Джаманбалин К. К.

Карасева Э.М.

Методические указания к решению задач

(МЕХАНИКА)

Учебно-методическое пособие

г. Костанай-2007

Рецензенты:

Медетов Н.А.– кандидат физико-математических наук, профессор

Казин М.А.-кандидат педагогических наук

Джаманбалин К. К., доктор физико-математических наук, профессор

Карасева Э.М., доцент кафедры физики и информатики

Методические указания к решению задач. Механика : Учебно-методическое пособие. Костанайский социально-технический университет имени академика Зулхарнай Алдамжар,2007.- 69с.

Учебно-методическое пособие для студентов технических специальностей ВУЗов, обучающихся по кредитной системе обучения.

В пособии даются методические указания к решению задач по основным разделам курса механики и приводятся примеры решения типовых задач. В каждом параграфе приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения рассмотренных задач. Приводятся контрольные задания по курсу механики, для выполнения самостоятельной работы студента.

Предисловие

Кредитная система обучения требует более высокой качественной организации и контроля самостоятельной работы студентов (СРС).

Самостоятельная работа студентов включает выполнение домашних заданий, таких. Как реферат, кейс, решение задач и т.п. Эффективность СРС во многом зависит от ее методической обеспеченности.

К каждому СРС должны быть подготовлены материалы (кейсы, задачи и т.д.), которые позволяют детализировать какие либо вопросы, расширять их, решать задачи и др.

Знание законов физики предполагает уменье не только формулировать эти законы, но и применять их в конкретных случаях при решении задач. Однако именно решение задач вызывает наибольшие затруднения у изучающих физику.

Для решения задач оказывается, как правило, недостаточно формального знания физических законов. В некоторых случаях необходимо знание специальных методов, приемов, общих для решения определенных групп задач. В других случаях таких методов не существует. Тогда главным, что способствует успеху дела (кроме знания теории), становится способность аналитического мышления, т. е. уменье рассуждать.

Предполагается, что, работая с данным руководством, читатель будет пользоваться учебным пособием по курсу механика, а также задачником, в которых он найдет нужный теоретический и справочный материалы. Поэтому в начале каждого параграфа помещен лишь краткий перечень формул и законов, связанных с решением задач, приведенных в данном параграфе. Эти формулы позволяют читателю, приступающему к работе над данным разделом, судить об объеме теоретического материала, необходимого для решения рассматриваемых задач.

Вслед за списком формул в начале каждого параграфа помещены методические указания к решению задач по теме данного параграфа (раздела). В методических указаниях обсуждаются особенности задач данной темы, даются общие методы, приемы их решения.

Важным элементом пособия является решение задач. Приведенные примеры решения задач имеют целью:

а) пояснить применение изложенных методов,

б) углубить понимание физических законов,

в) развить уменье рассуждать.

Оглавление

Предисловие______________________________________________________1

§ 1. КИНЕМАТИКА__________________________________________________________6

А. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ____8

Б. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ____________________________________________10

В. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА____________________________15

§ 2. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА___________________________________________________17

А. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И УПРУГИХ СИЛ_____________________________________________________________18

Б. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ______________________________21

В. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА__________________________________24

§3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ________________________________________________27

А. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ________________________________________29

Б. РАБОТА, ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ________________________31

В. СОВМЕСТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ____________________34

§ 4 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА_____________________________36

§ 5. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ________38

Контрольная работа___________________________________________________42

приложения рисунков________________________________________________65

ЛИТЕРАТУРА______________________________________________________________66

§ 1. КИНЕМАТИКА

Основные формулы

Положение точки о пространстве определяется радиус-вектором [pic] , т. е. вектором, проведенным из начала координат в данную точку.

Перемещение (Δ [pic] ) точки есть вектор, проведенный из ее начального положения в конечное

и равный приращению радиус-вектора данной точки.

Скорость есть производная от радиус-вектора движущейся точки по времени:

[pic] (1.1)

Ускорение точки есть производная от скорости по времени или вторая производная от радиус-вектора движущейся точки по времени;

[pic] (1.2)

В равномерном прямолинейном движении ( [pic] =const) выполняется соотношение

[pic] (1.3)

Формулы движения с постоянным ускорением (а = const);

[pic]

(1.5)

где [pic] — начальная скорость.

В криволинейном движении точки полное ускорение [pic] есть векторная сумма тангенциального [pic] и нормального [pic] ускорений. Модуль полного ускорения равен

[pic] (1.6)

при этом

[pic] (1.7)

[pic] (1.8)

где R — радиус кривизны траектории в данной точке.

Среднее значение модуля скорости точки в промежутке времени от t до t+Δt равно

[pic] (1.9)

где Δs — путь, пройденный точкой за промежуток времени Δt.

Угловая скорость тела есть производная от угла поворота по времени:

[pic] (1.10)

Угловое ускорение тела есть производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

[pic] (1.11)

В равномерном вращательном движении ( [pic] =const) выполняется соотношение

[pic] (1.12)

Формулы равнопеременного вращательного движения тела вокруг неподвижной оси

( [pic] = const):

[pic]

(1.13)

(1.14)

Связь угловых величин с линейными:

[pic]

(1.15)

где s — путь, пройденный точкой вращающегося тела (длина дуги), R — расстояние точки от оси вращения (радиус дуги).

Угловая скорость тела, вращающегося равномерно, связана с числом оборотов в секунду п и периодом вращения Т соотношением

[pic] (1.16)

А. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ

Методические указания

1. Для решения задачи по кинематике надо знать закон (уравнение) движения точки, определяющий ее положение в любой момент времени. В случае равномерного прямолинейного движения такой закон выражается формулой (1.3). Так как при этом модуль вектора перемещения [pic] точки равен пути s, то формуле (1.3) соответствует скалярное уравнение s=vt.

2. Часто в условии задают равномерное прямолинейное движение не одного, а нескольких (обычно двух) тел по отношению к системе отсчета, связанной с Землей, или иной системе отсчета. В таких случаях решение задачи упрощается, если рассматривать все движения в системе отсчета, связанной с одним из движущихся тел. Иногда такой выбор системы отсчета необходим. При этом полезно иметь в виду, что если тело А движется относительно тела В со скоростью [pic] 1, то, как это следует из относительности движения, тело В движется относительно тела А со скоростью [pic] 2, где

[pic] (1.17)

3. Если материальная точка участвует в двух движениях, то ее перемещение [pic] равно векторной сумме перемещений, полученных в каждом движении, независимо от того, последовательно или одновременно происходили эти движения:

[pic]

В последнем случае, разделив обе части уравнения на общий промежуток времени Δt и переходя к пределу, получим согласно (1.1)

[pic] (1.18)

т. е. скорость точки в сложном движении равна векторной сумме ее скоростей в отдельных движениях.

Р [pic] ешение задач

1. 1. Частица А, двигаясь со скоростью v, ударяется о массивную стенку В, которая движется в том же направлении со скоростью u (рис. 1-1).

Определить скорость частицы после удара, если известно, что при ударе о стенку В, когда она неподвижна, частица отскакивает, сохраняя скорость по модулю и изменяя ее направление на противоположное.

Решение. Условие задачи предполагает скорости движения тел А и В заданными в некоторой системе отсчета, например, связанной с Землей. Но при этом дан закон соударения частицы с неподвижной стенкой. Поэтому, для того чтобы решить задачу, необходимо рассмотреть движение частицы в системе отсчета, связанной со стенкой В. В этой системе отсчета стенка будет неподвижной, а движение частицы—сложным, состоящим из двух: относительно Земли со скоростью [pic] и, как это следует из соотношения (1.17), вместе с Землей относительно стенки со скоростью — [pic] . Поэтому в соответствии с формулой (1.18) скорость частицы относительно стенки равна

[pic] [pic]

Согласно условию частица отскочит от стенки со скоростью

[pic]

Теперь вернемся к системе отсчета, связанной с Землей, так как в этой системе надо найти скорость частицы после удара. Движение частицы после удара о стенку и в этом случае состоит из двух: относительно стенки со скоростью [pic] и вместе со стенкой относительно Земли со скоростью [pic] . Следовательно, искомая скорость

[pic]

Отсюда видно, что направление вектора [pic] зависит от соотношения модулей векторов [pic] : 1) если v< 2и, то направление скорости частицы после удара сохранится; 2) если v > 2и, то изменится на противоположное; 3) если v = 2и, то она остановится.

Б. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Методические указания

5. 1. Среди задач на неравномерное (переменное) движение большую группу составляют задачи на движение точки с постоянным ускорением [pic] . Если при этом векторы ускорения [pic] и начальной скорости [pic] лежат на одной прямой, то движение будет прямолинейным. В противном случае точка движется по кривой (параболе) в плоскости, содержащей эти векторы. Движение с постоянным ускорением а происходит, в частности, под действием силы тяжести: когда сопротивление воздуха пренебрежимо мало, все тела падают вблизи поверхности Земли с одинаковым ускорением, направленным вертикально вниз и равным g =9,8 м/с².

   2. К [pic] ак в прямолинейном, так и в криволинейном движениях с постоянным ускорением скорость [pic] точки и ее перемещение [pic] определяются формулами (1.4), (1.5). На рис. 1-2 вектор перемещения [pic] частицы, брошенной под углом к горизонту, изображен в соответствии с (1.5) в виде суммы векторов [pic] Отсюда ясен способ графического решения задачи на определение скорости [pic] частицы и ее перемещения [pic] в любой момент времени, если известны начальная скорость [pic] и ускорение [pic] .

О [pic] днако основным методом решения задач по кинематике (как и по остальным разделам курса физики) является аналитический (численный) метод, при котором от векторной формы записи уравнений переходят к скалярной. Для этого выберем прямоугольную систему координат с осями Ох, Оу, лежащими в плоскости, в которой движется частица. Проектируя все векторы, входящие в уравнения (1.4), (1.5) на оси координат, и учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме их проекций, получим четыре скалярных уравнения соответственно для осей Ох и Оу:

[pic] (1.19)

[pic] [pic] (1.20)

Здесь Δх = х –х0 , Δу = у — уо — проекции вектора перемещения [pic] на оси Ох, Оу, равные приращениям соответствующих координат;

[pic] —проекции векторов [pic] на те же оси. Теперь решение задачи сводится к решению системы уравнений. Например. если неизвестными являются векторы [pic] , то, найдя из уравнений их проекции, легко затем вычислить модули и направления самих-векторов.

Выбор осей определяется условием конкретной задачи. При этом надо стремиться к тому, чтобы часть проекций оказалась равной нулю и уравнения упростились бы. Обычно начало координат совмещают с положением точки в начальный момент времени, т. е. полагают х0= 0, y0= 0, а одну из осей, например Оу, направляют вдоль вектора [pic] . Тогда ax= 0, ay=а. Если при этом векторы [pic] , лежат на одной прямой (оси Оу), то [pic] и вместо (1.19), (1.20) получим два уравнения прямолинейного равнопеременного движения

[pic]

(1.21)

(1.22)

Хотя величины [pic] , у, входящие в (1.21), (1.22), называют обычно скоростью, ускорением и перемещением, они являются, по существу, проекциями соответствующих векторов на ось Оу, т. е. величинами алгебраическими. Эти проекции равны по модулю самим векторам.

Знаки всех проекций, входящих в уравнения (1.19)—(1.22), определяются правилом: если вектор образует с направлением оси проекций острый угол, его проекция положительна, если этот угол тупой — проекция отрицательна. Если направление искомого вектора заранее неизвестно, то поступают так. Предполагают некоторое направление этого вектора и записывают в уравнениях его проекции со знаками, соответствующими выбранному направлению. Если в ответе получен положительный знак, то составляющая вектора вдоль соответствующей оси направлена так, как было предположено, отрицательный знак говорит об обратном.

5. 3. Формулы (1.21), (1.22) применимы также к криволинейному равнопеременному движению, т. е. с постоянным по модулю тангенциальным ускорением. В этом случае у = у (t)—криволинейная координата движущейся точки (длина дуги), отсчитываемая в одну сторону от начальной точки положительной, а в другую — отрицательной; v = dyldt — скорость, а = dv/dt — тангенциальное ускорение.

   4. В общем случае путь s, отсчитываемый вдоль траектории движущейся точки, больше модуля вектора перемещения [pic] ; лишь для прямолинейного движения, происходящего все время в одном направлении, s=| [pic] |. Следовательно, координата у в формуле (1.22), равная по модулю вектору перемещения, выражает пройденный путь также лишь в том случае, когда точка движется по прямой все время в одном направлении. Криволинейная координата у (см. п. 3) также выражает пройденный путь только тогда, когда точка движется вдоль кривой в одном направлении.

   5. В [pic] случае равнопеременного движения точки (прямолинейного или криволинейного), происходящего все время в одном направлении, средняя скорость за промежуток времени [pic] [pic] вычисляется по формуле

[pic] (1.23)

где v1 v2- значения скорости в моменты t1,t 2.

Действительно, в этом случае на графике скорости пройденный путь численно равен площади трапеции (трапеции abed на рис. 1-3), поэтому

[pic]

Подставив это значение Δs в (1.9). получим формулу (1.23).

Существенно, что в остальных случаях переменного движения формула (1.23) может привести к ошибке. Тогда для вычисления средней скорости применяют общую формулу (1.9).

Р

[pic]

1-2. Мячик, брошенный с балкона в вертикальном направлении, через t = 3,0 с упал на Землю. Определить начальную скорость мячика, если высота балкона над Землей равна 14,1 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рис. 1-4

Решение. В условии не указано направление, в котором брошен мяч, — вертикально вниз или вверх. Однако эта неопределенность не является существенной для решения задачи. В любом случае дви­жение мяча будет равнопеременным с ускорением [pic] , а высота балкона над Землей, данная в условии, полностью определяет вектор перемещения [pic] мяча (рис. 1-4). Поэтому для решения задачи достаточно воспользоваться формулой (1.22), выражающей модуль этого перемещения.

1. Предположим, что мяч брошен со скоростью [pic] вертикально вверх. Направим ось проекций у вертикально вниз. Соблюдая правило знаков, получим по (1.22)

[pic]

Решив уравнение относительно v0 найдем

[pic]

Положительный знак величины v0 показывает, что начальная скорость мяча направлена именно так, как мы предположили, т. е. вертикально вверх.

Замечания:1. Легко убедиться в том, что выбор положительного направления оси отсчета произволен. Так, направив ось у вверх, получим уравнение

[pic] ,

которое, очевидно, равносильно предыдущему.

2. Если предположить, что начальная скорость v0 направлена вертикально вниз, т.е. по оси y, то будем иметь

[pic]

Решив это уравнение, найдем v0= -10 м/с. Отрицательный знак показывает, что на самом деле начальная скорость мяча направлена не так, как мы предположили, а вертикально вверх, т. е. пришли к прежнему результату.

В. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Методические указания

Поскольку угловое перемещение [pic] , угловая скорость [pic] и угловое ускорение [pic] связаны между собой так же, как и соответствующие им линейные величины [pic] , методы решения задач на вращательное движение твердого тела во многом совпадают с теми, что были рассмотрены для движения точки. Это относится прежде всего к задачам на равнопеременное вращательное движение тела вокруг неподвижной оси, которое описывается формулами (1.13), (1.14), аналогичными формулам равнопеременного движения точки (1.21), (1.22).

В формулах (1.13), (1.14) величины [pic] — алгебраические. Знак [pic] определяется направлением поворота тела за время t, а знаки [pic] —направлением вращения тела в соответствующие моменты времени. Величины [pic] имеют одинаковые знаки при ускоренном вращении и противоположные — при замедленном. Приступая к решению задачи, можно любое из двух направлений вращения — по часовой стрелке или против — принять за положительное.

1. Если тело одновременно участвует в двух вращательных движениях с угловыми скоростями [pic] относительно двух пересекающихся осей, то результирующее движение будет также вращательным с угловой скоростью, равной [pic] . Напомним, что направления вектора угловой скорости и вращения тела связаны правилом правого винта.

Решение задач

[pic]

1

a

Решение. Разложив вектор [pic] точки М на тангенциальное [pic] и нормальное [pic] ускорения, видим (рис. 1-5), что искомый угол определяется соотношением

tg α= [pic]

Поскольку в условии дано лишь число оборотов, перейдем к угловым величинам, применив формулы (1.15). Тогда получим

tg α= [pic] (1)

Так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами ,  с помощью формул равнопеременного вращения (1.13), (1.14), исключив из них время:

[pic] .

Поскольку [pic] то

[pic] (2)

Подставив значение ² из (2) в (1) получим

[pic] .

§ 2. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

Основные формулы

Второй закон Ньютона для материальной точки постоянной массы

[pic] (2.1)

где [pic] — равнодействующая всех сил, приложенных к телу, m и [pic] — его масса и ускорение.

Закон трения скольжения; сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления между поверхностями трущихся тел, т.е.,

[pic] (2.2)

где 1 — коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств поверхностей. В неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно с ускорением [pic] относительно инерциальной системы, второй закон Ньютона имеет вид

[pic] (2.3)

где [pic] — сумма всех сил, действующих на данное тело со стороны других тел, [pic] — сила инерции, [pic] — ускорение тела в неинерциальной системе отсчета. ,

А. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И УПРУГИХ СИЛ

Методические указания

1. Важно помнить, что второй закон Ньютона, выражаемый уравнением (2.1), справедлив только в инерциальных системах отсчета.

В подавляющем большинстве задач, в которых рассматривают движение тел относительно поверхности Земли, систему отсчета, связанную с Землей, можно считать практически инерциальной. Тогда следует считать инерциальной и всякую другую систему отсчета, которая движется поступательно - и без ускорения относительно Земли.

2. Сила тяжести, согласно ее определению, равна mg, где m— масса тела, g — ускорение свободного падения в системе отсчета, связанной с Землей. Вследствие суточного вращения Земли сила тяжести немного отличается от силы, с которой тело притягивается к Земле. Однако при решении задач этим различием обычно пренебрегают, полагая систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной.

3. Во многих задачах динамики можно пренебречь силами трения, возникающими при движении тел, и считать тогда, что тела находятся лишь под действием силы тяжести и упругих сил реакции связей (давлений опор, натяжений нитей и т. д.). Здесь, ограничимся лишь теми случаями, когда размеры тел оказываются несущественными для решения задачи, т. е. будем рассматривать тела как материальные точки.

4. Для решения задач динамики составляется уравнение движения материальной точки, выражающее второй закон Ньютона (2.1). При этом рекомендуется следующий порядок действий: ,

а) сделать чертеж и на нем изобразить все силы, действующие на данное тело.

Выражение «на тело действует сила» всегда означает, что данное тело взаимодействует с другим телом, в результате чего приобретает ускорение. Следовательно, к данному телу всегда приложено столько сил, сколько имеется других тел, с которыми оно взаимодействует.

Чтобы правильно определить направление сил, действующих на тело, надо помнить, что сила тяжести направлена вниз по линии отвеса, сила реакции опоры при отсутствии трения — по нормали к соприкасающимся поверхностям в точке их касания в сторону тела, сила натяжения нити — вдоль нити в сторону точки подвеса;

б) записать второй закон Ньютона в векторной форме (2.1);

в) если силы действуют не по одной прямой, то выбирают две взаимно перпендикулярные оси (два направления) х и у, лежащие в плоскости действия сил. Спроектировав все векторы, входящие в уравнение (2.1), на эти оси, записывают второй закон в виде двух скалярных уравнений: .

[pic] (1)

В случае прямолинейного движения одну из осей (х) направляют вдоль ускорения [pic] , а другую (у) — перпендикулярно вектору [pic] . Тогда ах = a, ау = 0 и уравнения (1) упрощаются:

[pic] (2)

5. Если в задаче рассматривается движение системы связанных между собой тел, то уравнение движения записывают для каждого тела в отдельности. Кроме того, записывают уравнения, выражающие так называемые кинематические условия, связывающие ускорения отдельных тел системы (например, равенство по модулю ускорений двух грузов, висящих на нерастяжимой нити, перекинутой через блок). Таким образом, получают систему уравнения, число которых равно числу неизвестных.

Если тела связаны нитью , массой которой можно пренебречь, то силу натяжения нити считают одинаковой по всей ее длине. Действительно, предположив, что на участок нити длиной  действуют со стороны соседних частей силы [pic] , запишем по второму закону Ньютона

[pic]

г

[pic]

Р [pic] ешение задач

2-1. В вагоне, движущемся горизонтально с постоянным ускорением а = 3,0 м/с², висит на проволоке груз массой m = 2,00 кг.

Определить силу натяжения Т проволоки и угол ее отклонения от вер­тикали, если груз неподвижен относительно вагона.

Решение. На груз действуют сила тяжести [pic] и сила натяжения Т проволоки (рис. 2-1). Так как груз неподвижен относительно вагона, его ускорение равно ускорению вагона. При этом нить должна быть отклоненной от вертикали назад, так как только в этом случае равнодействующая сил mg и Т будет направлена вперед, сообщая грузу ускорение [pic] . Второй закон Ньютона (2.1) в применении к грузу выразится уравнением

[pic]

Проектируя векторы [pic] на оси х и у (рис. 2-1), получим соответственно - два скалярных уравнения:

Т sin α=та, Т cos α— mg =0.

Совместное решение этих, уравнений и последующее вычисление дают:

α =arctg(a/g),

[pic]

[pic]

Б. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ

• Методические указания

1. П [pic] ри движении тела по поверхности какого-либо другого тела между ними возникает взаимодействие, при этом к первому телу оказывается приложенной сила [pic] (рис. 2-2), которую называют силой реакции опоры. Во всех реальных случаях эта сила направлена не по нормали к соприкасающимся поверхностям, а отклонена от нее в сторону, противоположную скорости v движения тела. Разложив силу R на составляющие по нормали и по касательной к соприкасающимся поверхностям, получим [pic] , где [pic] — сила нормального давления, [pic] — сила трения. Таким образом, сила трения является, по существу, одной из составляющих силы реакции опоры.

2. С

   [pic]

   ила трения скольжения подчиняется закону трения скольжения (2.2) и направлена всегда в сторону, противоположную относительной скорости тела. Появление силы трения не может изменить направление относительной скорости тела: в крайнем случае, под действием силы трения тело остановится и тогда сила трения скольжения исчезнет. Этим обстоятельством пользуются в тех задачах, где заранее неизвестно направление движения тела.

3. Сила трения покоя Fпок всегда равна по модулю и противоположна по направлению той силе, которая должна была бы вызвать скольжение. Поэтому сила . Fпок величина переменная даже при постоянном значении силы N. Однако она имеет предел — величину Fпок. мах, определяемую законом трения покоя: Fпок. мах ⁼о, где о — коэффициент трения покоя. Решая задачи, мы будем приближенно считать о = , т. е. будем полагать максимальное значение силы трения покоя равной силе трения скольжения.

Решение задач

[pic]

2-5. Тележку массой М = 20,0 кг, на которой лежит груз массой т=10,0 кг, тянут с силой F, направленной горизонтально (рис.2-3). Коэффициент трения между грузом и тележкой =0,100. Пренебрегая трением между тележкой и опорой, найти ускорения тележки а1 и груза а2, а также силу трения между грузом и тележкой в двух случаях: 1) F = 2,00 Н, 2) F = 6,00 Н.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на оба тела. При этом, поскольку их ускорения направлены по горизонтали, достаточно учитывать лишь силы, действующие горизонтально, так как остальные — направленные по вертикали — заведомо уравновешиваются,

На тележку действуют сила [pic] и сила со стороны груза [pic] тр1. Последняя направлена против скорости тележки относительно груза при трении скольжения или против силы [pic] при трении покоя, т.е. в любом случае сила [pic] тр направлена влево (рис. 2-3). На груз действует сила трения со стороны тележки [pic] тр2, направленная, согласно третьему закону Ньютона, вправо, причем по модулю FТР 1=FТР 2=FТР. Направив ось проекций в сторону ускорения, т. е. по горизонтали вправо, запишем в скалярном виде уравнения, движения тележки и груза:

F-FТР=Ма1 (1)

FТР = ma2 (2)

Уравнения (1), (2) содержат три неизвестных. Чтобы получить еще одно уравнение, выясним характер силы трения между тележкой и грузом. Если тележка выскальзывает из-под груза, то между ними действует сила трения скольжения, подчиняющаяся закону (2.2). Так как в данном случае сила N равна по модулю силе тяжести груза, то

FТР = mg (3а)

Если же тележка и груз двигаются как одно целое, то между ними действует сила трения покоя FТР mg.

Однако в этом случае выполняется равенство

a 1 = a 2 (Зб)

Таким образом, в обоих возможных случаях получим систему трех уравнений.

Итак, необходимо выяснить характер сил трения, действующих между телами. Рассмотрим подробнее оба возможных варианта: -

а) тележка выскальзывает из-под груза. Между ними действует сила трения скольжения, которую найдем по формуле (За):

FТР = 0,10010,09,8 Н = 9,8 Н;

б) тележка и груз движутся как одно целое, удерживаемые трением покоя. Тогда, обозначив а1=a2 =a , запишем систему уравнений (1), (2) в виде

F — Fпок = Ма, Fпок= та

Решив эту систему, получим

[pic] (4)

[pic] (5)

Формула (5) выражает пропорциональную зависимость между F и Fпок. Однако значение Fпок имеет предел, равный силе Fтр, которая уже найдена. Поэтому в действительности два тела будут двигаться как одно целое лишь при таких значениях силы F, при которых значение Fпок определяемое по (5), не будет превышать ее предельного значения. Проделав расчеты, получим:

1. если F = 19,6 Н, то F пок = 6,5 Н;

2. если F = 58,8 Н, то F пок =19 Н, что невозможно, ибо предельное значение Fпок равно 9,8Н. Значит, в этом случае между телами будет действовать трение скольжения.

Теперь легко ответить на все вопросы задачи:

1. F = 19,6 Н. Между телами действует сила трения покоя F пок = 6,6 Н. Из формулы (4) находим а = 0,65 м/с²;

2. F = 58,8 Н. Между телами действует сила трения скольжения Fтp=9,8 Н. Из (1) и (2) находим ускорения тел:

a1=2,5 м/с², а2=0,98 мс².

В. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

Методические указания

В задачах, в которых идет речь о физических явлениях, происходящих внутри ускоренно движущегося тела (вагона, - лифта, куска металла и т. д.), решение, основанное на применении второго закона Ньютона, упрощается, если рассматривать явление в неинерциальной системе отсчета, связанной с ускоренно движущимся телом. Соответственно двум движениям тела — поступательному и вращательному— применяют как поступательно движущиеся, так и вращающиеся неинерциальные системы отсчета. В поступательно движущихся неинерциальных системах отсчета второй закон Ньютона выражается уравнением (2.3).

Это же уравнение применимо и во вращающихся системах отсчета при условии, что рассматриваемая материальная точка (частица) в ней покоится. Тогда в выражении (2.3) [pic] =0, [pic] 0= [pic] n—центростремительное ускорение той точки вращающейся системы отсчета, в которой находится данная частица; величину [pic] называют центробежной силой инерции.

Сила инерции, входящая в уравнение (2.3), отличается от других сил тем, что она существует только в неинерциальной системе отсчета и для нее нельзя указать тех конкретных тел, со стороны которых она действует.

1. Существует другой способ объяснить поведение тела в неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно (или вращающейся, если рассматриваемая материальная точка в ней покоится). При этом никаких сил инерции не вводят, но считают, что происходит изменение поля тяготения: ускорение силы тяжести изменяется, по модулю и направлению и вместо [pic] становится равным [pic] ', причем

[pic] (2.4)

г

[pic]

Этот метод объяснения поведения тел в неинерциальных системах отсчета получил обоснование в общей теории относительности.

2. Из двух рассмотренных методов второй гораздо быстрее приводит к цели в тех случаях, когда искомая величина определяется в инерциальной системе отсчета какой-либо известной формулой, содержащей ускорение силы тяжести. Тогда достаточно принять это ускорение равным величине [pic] ', выражаемой уравнением (2.4), и произвести необходимые вычисления. Сюда относятся задачи на распределение давления в жидкости или газе в ускоренно движущихся сосудах, на колебания математического или физического маятника в ускоряемых кабинах и т. п.

Р [pic] ешение задач

2-7. Тело массой m, находящееся на вершине наклонной плоскости, удерживается силой трения. За какое время тело спустится с наклонной плоскости, если она станет двигаться в горизонтальном направлении с ускорением ао = 1,00 м/с² (рис. 2-5)? Длина плоскости l = 1,00 м, угол наклона к горизонту =30°, коэффициент трения между телом и. плоскостью = 0,60.

Решение. Выберем систему отсчета, связанную с наклонной плоскостью. Пока плоскость покоится, на тело действуют три силы:

сила тяжести [pic] , сила нормального давления [pic] опоры и сила трения покоя [pic] пок, которые уравновешивают друг друга.

Как только начнется ускоренное движение плоскости и «привязанная» к ней система отсчета станет неинерциальной, появится четвертая сила, действующая на тело,—сила инерции [pic] ин [pic] . Равновесие нарушится и тело начнет скользить вниз по наклонной плоскости с ускорением [pic] . Так как искомое время определяется известной формулой пути равноуско­ренного движения без начальной скорости

[pic] (1)

то надо найти ускорение [pic] . Для этого запишем второй закон Ньютона в нашей неинерциальной системе отсчета:

[pic] (2)

Выберем оси проекций, как показано на рисунке. Проектируя все векторы, входящие в уравнение (2), на оси х и у, получим соответст­венно два скалярных уравнения:

mg sin  — Fтр + ma0 cos == mа (3)

-mgcos  . + N + та0sin  =0 (4)

Решив систему (3), (4) с учетом Fтр =N, найдем ускорение

а = g (sin α— μ cos α) + ао (cos α + μ sin α).

Теперь по формуле (1) имеем

[pic]

Подставив числовые значения величин, найдем. t=0,8c.

§3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Основные формулы

Импульс (количество движения) материальной точки есть векторная величина

[pic] (3.1)

Импульс системы материальных точек равен (по определению) векторной сумме импульсов всех частиц, образующих систему;

[pic] (3.2)

Центром инерции системы материальных точек называется точка С, положение которой в пространстве определяется радиусом-вектором, имеющим начало в произвольной точке О к равным

[pic] (3.3)

Здесь mi — масса 1-й материальной точки, [pic] — ее радиус-вектор с началом в той же точке О, М — масса всей системы.

Импульс системы материальных точек равен произведению массы М системы на скорость движения [pic] ее центра инерции:

[pic] (3.4)

Систему взаимодействующих тел называют замкнутой, если на нее извне не действуют другие тела. Для такой системы выполняется закон сохранения им­пульса: импульс замкнутой системы есть величина постоянная, т. е.

[pic] (3.5)

Работа, совершаемая силой [pic] при элементарном перемещении [pic]

[pic] (3.6)

где [pic] -элементарный путь, - угол между векторами [pic]

работа переменной силы [pic] на пути S

[pic] (3.7)

изменение полной энергии системы равно работе, совершенной внешними силами, приложенными к системе:

W2-W1=Aвнеш (3.8)

Кинетическая энергия тела ,движущегося поступательно со скоростью v

[pic] (3.9)

Потенциальная энергия тела, поднятого вблизи поверхности Земли на высоту h

[pic] (3.10)

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

[pic] (3.11)

Закон сохранения энергии в механике

[pic] (3.12)

А. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Методические указания

1. Ценность закона сохранения импульса для решения задач динамики в том, что он, связывая начальное и конечное значения импульса замкнутой системы, позволяет исключать из рассмотрения внутренние силы, т. е. силы взаимодействия частей системы. Поэтому закон применяют в тех задачах, в которых силы взаимодействия между отдельными телами системы являются величинами переменными, при­чем характер их изменения во времени сложен или вообще неизвестен (например, силы, возникающие при ударе).

2. Уравнение (3.5), выражающее закон сохранения импульса, является векторным. Поэтому, находя вектор [pic] , надо руководствоваться правилом сложения векторов или, выбрав оси проекций Ох и Оу, записать закон сохранения импульса в скалярной форме двумя уравнениями:

[pic]

Если импульсы всех тел системы направлены вдоль одной прямой, то, выбрав эту прямую за ось проекций, сразу записывают закон сохранения импульса в скалярной форме:

p=const

где [pic] , — сумма проекций импульсов всех тел системы.

3. Закон сохранения импульса справедлив для замкнутых систем. Однако его можно применять и для систем, на которые действуют внешние силы при условии, что их сумма равна нулю: [pic]

Если же [pic] , но окажется, что сумма проекций всех внешних сил на некоторую ось (Ох) равна нулю, то

px=const,

т. е. проекция импульса системы на направление, в котором внешние силы не действуют (или уравновешиваются), есть величина постоянная.

Р

[pic] Рис 3.1

3-1. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью и, укреплено орудие, ствол которого направлен в сторону движения платформы и приподнят над горизонтом на угол  (рис. 3-1).

Орудие произвело выстрел, в результате чего скорость платформы с орудием уменьшилась в 3 раза. Найти скорость v' снаряда (относительно орудия) при ,. вылете из ствола. Масса снаряда т, масса платформы с орудием М.

Решение. Выясним возможность применения закона сохранения импульса. На систему платформа с орудием — снаряд извне действуют две силы: сила тяжести системы [pic] и сила нормального давления [pic] рельсов. До выстрела эти силы уравновешивались, так как система двигалась равномерно. Во время выстрела сила взаимодействия между платформой и рельсами возрастает вследствие явления отдачи, поэтому равновесие сил, приложенных к системе, нарушается:

[pic] . Следовательно, во время выстрела система не является замкнутой, ее импульс изменяется. Учтем, однако, что обе рассмотренные силы действуют по вертикали, в то время как в горизонтальном направлении никакие силы на систему не действуют (трением платформы о рельсы пренебрегаем).

Поэтому проекция импульса системы на горизонтальное направление (ось х на рис..3-1) есть величина постоянная:

px=const (1)

Пусть состояниям системы до и после выстрела соответствуют значения величины рx:, равные рx1. и px2. Рассматривая все движения относительно Земли, получим:

[pic] (2)

[pic] (3)

где vс соs  — проекция на ось х скорости [pic] снаряда относительно Земли (рис.3-1).

Чтобы связать величину vс с искомой скоростью v', будем рассматривать движение снаряда относительно Земли как сложное, состоящее из двух: со скоростью [pic] относительно орудия и со скоростью [pic] /з вместе с орудием относительно Земли. Тогда в соответствии с формулой (1.18) получим

[pic] (4)

Спроектируем векторы, входящие в (4), на ось х:

[pic] (5)

Заменив в (3) величину vс соs  ее значением по (5) и приравняв согласно (1) правые части формул (2) и (3), найдем

[pic]

Б. РАБОТА, ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Методические указания

1. В механике применяют закон сохранения энергии главным образом в тех задачах, где между телами, образующими замкнутую систему, действуют потенциальные силы (гравитационные и упругие), изменяющиеся во времени. В этих случаях расчет скоростей тел или их координат при помощи второго закона Ньютона приводит к необходимости интегрирования, для выполнения которого надо знать закон изменения силы F=F(t). Применение закона сохранения энер­гии, связывающего начальное и конечное состояния системы взаимодействующих - тел, упрощает решение подобных задач, так как позволяет не рассматривать действующие между телами силы .

В задачах на движение тела по окружности в вертикальной плоскости на тело также действуют изменяющиеся во времени силы. При этом наряду с законом сохранения энергии приходится все же использовать второй закон Ньютона. Однако и в этом случае можно решить задачу, не зная зависимости F=F(t).

2. Подчеркнем, что закон сохранения механической энергии можно применять к системе взаимодействующих тел при одновременном выполнении следующих условий: а) система должна быть замкнутой (закон применим и для систем, на которые действуют внешние силы, в том случае, если их суммарная работа равна нулю, т, е. [pic] ); б) внутри системы должны отсутствовать силы трения (кроме сил трения покоя) и силы неупругих деформаций, так как иначе механическая энергия системы будет рассеиваться, превращаясь во внутреннюю энергию.

3. Если тело (или система тел) движется под действием силы тя­жести, его нельзя считать изолированным. В этом случае изолирован­ной системой, к которой можно применять закон сохранения энергии, будет система тело — Земля. Однако, исключая при этом из рассмотрения энергию Земли, мы практически не совершим ошибки по следующим причинам: а) само понятие потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли предполагает энергию взаимодействия тела и Земли, и уже поэтому характеризует энергию всей системы, а не одного тела;

б) изменением кинетической энергии Земли в результате ее взаимодействия с падающим телом можно пренебречь (легко показать, что кинетическая энергия, получаемая телами в результате их взаимодействия, обратно пропорциональна массам тел). Поэтому при решении задач на движение тела (или системы тел) в поле тяготения Земли на рассматривают ни потенциальную, ни кинетическую энергию Земли.

4. Выбор нулевого уровня отсчета высоты h,, входящей в формулу (3.10) потенциальной энергии поднятого тела, произволен. При изменении нулевого уровня на величину h в обеих частях уравнения, выражающего закон сохранения энергии, появится один и тот же член [pic] , что, разумеется, не повлияет на решение задачи. Обычно за нулевой уровень принимают самое нижнее положение движущегося тела.

Если потенциальная энергия какого-либо тела системы не изменяется, то, составляя уравнение, выражающее закон сохранения энергии для системы, эту энергию вообще можно не рассматривать.

Р

[pic]

3 [pic] -З.Санки, движущиеся по горизонтальному льду со скоростью v, въезжают на асфальт. Считая, .что длина полозьев санок равна l,а коэффициент трения их об асфальт равен , определить путь S, пройденный санками по асфальту, если известно, что S > l.

Массу санок считать равномерно распределенной по длине полозьев. Трением санок о лед пренебречь.

Решение. Когда сани въезжают на асфальт, происходит постепенное увеличение силы давления N полозьев на асфальт от нуля до максимального значения, равного силе тяжести тg санок. В связи с этим возрастает и сила трения Fтр,=N действующая на сани со стороны асфальта.

Поскольку санки движутся под действием переменной силы, воспользуемся для решения понятиями работы и энергии. Работа силы трения, действующей на санки, определяется изменением их кинетической энергии от [pic] до W2= 0. Тогда на основании соотношения (3.8) можно записать

[pic] (1).

С другой стороны, работу A ТР можно вычислить по формулам (3.6) и (3.7). Для этого разобьем весь путь, пройденный санками, на два участка: S=l+S. На пути l на санки действует переменная сила трения Fтр,=N. Найдем совершенную ею работу А1. Пусть санки уже прошли по асфальту путь х (рис. 3-4), тогда сила давления полозьев на асфальт равна N = тgх/l, сила трения Fтр = тgх/ l, . Теперь по (3.7) получим

[pic] (2)

Интеграл взят со знаком минус потому, что величина F ТР = mgx/l и dх имеют противоположные знаки. На пути S' сила трения постоянна и равна mg, и поэтому совершаемая ею работа

А 2 =-mgS

Полная работа сил трения

[pic] (3)

Приравнивая правые части равенства (1) и (3) и сокращая массу, найдем

[pic]

Таким образом, весь путь, пройденный санями,

[pic]

В. СОВМЕСТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ

Методические указания

1. Сюда относятся в основном задачи на упругий удар или иное взаимодействие тел, представляющих собой замкнутую систему, когда отсутствуют силы трения и силы неупругих деформаций и когда у тел в результате взаимодействия изменяются скорости. При этом сохраняются как импульс, так и энергия системы, что дает два уравнения, позволяющих определить, например, скорости обоих тел после взаимодействия, если известны скорости до взаимодействия.

2. В случае неупругого удара возникающие остаточные деформации тел всегда сопровождаются частичным или полным переходом механической энергии во внутреннюю энергию (тела нагреваются). Поэтому механическая энергия системы не сохраняется. Тогда энергия, затраченная на деформацию, определяется как разность между начальным и конечным значениями механической энергии системы.

Решение задач

3

[pic]

Решение. Введем обозначения: [pic] — скорость нейтрона до удара, [pic] ' — после удара; [pic] —скорость ядра углерода после удара (до удара она равна нулю).

В результате упругого удара импульс и энергия, которыми до удара обладал нейтрон, распределяются между двумя частицами. При этом по законам сохранения импульса и энергии соответственно имеем:

[pic] (1)

[pic] (2)

П [pic]
о условию задачи требуется найти отношение

Для выполнения расчетов необходимо перейти от векторной формы записи уравнения (1) к скалярной форме. Это можно сделать, применив метод проекций, который неоднократно использовался. Однако в данном случае можно поступить проще. Изобразим на чертеже импульсы тv', [pic] и их векторную сумму тv, учитывая, что угол между векторами тvи тv' равен л/2 (рис.3-7). Из треугольника импульсов имеем

(mv)² + (mv)² = (MV)². (3)

Почленно разделив уравнение (2) на m и (3) на m² и учитывая условие М/т=п, получим:

[pic] (4)

[pic] (5)

Чтобы исключить из системы величину V, разделим почленно (5) на (4):

[pic]

а числитель и знаменатель полученного соотношения — на v'², тогда находим

[pic]

откуда

[pic]

§ 4 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Методические указания

1. Уравнениями движения твердого тела являются второй закон Ньютона для движения центра инерции тела и основное уравнение динамики вращательного движения . Их применяют для расчетов сил и ускорений в случае равнопеременного движения твердого тела (ас =const, ε=const ).

2. Сложное движение твердого тела .удобно рассматривать как сумму двух движений: вращательного относительно какой-либо оси и поступательного со скоростью оси. Обычно выбирают ось вращения так, чтобы она проходила через центр инерции тела.

3. При качении однородного цилиндра (шара) по плоскости между линейными величинами, характеризующими движение центра инерции тела, — скоростью vс и ускорением aс — и угловыми величинами, определяющими вращательное движение тела,—угловой скоростью ω и угловым ускорением ε —.существуют соотношения.

[pic] (4.1)

[pic] (4.2)

где R — радиус цилиндра (шара).

Р

[pic]

4-1. Однородный куб массой т=10,0 кг лежит в углу вагона на трех опорах A, В, С (рис. 4-1). Определить силы реакции опор Рд, Рв, рс, если известно, что вагон движется с ускорением а=2,00м/с².

Решение. Так как куб движется только поступательно( а0,=0), уравнения движения твердого тела (4.1) и (4.7) запишутся в виде

а) [pic] , б) [pic] (1)

На куб действуют сила тяжести т [pic] , приложенная в центре куба, и три силы реакции опор, направленные нормально к соответствующим граням куба

(рис. 4-1). Так как эти силы в совокупности не параллельны между собой, перепишем соотношение (1а) в виде двух скалярных уравнений, выбрав оси проекций, как показано на рисунке. Тогда для осей х, и у соответственно получим:

Fа = та, Fв + Fс — тg= 0. (2)

Чтобы не допустить ошибки, составляя уравнение моментов (1b), необходимо иметь в виду, что основное уравнение динамики вращательного движения , частным случаем которого является уравнение (1b), выведено для вращения тела вокруг какой-либо неподвижной оси, т. е. для движения в инерциальной системе отсчета. Однако, выбирая какую-либо точку ускоренно движущегося тела за ось вращения и составляя уравнение моментов относительно этой оси, мы тем самым рассматриваем движение тела в неинерциальной системе отсчета. В этом случае уравнения движения можно записывать, лишь вводя силы инерции. Оказывается, что, составляя уравнение (1b), можно все-таки не учитывать сил инерции, если выбрать ось вращения, проходящую через центр инерции тела. Действительно, сила инерции всегда приложена в центре инерции, поэтому при таком выборе оси вращения момент этой силы равен нулю.

Итак, выбрав ось вращения, проходящую через центр инерции куба, и приняв положительным направление вращения по часовой стрелке, на основании (16) запишем

FA (l/2) 4- Fв (l/2) - Fс (l/2) = 0, (3)

где l— длина ребра куба. Решая систему (2), (3), находим:

FA = та; FB= т (g — а)/2; Fс = m (g + а)/2.

Подставив в эти формулы числовые значения заданных величины выполнив вычисление, получим

FA= 102Н = 20Н; FB = 5 (9,8—2)Н=39Н; FC ⁼ 5∙ (9,8+2)Н=59 H

§ 5. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

Основные формулы

Закон всемирного тяготения: две материальные точки, имеющие массы m1, m2 и находящиеся на расстоянии r притягиваются с силой

[pic] (5.1)

где =6,67·10^-11кг^-1м³с^-2-грвитационная постоянная.

Напряженностью гравитационного поля называется векторная величина

[pic] (5.2)

где [pic] –сила, с которой поле действует на помещенную в поле частицу [pic] массой .

Напряженность гравитационного поля, созданного материальной точкой массы m на расстоянии r от нее,

[pic] (5.3)

Потенциальная энергия тяготения двух материальных точек, массы которых m1 и m2, находящихся на расстоянии r, при условии ,что W,=0, равна

[pic] (5.4)

Потенциал гравитационного поля (определяющая формула)

[pic] (5.5)

где W- потенциальная энергия частицы массой m, помещенной в данную точку поля.

Потенциал поля, созданного материальной точкой массы m на расстоянии r от нее,

[pic] (5.6)

Работа сил поля по перемещению частицы m между двумя точками поля, потенциалы которых 1 и 2,

[pic] (5.7)

Законы Кеплера:

I. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

II. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

III. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит:

[pic] (5.8)

Методические указания

1. Отметим, что в формулах (5.1), (5.4) r есть расстояние между материальными точками. Если взаимодействующие тела нельзя считать материальными точками, то эти формулы к ним неприменимы. Однако если неточечные тела обладают сферически симметричным распределением массы (например, однородные шары), то формулы (5.1), (5.4) дают правильный результат, если под r понимать расстояние между центрами взаимодействующих тел. Это же замечание относится и к формулам (5.3), (5.6), где r в случае сферической симметрии есть расстояние от центра тела до рассматриваемой точки.

3. Задачи на движение тела под действием силы тяготения можно решать методами, основанными на применении к телу второго закона Ньютона, а к изолированной системе— законов сохранения.

Использование величин, характеризующих гравитационное поле,— напряженности [pic] и потенциала φ — часто упрощает решение задачи. Так, введение вектора [pic] позволяет в некоторых случаях не рассматривать силы, действующие на тело, а понятие потенциала — вычислять работу сил тяготения по формуле (5.7), когда тело движется в поле тяготения нескольких небесных тел.

3. Законы Кеплера, описывающие движение планет вокруг Солнца, применимы также для движения тел во всяком центральном поле, например в поле тяготения Земли. Центральным называют такое силовое поле, в котором сила, действующая на каждую частицу, зависит только от ее расстояния до определенной точки — центра поля и направлена всегда по радиусу, проведенному из центра поля к частице.

Решение задач

5-1. Определить напряженность [pic] и потенциал [pic] гравитационного поля Земли около ее поверхности.

Решение. Задачу можно решить при помощи формул (5.3), (5.6), в которые подставляются значения т и r для Земли, взятые из справочных таблиц. Однако есть более короткий способ. Формула (5.2) выражает величину G через отношение силы тяготения, действующей на частицу, к массе этой частицы. Нo согласно второму закону Ньютона это отношение равно ускорению а частицы, которое она получает под действием силы тяготения. Следовательно,

G=a

У поверхности Земли это ускорение есть ускорение силы тяжести g — величина, постоянная для всех тел. Таким образом, получаем

Gо = g  9,8 Н/кг.

Зная напряженность гравитационного поля Земли, найдем из соотношений (5.6) и (5.3) его потенциал:

[pic]

Контрольная работа

В соответствии с вариантом студент-заочник должен в контрольной работе решить задачи, номера которых определяются по таблице

Таблица

номера задач

1

1,1

1,11

1,21

1,31

1,41

1,51

1,61

1,71

1,81

1,91

2

1,2

1,12

1,22

1,32

1,42

1,52

1,62

1,72

1,82

1,92

3

1,3

1,13

1,23

1,33

1,43

1,53

1,63

1,73

1,83

1,93

4

1,4

1,14

1,24

1,34

1,44

1,54

1,64

1,74

1,84

1,94

5

1,5

1,15

1,25

1,35

1,45

1,55

1,65

1,75

1,85

1,95

6

1,6

1,16

1,26

1,36

1,46

1,56

1,66

1,76

1,86

1,96

7

1,7

1,17

1,27

1,37

1,47

1,57

1,67

1,77

1,87

1,97

8

1,8

1,18

1,28

1,38

1,48

1,58

1,68

1,78

1,88

1,98

9

1,9

1,19

1,29

1,39

1,49

1,59

1,69

1,79

1,89

1,99

10

1,10

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

1,100

1.1. Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью vо=4,9 м/с, в последние Δt=2 с падения прошло путь вдвое больший, чем в две предыдущие секунды. Определить время падения и высоту, с которой тело было брошено. Построить графики зависимости пройденного пути, ускорения и скорости от времени.

1.2. Вверх по гладкой наклонной плоскости, образующей угол α =30° с горизонтом, пустили шайбу с начальной скоростью vо=12 м/с. Когда шайба достигла половины максимальной высоты подъема, из той же точки, в том же направлении и с той же скоростью пустили вторую шайбу. Определить: на каком расстоянии от начала наклонной плоскости встретятся обе шайбы; максимальную высоту подъема первой шайбы; промежуток времени, прошедший от начала движения первой шайбы до ее встречи со второй. Начертить графики зависимости пройденного пути, скорости и ускорения от времени для первой шайбы в промежуток времени от начала движения до момента встречи со второй.

1.3. Небольшое тело, которому сообщена начальная скорость vо, движется без трения один раз по пути AВС, а другой раз по пути А1В1С1 (рис. 1.11). Постройте для обоих случаев зависимость скорости v и ускорения а тела от времени t, если AB=B1C1=0,5BC=0,5A1B1=l. Все переходы закруглены.

По какому пути (АВС или А1В1С) тело быстрее попадет из точки А (A1) в точку С(С1)?

B1

1.4. Наблюдатель, стоящий на платформе, определил, что первый вагон электропоезда прошел мимо него в течение t1=4 с, а второй —в течение t2=5с. После этого передний край поезда остановился на расстоянии s=75 м от наблюдателя. Считая движение поезда равнозамедленным, определить его начальную скорость, ускорение и время замедленного движения. Начертить графики зависимости пути, скорости и ускорения поезда от времени. За начало отсчета времени принять момент прохождения мимо наблюдателя переднего края поезда.

1.5. Наблюдатель, стоящий в момент начала движения электропоезда у его переднего края, заметил, что первый вагон прошел мимо него за t1=4 с. Определить время, за которое мимо него пройдут девять вагонов, а также время прохождения девятого вагона. Во сколько раз скорость девятого вагона больше скорости пятого в моменты их прохождения мимо наблюдателя? Движение считать равноускоренным.

1.6. Тело, двигаясь, прямолинейно с постоянным ускорением, прошло последовательно два равных участка пути, по s=20 м каждый. Первый участок пройден за t1=l,06 с, а второй —за t2=2,2 с. Определить: ускорение тела; скорость в начале первого и в конце второго участков пути; путь, пройденный телом от начала движения до остановки. Начертить графики, зависимости пройденного пути, скорости и ускорения от времени.

1.7. С горы длиной L=20 м из состояния покоя скатились санки и затем, продолжая прямолинейное движение по горизонтальной площадке, проехали расстояние s=15м. Определить скорость санок в конце спуска, ускорения на горе и горизонтальной площадке, а также время спуска. Весь путь санки проходят за t=15с. Ускорения на горе и горизонтальной площадке считать постоянными. Начертить графики зависимости пройденного пути, скорости и ускорения от времени.

1.8. Автомобиль трогается с места и первый километр проходит с ускорением a1, а второй — с ускорением а2. При этом на первом километре его скорость возрастает на Δv1=.10 м/с, а на втором—на Δv2=5 м/с. Определить: время прохождения первого и второго километров; какое ускорение больше a1 или а2; среднюю скорость на всем пути. Начертить графики зависимости пути, скорости и ускорения от времени.

1.9. Тело, которому сообщена начальная скорость vо=2 м/с, начало скользить по наклонной плоскости. За t1=10 с оно проходит по наклонной плоскости путь S1=50м, а затем по горизонтальной поверхности до остановки S2=90 м. Считая движение тела на каждом из участков равнопеременным, определить скорость тела в конце наклонной плоскости, ускорения на наклонном и горизонтальном участках пути, среднюю скорость на всем пути, время движения тела. Начертить графики зависимости пути, скорости и ускорения от времени.

1.10. Лыжник съехал с горы длиной L=40 м за t1=10 с, после чего он проехал по горизонтальной площадке до остановки S=20 м. Считая движение лыжника на обоих участках равнопеременным, определить его скорость в конце горы, среднюю скорость на всем пути, ускорения на каждом из участков, время движения по горизонтальной площадке. Начертить графики зависимости пути, скорости и ускорения лыжника от времени.

1.11. Тело, которому была сообщена некоторая начальная скорость, движется равноускоренно. За третью секунду своего движения оно прошло ΔS 3=10 м, а за шестую— ΔS 6=16 м. Определить ускорение тела, начальную скорость, скорость к концу восьмой секунды и путь, пройденный за t=8 с. Начертить графики зависимости пройденного пути, скорости и ускорения тела от времени.

1.12. Кусок льда один раз бросают с некоторой скоростью под углом =30° к горизонту, а другой раз пускают с такой же скоростью по горизонтальной поверхности льда. Во втором случае брошенный кусок льда находился в движении в n=8 раз дольше, чем при полете в воздухе. Определить коэффициент трения льда о лед, отношение пройденных в обоих случаях расстояний в горизонтальном направлении. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.13. Под каким углом к горизонту надо бросить тело массой m=200 г, чтобы дальность полета была в два раза больше его максимальной высоты подъема, если горизонтальный встречный ветер действует на тело с постоянной силой F=1 H ?

1.14. Из брандспойта, поднятого над поверхностью земли на высоту h=2,5 м, бьет струя воды под углом =36° к горизонту и падает на землю на расстоянии L= 15 м от того места, над которым он находится. Определить, на какую максимальную высоту поднимается струя воды, радиус кривизны струи в высшей точке, скорость воды в момент падения на землю и массу воды, находящуюся в воздухе, если площадь отверстия брандспойта S = 1 см². Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.15. Из одной точки одновременно брошено два тела с одинаковой начальной скоростью vо=20 м/с под разными углами к горизонту: α1=45°, α2=60°. Определить расстояние между телами спустя t=2 с после начала движения, скорости тел в этот момент, нормальное и тангенциальное ускорения через τ = 1 с после бросания. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.16. С балкона, высота которого H=5 м над поверхностью земли, брошен камень под углом α=45° к горизонту. Камень упал на землю на расстоянии L= 48 м от места, над которым находится балкон. Определить: начальную скорость камня; время его полета; наибольшую высоту подъема; радиус кривизны траектории в наивысшей точке; скорость камня в момент падения на землю; угол, который образует скорость камня в момент падения на землю с горизонтальным направлением. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.17. Небольшое тело начало падать из состояния покоя с высоты Н. На высоте h оно абсолютно не упруго ударяется о небольшую закрепленную и гладкую площадку, расположенную под углом α=45˚ к горизонту. Определить время падения тела и горизонтальную дальность полета, считая H=10 м и h=5 м.

1.18. Небольшое тело, брошенное под углом α=45˚ к горизонту с ; начальной скоростью vо=15 м/с, упруго ударяется о вертикальную гладкую стенку, находящуюся на расстоянии L=14 м (по горизонтали) от места бросания. Определить, на каком расстоянии от стенки упадет тело на землю, если коэффициент восстановления µ=0,75. Найти также отношение этих расстояний, если во втором случае удар абсолютно упругий.

1.19. Маленький шарик подвешен на нерастяжимой нити длиной l=0,5 м. При вертикальном положении нити (положение равновесия) шарику сообщают горизонтальную скорость v=4 м/с. Определить высоту Н над исходным уровнем, после достижения, которой шарик движется по траектории, отличающейся от окружности. Найти его скорость в момент достижения этой высоты и максимальную высоту поднятия шарика. С какой высоты он снова начнет двигаться по окружности? На каком наименьшем расстоянии (по горизонтали) от положения равновесия надо поставить ловушку, чтобы поймать шарик после того, как он перестанет двигаться по окружности? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.20. Небольшое тело, брошенное вертикально вниз с высоты H=32 м с начальной скоростью vо=2 м/с, упруго ударяется о закрепленную на высоте h =20 м гладкую площадку с углом наклона =30⁰ к горизонту. Определить, во сколько раз время падения тела при встрече с площадкой больше времени свободного падения, если коэффициент восстановления =0,8, дальность полета тела по горизонтали, отношение скоростей в конце падения при встрече с площадкой и при свободном падении.

1.21. Маховик, совершающий равноускоренное вращательное движение, за t=6 с сделал N =22 полных оборота. При этом его угловая скорость увеличилась в n=4 раза по сравнению с начальной угловой скоростью. Определить угловое ускорение, тангенциальное, нормальное и полное ускорения к концу шестой секунды для точки, лежащей на расстоянии R= 15 см от оси вращения.

1.22. Диск радиусом R =20 см вращается согласно уравнению =3-t+0,2t ³ (— в радианах, t— в секундах). Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t=10 с, угол между вектором полного ускорения и вектором линейной скорости в этот же момент времени. Начертить графики зависимости угловой скорости, углового, тангенциального и нормального ускорений от времени.

1.23. Мальчик бросает мяч в цель со скоростью vо=6 м/с, находясь на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью ω=3 рад/с. В одном случае он стоит в центре платформы, а мишень расположена на платформе на расстоянии L = 1,2 м от него; в другом случае мишень находится в центре платформы, а мальчик—на расстоянии L=1,2 м от нее. Определить, под каким углом к направлению на цель мальчик должен бросать мяч. В обоих ли случаях он может попасть в мишень? Найти результирующую скорость мяча во втором случае. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.24. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси задано уравнением =1,5t²-4t (—в радианах, t—в секундах). Определить характер вращения тела в моменты t1=1с и t2=2 с. Найти: угловую и линейную скорости; нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии R=0,2 м, в эти моменты времени; угол между вектором полного ускорения этой точки и ее радиус-вектором в те же моменты времени. Начертить графики зависимости угловой и линейной скоростей, углового, нормального и тангенциального ускорения от времени.

1.25. Ротор турбины начинает равноускоренное вращение из состояния покоя. Ускорение точки ротора, отстоящей от оси вращения на R=0,4 м, в некоторый момент равно по модулю а=40 м/с² и образует с радиус-вектором этой точки угол α=30°. Записать уравнение вращения ротора и определить угловую и линейную скорости, а также нормальное ускорение точки в момент t=5 с. Начертить графики зависимости искомых величин от времени.

1.26. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана тонкая нерастяжимая нить. К концу нити привязали груз и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, груз за t=3с опустился на h=1,5м. Определить: угловое ускорение цилиндра, если его радиус R=6см;среднюю угловую скорость цилиндра к концу третьей секунды; угол между вектором линейной скорости и полного ускорения цилиндра. Начертать графики зависимости линейной скорости, углового и нормального ускорений от времени.

1.27. Материальная точка движется по окружности радиусом R=10м. Ее движение описывается уравнением s=4—2f²+t⁴. Определить, в какой момент времени тангенциальное ускорение точки будет a=44м/с². Найти для этого момента времени нормальное ускорение, угловую скорость, угловое ускорение и угол между векторами полного ускорения и линейной скорости.

1.28. Два колеса начинают одновременно вращаться. Через t1=10 с второе колесо опережает первое на ΔN=1 об. Угловое ускорение первого колеса 1=0,1с^-2. Определить угловое ускорение второго колеса. Сколько оборотов сделает каждое колесо за t2=20 с? Найти угловую скорость каждого колеса в конце 20-й секунды.

1.29. Два вращающихся маховика были предоставлены самим себе. Первый вращался с частотой 1=240 об/мин и остановился через t1=10 с, а второй—с частотой 2=360об/мин и остановился, сделав N2=20 об. Определить, какой маховик:

а) вращался дольше;

б) сделал до остановки большее число оборотов;

в) имел большее угловое ускорение.

1.30. Большой шкив ременной передачи имеет радиус R1=32 см и вращается с частотой 1=120об/мин. Малый шкив передачи имеет радиус R2=24см. Определить: линейную скорость точек ремня; угловую скорость малого шкива; нормальное ускорение точек, лежащих на цилиндрических поверхностях большого и малого шкивов.

1.31. Тело массой m1=8кг движется по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α =30°. К телу прикреплена гибкая невесомая нерастяжимая нить, перекинутая через блок, укрепленный на наклонной плоскости (рис. 1.12). Ко второму концу нити привязан груз массой m2 =2,5 кг, скользящий по вертикальной стене. К нему приложена сила F, направленная под углом β=60° к вертикали; модуль этой силы F=120 Н, коэффициент трения между грузом и стеной k =0,3. Определить, с каким ускорением движется тело, силу натяжения нити, силу, действующую на ось блока, и путь, пройденный телом за первые t=2с движения.

1.32. Три тела, связанные нитями, перекинутыми через блоки, лежат на поверхности тела в форме трапеции с углами при основании α и β (рис. 1.13). Считая нить и блоки невесомыми, а массы тел соответственно m1, m2 и m3 определить ускорение, с которым движутся тела, если коэффициенты трения между телами и поверхностями, по которым они скользят, соответственно равны k1,k2,k3. Найти путь, пройденный телами в первые две секунды движения, силы натяжения нитей, силы, действующие на оси блоков. При каком условии система будет двигаться равномерно, если k1=k2=k3=k?

1.33. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α =64°, движется тело с ускорением а=0,1 м/с², направленным вдоль плоскости вниз (рис. 1.14). К этому телу привязана нить, переброшенная через блок, укрепленный на наклонной плоскости. Ко второму концу нити прикреплен подвижный блок, через который перекинута вторая нить с двумя грузами массами m1 =0,19 кг и m2.=0,2.кг. Считая, что нити и блоки невесомые, определить ускорения грузов, перемещение тела и грузов за первые две секунды движения, массу тела, движущегося по наклонной плоскости, силу натяжения нитей и силу, действующую на ось неподвижного блока. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью k=0,05.

1.34. Тело массой m =2 кг движется вниз по вертикальной стене под действием силы F, направленной под углом = 32° к вертикали и равной по модулю F=48H. К телу прикреплена нерастяжимая и невесомая нить, перекинутая через неподвижный блок. Ко второму концу нити привязан груз, на который действует сила тяжести FT1=52 H (рис. 1.15). Определить, с каким ускорением движется тело, если коэффициент трения тела о стену k =0,3. Найти силу натяжения нити и силу давления на ось блока. Какой путь пройдет тело за первые t=5 с движения?

1.35. На столе лежит деревянный брусок, к которому привязаны нерастяжимые и невесомые нити, перекинутые через блоки, укрепленные на краях стола (рис. 1.16). К свободному концу одной нити подвешен груз, на который действует сила тяжести FT= 12 H, а к свободному концу другой — подвижный невесомый блок, через который перекинута нерастяжимая и невесомая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1=0,3 кг и m2=0,2 кг. Вся система приходит в движение, и за время t=4 с брусок проходит путь s=0,8 м. Определить ускорение каждого тела, коэффициент трения скольжения бруска о стол и силу натяжения каждой из нитей. Масса бруска m=2,4 кг.

1.36. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а, движется тело массой т. Это тело входит в механическую систему, показанную на рисунке 1.17. Коэффициент трения скольжения между телом и наклонной плоскостью k. Определить ускорения, с которыми движутся все тела системы; пути, проходимые каждым из тел за время t, и силы, действующие на оси блоков.

1.37. На горизонтальной поверхности лежит тело массой m1=1,5 кг, к которому привязана нерастяжимая и невесомая нить, перекинутая через блок, укрепленный на краю поверхности. Ко второму концу нити прикреплено второе тело массой m2=0,5 кг (рис. 1.18). Определить: ускорение тел; силу натяжения нити; силу, действующую на ось блока; путь, пройденный каждым телом за первые три секунды, если коэффициент трения скольжения между телом m1 и плоскостью k=0,1 и к телу m1приложена сила F=10 H под углом = 30°.

1.38. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол =60°, движется тело массой m=5 кг. Это тело с помощью нерастяжимой и невесомой нити, перекинутой через неподвижный и подвижный блоки, связано с телом массой m1 =12 кг (рис. 1.19). Коэффициент трения скольжения между телом m и наклонной плоскостью k =0,4. Определить: ускорения тел; силу натяжения нити; силы, действующие на оси блоков. Блоки считать невесомыми.

1.39. На горизонтальной поверхности лежит брусок массой m =0,8 кг, к которому привязана нерастяжимая и невесомая нить, перекинутая через блок, укрепленный на краю поверхности. Ко второму концу нити подвешен подвижный блок, через который перекинута вторая нерастяжимая и невесомая нить; к концам этой нити подвешены грузы с массами m1=0,25 кг и m2=0,2 кг (рис. 1.20). Зная, что груз m 1от начала движения всей системы за t=2 с перемещается на S=0,5 м, определить ускорения бруска и каждого из грузов; коэффициент трения скольжения бруска о горизонтальную поверхность; силы, действующие на оси подвижного и неподвижного блоков.

1.40. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=30°, движется тело массой m=2 кг. Это тело с помощью нерастяжимой и невесомой нити, перекинутой через блок, соединено с подвижным блоком. Через блок перекинута вторая нить с двумя грузами m1 =0,4 кг и m2=0,36 кг на ее концах (рис. 1.21). За t=1,6с тело m с момента начала движения системы переместилось вдоль наклонной плоскости на S=0,8 м. Определить: ускорение тела m и грузов m1 и m2; коэффициент трения скольжения тела по наклонной плоскости; пути, пройденные грузами m1 и m2 , силу, действующую на неподвижный блок.

1.41. Тело массой m=800 кг поднимают по наклонной плоскости с ускорением а=3м/с² на высоту h=6 м. Найти работу приложенной к телу силы F (рис. 1.22), составляющей с наклонной плоскостью угол β=25°. Угол наклона плоскости к горизонту α =37°, а коэффициент трения скольжения тела о плоскость k =0,25. Определить модуль силы F и приращение полной механической энергии тела после подъема.

1.42. Тело, на которое действует сила тяжести F T=2 кН, необходимо поднять по наклонной плоскости с ускорением а=1 м/с² на высоту h =2 м (рис. 1.23). Определить работу, которую совершает сила F при поднятии этого тела, и его полную механическую энергию после подъема. Угол наклона плоскости к горизонту α=30⁰, коэффициент трения скольжения тела о наклонную плоскость k=0,1. Сила F составляет с наклонной плоскостью угол β=30°.

1.43. Небольшое тело соскальзывает с наклонной плоскости, образующей угол α=35° с горизонтом (рис. 1.24). В конце спуска (у основания) тело упруго ударяется о стенку, перпендикулярную наклонной плоскости, и отскакивает вверх по наклонной плоскости. Определить, на какую высоту поднимется тело, если оно соскальзывало с высоты H=0,9 м. Коэффициент трения скольжения k=0,2, а коэффициент восстановления μ=0,9.

1.44. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=13°, начинает соскальзывать ящик с песком массой М=35 кг. В момент, когда ящик прошел путь s=l м, в него попадает камень массой m=5 кг, летящий под углом β=17° к горизонту. Определить скорость камня, если после его попадания , в песок ящик остановился. Коэффициент трения скольжения ящика по наклонной плоскости k=0,19.

1.45. Два шара (стальной массой m1=200 г и свинцовый массой m2=m1/4) подвешены, в одной точке на нитях длиной l=0,8 м. Свинцовый шар отклоняют так, что нить, на которой он подвешен, образует угол =74° с вертикалью, и отпускают. После соударения со стальным шаром он отклоняется на угол =32°. Удар центральный. Какое количество механической энергии перешло во внутреннюю и на какую высоту поднялся после соударения стальной шар над положением равновесия?

1.46. На нити длиной l=7,35 м висит груз. В него стреляют из винтовки, расположенной горизонтально на уровне груза. После попадания первой пули груз начинает колебаться. Каждый раз, когда он проходит положение равновесия, удаляясь от винтовки, в него попадает новая пуля. Скорость пули vо =600 м/с. На какой максимальный угол  отклонится нить с грузом после двадцатого выстрела, если все пули застревали в нем? Масса груза в n=1980 раз больше массы пули.

1.47. Вагон массой m1=20 т, движущийся по горизонтальному пути, догоняет другой вагон массой m2=3·10⁴ кг и сцепляется с ним так, что дальше они двигаются вместе. При этом суммарная механическая энергия вагонов уменьшается на W=6·10³ Дж. Определить, на сколько скорость первого вагона перед сцеплением была больше скорости второго.

1.48. Снаряд, выпущенный под углом =30° к горизонту, разрывается в верхней точке траектории на высоте H=35,1 м на две одинаковые части. После взрыва одна часть снаряда падает вертикально и достигает земли через t = 1 с. Определить скорость этой части снаряда при падении, отношение расстояний точек падения частей снаряда на землю до места выстрела.

1.49. При распаде неподвижного ядра образуется три осколка массами m1, m2, m3 с общей кинетической энергией Eo. Найти скорости осколков, если направления скоростей составляют друг с другом угол α=120°.

1.50. Три лодки, массой по mо =250 кг каждая, идут друг за другом со скоростью v=5м/с. Из второй лодки одновременно в первую и третью бросают грузы массой по m=20 кг со скоростью и=2 м/с относительно этой (второй) лодки. Определить их скорости после переброски грузов, изменение энергии каждой лодки.

1.51. Сваю массой m=150 кг забивают в грунт копром, масса которого M=450 кг. Копер свободно падает с высоты Н=5 м, и при каждом ударе свая углубляется в грунт на h= 12 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, для двух случаев: а) удар копра о сваю абсолютно упругий; б)удар абсолютно неупругий.

1.52. Человек стоит на покоящейся тележке и бросает камень массой m=8 кг со скоростью v =8 м/с под углом α =51° к горизонту. Определить, какую работу при этом он совершает, если масса тележки вместе с человеком М= 160 кг. На каком расстоянии упадет камень от тележки, если точка бросания его расположена на высоте H=1,8 м от поверхности земли, а коэффициент трения между тележкой и горизонтальной поверхностью k=0,01?

1.53. Два неупругих шара весом P1 =50 Н и P2=70 Н движутся со скоростями соответственно v1=4 м/с и v2=2 м/с. Определить, какова будет скорость шаров после прямого центрального их удара, предполагая, что: а) более легкий шар догоняет тяжелый; б) шары двигались навстречу друг другу. Найти работу, совершаемую при деформации.

1.54. Тело массой m=0,1 кг соскальзывает без трения по наклонной плоскости, переходящей в цилиндрическую поверхность радиусом R. Определить силы давления тела на поверхность в нижней (A), верхней (В) и средней (С) точках, если начальная высота тела H=3R (рис. 1.25).

1.55. На нити, выдерживающей силу натяжения FН=45,8 Н, мальчик равномерно вращает камень массой m=1кг в вертикальной плоскости. Ось вращения отстоит от поверхности земли на расстоянии L=5,9 м, радиус окружности, описываемой камнем, R=1м. Определить, с какой минимальной частотой необходимо вращать камень мальчику, чтобы нить оборвалась. На каком расстоянии от места, где он стоит, упадет камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.56. Трамвай массой m =2·10⁴ кг проходит с одинаковой скоростью два участка пути — выпуклый и вогнутый, имеющие одинаковый радиус кривизны R=100м. Мощность двигателей трамвая постоянна и равна N=25 кВт. На вогнутом участке сила давления трамвая на рельсы на F=40 кН больше, чем на выпуклом. Определить скорость трамвая на этих участках и силу тяги.

1.57. По наклонной плоскости, переходящей в цилиндрическую поверхность радиуса R=0,3 м, соскальзывает с высоты H=0,6 м небольшое тело. Определить, на какой высоте h оно оторвется от цилиндрической поверхности. На какую наибольшую высоту поднимется тело и какова его скорость на этой высоте (см. рис. 1.25) ? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

1.58. К вращающемуся горизонтальному диску на расстоянии d=10 см от оси вращения привязана нить длиной l=60 см с грузиком на конце. Нить образует с вертикалью угол =45° (рис. 1.26). На каком расстоянии г от оси вращения диска

может удержаться помещенное на него тело, если коэффициент трения скольжения k=0,25? Определить период обращения диска.

1.59. Шар радиусом R= 2 см висит на спице длиной l=0,18 м, верхний конец которой шарнирно соединен со стержнем, переходящим внизу в цилиндр, имеющий радиус r=4 см. Шар касается поверхности цилиндра, как показано на рисунке 1.27. При какой частоте вращения цилиндра шар перестанет давить на его поверхность?

1.60. Жесткий невесомый стержень шарнирно подвешен в точке О (рис. 1.28). В середине его (точка А) и на конце В закреп­лены два шара с массами mA=1,2 кг и mB=0,3 кг. Стержень отклоняют до горизонтального положения и отпускают. Определить силы натяжения стержня на участках ОА и АВ в момент прохождения им положения равновесия и в момент, когда стержень составляет угол =45° с положением равновесия. Трением в оси пренебречь.

1.61. Наклонная плоскость переходит в цилиндрическую поверхность, в верхней части которой сделан симметричный относительно вертикального диаметра вырез раствором 2=60° (рис. 1.29). Определить, с какой высоты (А) надо спустить небольшое тело без начальной скорости, чтобы оно после скольжения без трения до точки В могло по воздуху попасть в точку А, если радиус цилиндрической поверхности R=0,8 м. Найти максимальную высоту, на которую поднимется тело при перелете выреза АВ, и его скорость на этой высоте. Какой радиус кривизны траектории в наивысшей точке? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.62. Небольшое тело, привязанное к нити, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R=0,12 м. Его частота обращения =0,8 с ^-1. Определить: расстояние между плоскостью окружности и точкой подвеса; угол; образованный нитью с вертикалью; силу натяжения нити.

1.63. С помощью ракеты тело поднято на высоту H=800 км. Какую скорость следует сообщить ему в направлении, перпендикулярном к земному радиусу, чтобы затем оно двигалось по окружности вокруг Земли? Каков при этом будет период обращения этого тела вокруг Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.64. Вычислить отношение следующих ускорений: а1, вызываемого силой тяготения на поверхности Земли; а2, обусловленного центробежной силой инерции на экваторе Земли, и а3, сообщаемого телам на Земле Солнцем.

1.65. Для осуществления всемирной телевизионной связи достаточно иметь три спутника Земли, вращающихся по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток и расположенных таким образом, что направления на них (с центра Земли) образуют друг с другом углы =120°. Период обращения каждого спутника Т=24ч. Определить радиус орбиты и линейную скорость таких спутников.

1.66. Определить, во сколько раз изменилась бы продолжительность года на Земле, если бы масса Солнца стала равна массе Земли. Изменится ли ответ, если масса Земли будет равна массе Солнца?

1.67. Для создания искусственной тяжести на пассивном участке полета две части космического корабля, массы которых относятся как 1:2, разводятся на расстояние L, значительно большее других линейных размеров, и приводятся во вращение относительно их общего центра масс. Определить период вращения, если маятниковые часы в кабине космонавта, расположенной в более массивной части корабля, идут вдвое медленнее, чем на Земле.

1.68. Искусственный спутник Земли массой m движется равномерно по круговой орбите на заданной высоте Н под действием силы тяготения к Земле. Выразить аналитически зависимость действующей на спутник силы тяготения к Земле как функцию угловой скорости и как функцию линейной скорости. Определить, сколько оборотов в сутки, делает вокруг Земли «нулевой» спутник (т. е. фиктивный спутник, движущийся у самой сферической поверхности Земли по круговой орбите).

1.69. Космонавт массой m1=100 кг находится на поверхности астероида, имеющего форму шара радиусом R = 1 км, и держит в руках камень массой m = 1 кг. С какой максимальной горизонтальной скоростью относительно астероида космонавт может бросить камень, не рискуя, что сам станет спутником астероида. Плотность вещества однородного астероида ρ=5г/см³.

1.70. Космический корабль, находящийся достаточно далеко от всех притягивающих тел, движется с выключенным двигателем. Определить, будет ли система отсчета, связанная со стенками кабины, инерциальной? Что можно сказать о направлении вертика­ли внутри кабины? Описать, как будут вести себя тела внутри корабля, если включить двигатель. Найти направление вертикали в этом случае.

1.71. Определить отношение периодов обращения спутников, один из которых движется вокруг Земли, а второй — вокруг Луны. Круговые орбиты обоих спутников пролегают на одинаковом расстоянии h=200км от поверхностей Земли и Луны соответственно. Найти: отношение угловых скоростей, орбитальных скоростей и ускорений обоих спутников.

1.72. Маховик, представляющий собой сплошной диск массой m=100 кг и радиусом R=50 см, делает при вращении =360 об/мин. На цилиндрическую поверхность маховика начала действовать тормозящая сила F=20 H. Определить: его начальную энергию; число оборотов, которое сделает маховик до остановки; его угловое ускорение; промежуток времени, за который маховик будет остановлен.

1.73. Радиус вала махового колеса R=10^-2 м. На вал намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=0,2 кг. Под действием силы тяжести груз опускается за время t=5 с с высоты h1=l,2 м, а затем вследствие вращения колеса по инерции он поднимается на высоту h2=0,8 м. Определить момент инерции колеса.

1.74. К тележке, стоящей на горизонтальной плоскости, привязана нерастяжимая и невесомая нить, перекинутая через блок, который укреплен у края плоскости. К концу нити подвешен груз массой m1=0,9 кг. Масса платформы тележки m3=1,66 кг. Колеса тележки представляют собой сплошные диски, и масса каждого колеса m4=500 г. Считая, что масса блока распределена по ободу и равна m2=200 г, определить: ускорение тележки; силу натяжения нити; работу силы тяжести за первые t=5 с движения системы; путь, пройденный тележкой за это время; ее скорость и энергию к концу пятой секунды. Считать, что колеса катятся по горизонтальной поверхности без скольжения и нить по блоку не проскальзывает. Трением пренебречь.

1.75. На краю горизонтальной платформы массой m=200 кг, имеющей форму диска радиусом R=2 м, стоит человек, масса которого m0 =60 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, определить угловую скорость, с которой она вращается, когда вдоль ее края идет человек со скоростью v= 1 м/с относительно платформы. Найти угол поворота платформы к моменту, когда человек, обойдя ее по краю, вернется в исходную точку. (Человека на платформе рассматривать как материальную точку.)

1.76. Из скважины при помощи ворота поднимают груз массой m=50 кг. Масса барабана ворота m1=9 кг, радиус барабана R=0,4 м, длина рукоятки L=0,8 м. В конце рукоятки перпендикулярно к ней приложена постоянная по модулю сила F=320 H. Определить зависимость пути, пройденного грузом, и угловой скорости вращения барабана от времени. Найти: силу натяжения троса; работу, совершенную внешней силой к концу пятой секунды подъема груза; среднюю мощность за первые t=5 с подъема груза. Барабан считать однородным цилиндром.

1.77. На одной из чашек весов укреплен блок, который может вращаться относительно горизонтальной оси. На блок намотана невесомая и нерастяжимая нить, к концу которой подвешен груз массой m. Момент инерции блока I. Весы уравновешены, когда блок застопорен, и груз не опускается. Определить, на какую чашку весов и какой массы следует положить перегрузок для восстановления равновесия, когда блок свободно вращается и груз опускается, силу натяжения нити во время движения груза. Как зависит путь, проходимый грузом, и скорость его движения от времени? Найти работу силы тяжести за время t, отсчитываемое от момента начала движения груза. Радиус блока R?.

1.78. Маховик массой m=80 кг, имеющий форму диска радиусом R=60 см, вращается так, что угол поворота φ зависит от времени t по закону φ=2t+0,5t² (где угол φ выражен в радианах, а время t — в секундах). Определить: мгновенную мощность действующей на маховик внешней силы в конце второй секунды; среднюю мощность за первые две секунды; изменение энергии маховика за первые пять секунд; силу, действующую на маховик, считая ее приложенной по касательной.

1.79. Шарик, скатывающийся без скольжения по наклонной плоскости с углом наклона =30°, ударяется о горизонталь­ную плоскость и при этом подскакивает на высоту h=12,5 см. Пренебрегая трением и считая удар абсолютно упругим, определить: путь, пройденный шариком по наклонной плоскости; время скатывания; ускорение шарика при движении по наклонной плоскости. На каком расстоянии от места удара упадет шарик после подскока (рис. 1.30)?

1.80. Каток и груз соединены невесомой нитью, перекинутой через блок радиусом r, массу m которого можно считать распре­деленной по ободу. На каток и груз действуют силы тяжести Fт1 и Fт2 соответственно. Каток без проскальзывания перемещается по наклонной плоскости; составляющей угол  с горизонтом(рис.1.31). Определить: ускорение катка; кинетическую энергию системы через время t после начала движения; закон движения катка, если его радиус r1; силу натяжения нити; высоту, на которую поднимется центр масс катка за время t. Нить по блоку не скользит. Трением в осях пренебречь.

1.81. В тонкостенный цилиндр радиусом R=1 м и массой от m=4,9 кг, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, попадает горизонтально летящий восковой шарик и прилипает к его стенке. Найти угловую скорость, которую при этом приобретает цилиндр, если масса шарика mо=0,1 кг, его скорость и =10 м/с, а его траектория проходит на расстоянии R/2 от оси цилиндра; определить также кинетическую энергию системы после прилипания -шарика.

1.82. Самолет садится на палубу авианосца, имея скорость v=150 км/ч. Зацепившись за канат торможения, он пробегает до полной остановки s=80 м. Определить перегрузки при посадке, если коэффициент упругости каната не меняется по мере его растяжения. Масса пилота m =70 кг.

1.83. В одном из номеров цирковой программы артист совершает в падении полет из-под купола цирка, надев предварительно на ноги тонкие эластичные канаты, вторые концы которых либо закреплены, либо удерживаются другим артистом, находящимся под куполом. Определить перегрузки, которые испытывает артист в этом полете. Зависит ли сила натяжения канатов от высоты, с которой совершается полет? (Существует ли критическая высота, начиная с которой перегрузки для артиста становятся недопустимыми?) Для расчета принять: масса артиста от m=61,5 кг; для каната модуль Юнга E=10⁷ Н/м²; поперечное сечение каната S=2,25см².

1.84. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой от, прикрепленный к горизонтально расположенной пружине с коэффициентом жесткости k. В него попадает пуля массой m0 , летящая со скоростью v по направлению оси пружины, и застревает в нем. Шар начинает колебаться. Далее по нему производятся такие же выстрелы в моменты прохождения им положения равновесия в направлении от винтовки. Считая удар абсолютно неупругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду и период колебаний шара после n=20 выстрелов.

1.85. Шарик массой от m=0,1 кг укреплен на одном конце шарнирно закрепленной резиновой нити, жесткость которой k=50Н/м (длина нити в горизонтальном положении l=0,2 м). В начальный момент времени нить с шариком отклонена на 90° от вертикали, Затем шарик отпускают, и он падает, описывая кривую линию. Найти: его кинетическую энергию при вертикальном положении нити, натяжение нити в этом положении. Сравнить кинетическую энергию шарика с убылью его потенциальной энергии.

1.86. На уроке во время демонстрации упругих свойств ученик растянул пружину на какую-то длину. Учитель перехватил пружину в этом положении и растянул ее на столько же. В каком случае совершена большая работа и во сколько раз? Задачу решить аналитически и графически.

1.87. Гладкий резиновый шнур, длина которого l и коэффициент упругости k, подвешен одним концом к точке О. На другом конце имеется упор В. Из точки О начинает свободно падать муфта А массой т (рис. 1.32). Пренебрегая массой шнура упора, определить максимальное растяжение шнура.

1.88. Вода, которую прокачивают через гладкий шланг, вырывается из него через наконечник, имеющий поперечное сечение S=35 см². Струя направлена под углом =30° к горизонту поднимается на высоту H=4,8 м над выходным отверстием. Подающий шланг насоса погружен в большой резервуар, уровень воды в котором на h=2,4 м ниже уровня отверстия в наконечнике. Определить, какую мощность потребляет от сети η, приводящий в действие используемый насос, если общий КПД насоса с электродвигателем η=60%.

1.89. Струя воды диаметром D=2 см, движущаяся со скоростью v =10 м/с, ударяется о неподвижную плоскость, поставленную перпендикулярно к струе. Определить ее силу давления на плоскость, считая, что после удара о плоскость скорость частиц воды равна нулю.

1.90. Кубик из однородного материала, находящийся в жидкости, всплывает с постоянной скоростью. Плотность жидкости n=3,5 раза больше плотности материала кубика. Определить, во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий кубик, больше его веса.

1.91. Из водопроводного крана непрерывно льется струя воды в сосуд. 3а t=1 с наливается вода объемом V=0,3 л. Каков должен быть диаметр отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне (h =10,5 см)?

1.92. Цилиндр насоса, расположенный горизонтально, имеет диаметр D1=20 см. В нем движется поршень со скоростью v=1 м/с, выталкивающий воду через отверстие диаметром D2=2 см. Определить скорость вытекания воды и давление ее в цилиндре насоса.

1.93. Тело, падая в воде из состояния покоя, прошло путь а время t. Определить плотность тела, считая силу сопротивление воды постоянной и меньшей действующей на тело силы тяжести в п раз.

1.94. Период гармонических колебаний материальной точки Т=2; с, а ее полная механическая энергия Е=10^-4 Дж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы действующей на материальную точку, если ее масса т= 10 г. Написать уравнение гармонических колебаний материальной точки.

1.95. К нижней точке висящей вертикально пружины подвешена нитях два груза по m=0,2 кг каждый, в результате Δl она получила статическое удлинение D=10 см. Когда одну из ей пережгли, оставшийся груз начал колебаться. Записать уравнение движения этого груза. Найти: период и амплитуду колебаний; наибольшее значение силы упругости пружины; полную

1.96. Кубик из однородного материала, находящийся в жидкости, всплывает с постоянной скоростью. Плотность жидкости n =3,5 раза больше плотности материала кубика. Определить, восколько раз сила трения, действующая на всплывающий кубик, больше его веса.

1.97. Из водопроводного крана непрерывно льется струя воды в сосуд. 3а t=1 с наливается вода объемом V=0,3л. Каков должен быть диаметр отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне (h =10,5 см)?

1.98. Цилиндр насоса, расположенный горизонтально, имеет диаметр D1=20 см. В нем движется поршень со скоростью v=1 м/с, выталкивающий воду через отверстие диаметром D2=2 см. Определить скорость вытекания воды и давление ее цилиндре насоса.

1.99. Тело, падая в воде из состояния покоя, прошло путь s за время t. Определить плотность тела, считая силу сопротивление воды постоянной и меньшей действующей на тело силы тяжести в п раз.

1.100. Период гармонических колебаний материальной точки T=2; с, а ее полная механическая энергия Е=10^-4 Дж. определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы действующей на материальную точку, если ее масса т=10 г. Записать уравнение гармонических колебаний материальной точки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. М.. «Наука», 1973.

2. Иродов И. Е., Савельев И. В., Замша О. И. Сборник задач по общей физике. М., «Наука», 1972.

3. Иродов И.Е. Задачи по общему курсу физики. М., Наука, 1988 г.

4. Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М., «Наука», 1965.

5. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.,1980 г.

6. Новодворская Е. М. Методика проведения упражнений по физике в ВУЗе. М„ «Высшая школа», 1970.

7. Сахаров Д. И. Сборник задач по физике. М., «Просвещение», 1967

8. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1, М., Наука, 1989 г.

9. Сборник задач по общему курсу физики. Под ред. Яковлева. Механика. М., Наука, 1977 г.

10. Сивухин С.Д. Общий курс физики. Т.1, Механика. М., Наука, 1987 г.

11. Стрелков С.П. Механика. М., 1975 г.

12. Трофимова Т.И. , Курс физики, «Высшая школа», 2001

13. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. М., Наука, 1986 г.

14. Хайкин С.Э. Физические основы механики. М., Наука, 1972 г.

15. Чертов А. Г., Воробьев А. А., Федоров М. Ф. Задачник по физике с примерами решения задач и справочными материалами. М., «Высшая школа», 1973.

16. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. М., «Наука», 1965.

Приложения рисунков.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]