видеть проблему и находить пути ее решения; применять базовые знания для решения конкретных задач
– превратить работу над исследованием свойств последовательности Фибоначчи в увлекательный процесс поиска математических закономерностей в мире, который нас окружает;
– способствовать выработке нового научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии “золотого сечения”, открыть новые грани человеческой культуры, связанные с “золотым сечением” и числами Фибоначчи;
Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят ученики в ходе урока:
– приобретут знания о последовательности чисел Фибоначчи и её математических свойствах;
– приобретут знания в области теории Золотого Сечения и его приложений в различных сферах современной науки и искусства;
– актуализируют знания в области информационно-коммуникационных технологий, интернет-технологий, программирования;
Необходимое оборудование и материалы: мультимедиа проектор, раздаточные материалы.
Ход урока:
Учитель математики: Здравствуйте, сегодня мы с вами поговорим о строении вселенной, органического мира и микромира с точки зрения математических формул. (Слайд 2)Цель нашего урока – развить ваш познавательный интерес, расширить кругозор, сделать так, чтобы эти новые знания стали также существенными элементами вашего математического и общего образования.
Учитель биологии: (Слайд 3)Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи "Мона Лиза", подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?
Учитель математики: (Слайд 4)на прошлом уроке мы с вами проходили тему «Площадь поверхностей, фигур образованных телами вращения». И сейчас будет небольшой опрос по этой теме. (опрос)
Хорошо. А теперь, давайте поставим перед нами проблемный вопрос: (Слайд 5)Каково золотое сечение усеченного конуса. И в конце урока мы с вами ответим на этот вопрос
Решение этой задачи сокрыто в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. И сейчас Алина Сернецкая нам кратко расскажет об этом великом ученом. Алина Сернецкая
Учитель математики: после открытия Леонардо Фибоначчи эти числа так и стали называться его именем. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, (Слайд 6)что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.
Итак, числа, образующие последовательность:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…..
называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. В этих числах существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.618 и через раз то пpевосходящая, то не достигающая его.
Учитель биологии: более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция.
Учитель математики: в математике это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф) (Слайд 7)
Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
Учитель биологии: итак, тело человека и золотое сечение. (Слайд 8)
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы: (Слайд 9)
M/m=1,618
Первый пример золотого сечения в строении тела человека: Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.
Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:
* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;
* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;
* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;
* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;
* расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;
* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;
* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618:
На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:
* Высота лица / ширина лица;
* Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа;
* Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;
* Ширина рта / ширина носа;
* Ширина носа / расстояние между ноздрями;
* Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.
* У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи:
Учитель математики: Строение золотого ортогонального четырехугольника и спирали.(Слайд10)
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,618 : 1. (Слайд 11)
Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).
Учитель биологии: (Слайд 12)
* Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. Самые наглядные примеры - спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.;
* Ботаники установили, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника или шишек сосны со всей очевидность проявляется ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляется закон золотого сечения;
У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали.
Учитель математики: вычислим несколько первых членов такой последовательности: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377 и т.д., которые уже встречались нам в задаче о кроликах. В честь автора этой задачи вся последовательность при U1=U2=1 называется рядом Фибоначчи, а члены ее – числами Фибоначчи. Эти числа обладают целым рядом интересных и важных свойств. Рассмотрим некоторые из них.
Сумма первых n чисел Фибоначчи можно вычислить по формуле: (Слайд 13)
U1+U2+…+Un=Un+2-1
Докажем это:
U1= U3– U2
U2= U4– U3
U3= U5– U4
……………
Un-1= Un+1– Un
Un= Un-2– Un+1
Сложив все эти равенства почленно, получим: U1+U2+ U3+…+Un=Un+2 – U2, вспомним, что U2=1, значит U1+U2+ U3+…+Un= Un+2 – 1
Сумму чисел Фибоначчи с нечетными номерами можно вычислить по формуле:
U1+U3+ U5+…+U2n-1=U2n
Сумму чисел Фибоначчи с четными номерами можно вычислить по формуле:
U2+U4+ U6+…+U2n=U2n+1-1
Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи:
U12+U22+…+Un2=Un?Un+1
Учитель биологии: (Слайд14)бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали. Строение таких микроорганизмов, как планктоны ( виды globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae и trochida) также имеют форму спирали.
Золотое сечение в строении микромиров.(Слайд 15)
Учитель математики: Геометрические фигуры не ограничиваются только лишь треугольником, квадратом, пяти- или шестиугольником. Если соединить эти фигуры различным образом между собой, то мы получим новые трехмерные геометрические фигуры. Примерами этому служат такие фигуры как куб или пирамида.
Учитель биологии: В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов - вирус Adeno. Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно?
Золотые пропорции в строении молекулы ДНК.
Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра). 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618
Золотые пропорции в космическом пространстве.
Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.
Закрепление:
Учащиеся разбиваются на 4 группы, каждая из которых получает следующую задачу:
Крестьянин оставил по завещанию каждому наследнику определенный надел. Используя золотой прямоугольник решите, какова площадь всех наделов, площадь каждого надела, если площадь самого маленького надела 4 га
Рефлексия деятельности на уроке.
Листки самоконтроля и проведенное после уроков анкетирование показало: большинство учащихся находят полезным и интересным проведение интегрированных уроков, приобретают практический опыт работы с интернет-источниками, чувствуют себя интеллектуально и духовно обогащенными; старшеклассниками приветствуется предоставляемая им свобода творчества, реализуемая в том числе в сфере информационно-коммуникационных технологий.
Домашнее задание:
Задача №1 (легкий уровень)
Условие
Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвёртому – столько же, сколько второму и третьему. Пятому – столько же, сколько третьему и четвёртому. Шестому – столько же, сколько четвёртому и пятому. А седьмому не досталось – каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?
Решение:
Заменив первых двух птенцов на третьего, а шестого – на пятого и четвёртого, увидим, что общее количество каши в два раза больше, чем получили третий, четвёртый и пятый птенцы. Но это в 4 раза больше, чем досталось пятому птенцу, значит, сорока-ворона сварила 10·4 = 40 г каши.
Ответ: 40 г.
Задача №2
Условие
Найдите количество слов длины 10, состоящих только из букв "а" и "б" и не содержащих в записи двух букв "б" подряд.
Подсказка
Обозначьте за an количество слов длины n, состоящих только из букв "а" и "б" и не содержащих в записи двух букв "б" подряд. В последовательности a1, a2, ..., an выразите каждый следующий член через предыдущие.
Решение:
Обозначим за an количество слов длины n, состоящих только из букв "а" и "б" и не содержащих в записи двух букв "б" подряд. Таким образом, находим a1=2, a2=3. Покажем, что an можно выразить через an-1 и an-2. Количество слов длины n, не содержащих в записи двух букв "б" подряд и начинающихся с буквы "а", равно an-1, так как после первой буквы может следовать любое слово длины n-1, не содержащее двух "б" подряд. Пусть слово длины n начинается с буквы "б". Если в этом слове нет двух "б" подряд, то вторая буква - "а", а далее может следовать любое слово длины n-2, не содержащее двух "б" подряд. Таким образом, количество слов длины n, не содержащих в записи двух букв "б" подряд и начинающихся с буквы "б", равно an-2. Тем самым, мы показали, что an=an-1+an-2. Теперь последовательно вычисляем a3=a2+a1=3+2=5, a4=a3+a2=5+3=8 и т.д., a10=a9+a8=144. Заметим, что получающиеся числа an - это хорошо известные числа Фибоначчи.
Ответ: 144
Задача №3
Условие
Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
Решение:
Обозначим через аn число способов подняться на лестницу из n ступенек, соблюдая условия задачи. Очевидно, a1 = 1, a2 = 2.
Пусть Петя запрыгивает на лестницу из n > 2 ступенек. Если первый прыжок был на две ступеньки, то ему осталось запрыгнуть на n – 2 ступеньки, и число способов закончить подъем равно an–2. Если же первый прыжок был на одну ступеньку, то число способов закончить подъем равно an–1. Значит, an = an–1 + an–2.
Это равенство позволяет, зная a1 и a2, вычислять последовательно все an ):
a3 = 3, a4 = 5, a5 = 8, a6 = 13, a7 = 21, a8 = 34, a9 = 55, a10 = 89.
Ответ: 89 способов
