PROYEKSIYALASH USULLARI. MARKAZIY, PARALLEL VA ORTOGONAL PROYEKSIYALASHNING XOSSALARI
Djurayeva Saodat Rahmatovna
katta o’qituvchi TIMI Buxoro filiali
1.1. Kirish. Chizma vа uning maqsadi. Chizma geometriya umumiy geometriyaning bir shoxobchasi bo‘lib, u narsalarni tasvirlash usullari yordamida ularning shakllari, o‘lchamlari va o‘zaro joylashishlariga tegishli pozision va metrik masalalarni yechishni o‘rganadi.
Chizma geometriya boshqa geometriyalardan o‘zining asosiy usuli tasvirlash usuli bilan farq qiladi va u matematika fanlari bilan uzviy bog‘liq bo‘lib, umumtexnika fanlaridan hisoblanadi. U o‘zining tasvirlash usullari yordamida o‘quvchining fazoviy tasavvurini kengaytiradi. Tasvirlarni yasash va oldindan yasalgan tasvirlarni o‘qiy bilish, hamda amaliyotdagi turli muhandislik masalalarini yechishga yordam beradi. Chizma geometriya qonun va qoidalari bilan nafaqat mavjud narsalarni, balki tasavvur qilinadigan narsalarni ham tasvirlashi mumkin.
Fazodagi shakllarning tekislikdagi chizmalari chizma geometriya usullari bilan ma’lum qonun-qoidalar asosida hosil qilinadi. Bu chizmalar orqali buyumning fazoviy shaklini chizish va o‘lchamlarini aniqlash mumkin. Chizmalar yordamida geometrik shakllarga tegishli stereometrik masalalar yechiladi. Chizmalarsiz fan va texnika taraqqiyotini tasavvur qilib bo‘lmaydi. Arxitektorlar va muhandislar o‘z ijodiy fikrlarini faqat chizmalar yordamida to‘liq bayon eta oladilar.
Chizmalar bo‘yicha barcha muhandislik inshootlari quriladi, mashinalar, mashina qismlari, medisina asboblari va xokazo buyumlar ishlab chiqariladi.
Shakllarning bizga ma’lum bo‘lgan barcha geometrik xossalarini ularning chizmalaridan olingan ma’lumotlardan ham aniqlasa bo‘ladi. Shuning uchun ham buyumlarning chizmalarini ularning geometrik xususiyatlarini o‘zida aks ettiruvchi tekis geometrik modellar deb atash mumkin.
Chizma geometriya fanida quyidagilar o‘rganiladi:
Fazoviy shakllarning tekislikdagi tasvirlarini, ya’ni tekis modellari (chizmalari)ni yasash usullari;
Tekis chizmada geometrik masalalarni grafik yo‘l bilan yechish usullari;
Shakllarning berilgan tekis chizmalari bo‘yicha ularning fazoviy ko‘rinishini va vaziyatini tasavvur qilish hamda ularning yaqqol tasvirlarini yasash usullari;
Geometrik shakllarning chizmalarini bajarish va o‘qish orqali o‘quvchining fazoviy tasavvurini rivojlantirish usullari.
Ma’lumki, geometrik shaklning xossalarini analitik va grafik usullarda tekshirish mumkin. Figuralarning grafik modeliga asosan ularning analitik usulda berilishini va aksincha, figuralarning analitik ko‘rinishidan ularning chizmalarini yasash usullarini chizma geometriyada ham ko‘rish mumkin.
Loyihalanadigan buyumlarni faqatgina grafik usulda tasvirlash hozirgi zamon ishlab chiqarishi talablarini qanoatlantirmaydi. Shuning uchun chizmalarni bajarishda grafik usullar bilan birgalikda analitik usullardan ham foydalaniladi.
Keyingi yillarda buyumlarning chizmalarini kompyuter grafikasi vositalari yordamida tayyorlashda avtomatlashtirilgan loyihalash tizimlarining kirib kelishi chizma geometriya fanining rivojlanishtirishda yangicha mazmun kasb etmoqda.
1.2. Proyeksiyalash usullari. Muhim geometrik tushunchalardan biri – shakllarni tasvirlashdir. Geometrik tasvirlash bu biror shaklning nuqtalari bilan ikkinchi shaklning nuqtalari orasida bir qiymatli moslik o‘rnatishdir.
Chizma geometriyada uch o‘lchamli R3 fazoning (tekislikning) har bir nuqtasini ikki o‘lchamli R2 fazoning (tekislikning) har bir nuqtasiga aniq grafik qoidalar asosida mos keltirib, bir qiymatli moslik o‘rnatiladi. Shuning uchun chizma geometriyani fazoni tekislikda aks ettiruvchi grafik tasvirlash geometriyasi deb yuritish mumkin.
Geometrik fazoni nuqtalar to‘plami deb qaralib, ularni proyeksiyalash yo‘li bilan tekislikda aks ettiriladi. Masalan, fazoda biror S nuqta tanlab, shu nuqtani fazoning hamma nuqtalari bilan birlashtiriladi. Unda markazi S nuqtada bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar dastasi hosil bo‘ladi. Shu fazoda biror P tekislikni kiritamiz. Unda S markazli chiziqlar dastasi bilan P tekislik kesishib, nuqtalar to‘plamini hosil qiladi. Tekislikdagi bu nuqtalarni fazodagi nuqtalarning tasviri (proyeksiyasi) deb yuritiladi. Bunda fazodagi nuqtalari bilan P tekislik nuqtalar orasida bir qiymatli moslik o‘rnatiladi. Agar S markazli chiziqlar dastasi fazosiga biror sirt kiritilsa, u holda bu sirtda fazodagi nuqtalarning tasviri hosil bo‘ladi va fazo nuqtalari bilan sirt nuqtalari orasida bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.
Chizma geometriyada fazodagi shakllar markaziy yoki parallel proyeksiyalash usullari bilan biror tekislikda tasvirlanadi. Bu tekislikni proyeksiyalar tekisligi deb yuritiladi. Shakllarning proyeksiyalar tekisligidagi tasvirini yasash esa ma’lum qonun va qoidalarga asoslanib bajariladi.
Markaziy proyeksiyalash usuli
Markaziy proyeksiyalash usuli geometrik shakllarni tekislikda proyeksiyalashning umumiy holidir.
Markaziy proyeksiyalashda proyeksiyalar markazi S va proyeksiyalar tekisligi P beriladi (1.1-rasm). S va P sistemasida fazodagi biror A nuqta berilgan bo‘lsin. A nuqtani S markaz orqali proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalaymiz. Buning uchun S markaz bilan A nuqtani to‘g‘ri chiziq orqali birlashtirib, uni davom ettiramiz. Hosil bo‘lgan SA proyeksiyalovchi nur proyeksiyalar tekisligi P bilan AP nuqtada kesishadi (ya’ni AP=SA∩P). Bunda AP nuqta A nuqtaning S markaz bo‘yicha proyeksiyalar tekisligidagi markaziy proyeksiyasi deb yuritiladi.
Fazodagi ikkinchi biror ixtiyoriy B nuqta ham A nuqta singari proyeksiyalanib, SB∩P=BP nuqtaning P proyeksiyalar tekisligidagi vaziyati aniqlanadi. Agar biror S nuqtani P proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalovchi SS nur P tekislikka parallel bo‘lsa (SS‖P), u holda bu nur P tekisligi bilan cheksiz uzoqlikda kesishib, SP xosmas nuqtani hosil qiladi. SA, SB, SS,… to‘g‘ri chiziqlar proyeksiyalovchi nurlar deb yuritiladi.
Fazodagi biror nuqtalar to‘plamini proyeksiyalash markazi S orqali P proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalanganda S markazli to‘g‘ri chiziqlar dastasi hosil bo‘ladi. Bu dastani proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishuvidan hosil bo‘lgan nuqtalar to‘plami fazodagi ma’lum bir nuqtalar to‘plamining tasviri bo‘ladi. Masalan, ABD uchburchakning markaziy proyeksiyasi APBPDP uchburchak bo‘ladi (1.2-rasm).
Proyeksiyalar tekisligining ostida joylashgan E nuqtaning EP proyeksiyasi SE∩P=EP bilan aniqlanadi. Proyeksiyalar tekisligida yotgan K nuqtaning KP markaziy proyeksiyasi nuqtaning o‘zi bilan ustma-ust (KKP) tushadi.
Markaziy proyeksiyalash konusli yoki qutbli proyeksiyalash, yoxud perspektiva deb ham yuritiladi. Masalan, markaziy proyeksiyalash apparatida biror m egri chiziq berilgan bo‘lsin (1.3-rasm). m egri chiziqning nuqtalari to‘plamini proyeksiyalar tekiligiga S markaz orqali proyeksiyalansa, uning proyeksiyasi mP egri chiziq hosil bo‘ladi. U holda S markazdan o‘tuvchi proyeksiyalovchi nurlar to‘plami konus sirtini hosil qiladi.
Markaziy proyeksiyalashda proyeksiyalash markazi va buyumning proyeksiyasiga qarab uning fazodagi vaziyatini aniqlab bo‘lmaydi.
[pic] [pic] [pic]
1.1-rasm. 1.2-rasm. 1.3-rasm
