Решение задач на расчёт погрешностей измерений.
Умение грамотно измерять физические величины и оценивать погрешности своих измерений необходимы не только в учебном процессе, но и в практической деятельности. С точными измерениями связаны многие современные профессии. Поэтому к числу важных задач обучения физике относятся выработка у учащихся навыков измерений физических величин и умений оценивать допускаемые при этом погрешности. С такими проблемами учащиеся сталкиваются, например, при выполнении лабораторных и практических работ, часто испытывая при этом серьезные затруднения, поскольку, как правило, не имеют необходимых навыков. Для того чтобы обучить школьников проводить анализ погрешностей измерений, рекомендуем использовать решение физических задач соответствующего содержания. рассмотрим примеры таких задач.
1. Температурные изменения влияют на размеры измерительных приборов и их погрешность. В каких пределах Д1 может изменяться температура стальной измерительной линейки длиной = 300 мм, чтобы изменение длины Δl не превышало цены деления прибора, равной 1 мм?
Р е ш е н и е. Из известной формулы с учетом того, что
, получаем
Δt=
где а = 16,0 • — коэффициент линейного теплового расширения стали. После подстановки числовых данных имеем Δt=208 К. При изменении температуры на Δt ≈ 200 К длина линейки будет меняться в пределах цены деления. (Заметим, что инструментальная погрешность стальной линейки составляет ± 0,1 мм. Этому соответствует изменение температуры всего на 20 'С.)
2. Выполняя практическую работу по определению постоянной Больцмана, учащийся использовал для расчетов рабочую формулу: k= pVM/(mТ). Получите формулу для вычисления относительной погрешности измерений и найдите значение постоянной Больцмана и относительную погрешность по результатам опыта с этиловым эфиром (молярная масса М =74 • кг/моль, объем сосуда V=20 л, давление р=1,8 • Па, температура T = 290 К), учитывая абсолютные погрешности измерений ΔV=± 01л, Δm=±01r, Δр= ± 50 Па, ΔТ= ±1К. Р е ш е н и е. При косвенных измерениях' физической величины погрешность определяют, пользуясь формула-ми приближенных вычислений. По формулам дифференцирования найдем абсолютную погрешность
ΔK=•Δ=x
TQ2 Т'
Тогда относительная погрешность
Ε=+
Подставляя данные опыта в рабочую
формулу, получаем значение постоян-
ной Больцманаk=1,39*и
значение относительной погрешности
0,12; 𝝴 ≈12%
3. В какой части шкалы школьный
амперметр дает наибольшую погреш-
ность? Инструментальная погреш-
ность амперметра I= ± 0,05A
Р ешение. Относительная по--
грешность𝝴 =показаний
прибора определяется отношением его
абсолютной погрешности к значению
силы тока. Наибольшая погрешность
прибора будет в том случае, когда его
стрелка-указатель находится вначале
шкалы; тогда
При нахождении стрелки в средней
части шкалы
(или «5 %). Следовательно, при прове-
дении эксперимента надо выполнять
простое правило; пользоваться таким
измерительным прибором или так вы-
бирать режим его работы, чтобы стрел-
ка-указатель заходила за середину
шкалы. В этом случае погрешность
показаний прибора будет наименьшей.
При выполнении лабораторных и
практических работ многие учащиеся
и е понимают, почему нужно проводить
серию однообразных опытов, когда при
аккуратной работе можно получить
достаточно хорошие результаты. Поучи-
тельна в этом плане следующая задача.
4. При выполнении лабораторной
работы по определению ускорения
свободного падения с помощью
маятника учащийся получил такие
данные: маятник длиной 1мсовер-
шилвпервом опыте 5 колебаний за
10 с, во втором —60 за 120 с. Опре-
делите ускорение свободного паде-
ния для каждого случая и оцените
погрешности измерений. Какие
измерения наиболее точны? Абсо-
лютные погрешности измерения
длины маятника г5мм и измерения
времени а1с.
Решение. Из формулы, исполь-
зуемой в данном случае для вычисле-
ния ускорения свободного падения,
(где!— длина маятника,
N—число колебаний, 1— время) после
подстановки числовых данных получа-
ем соответственно в первом и втором
опытах: и .
Относительная погрешность равна
или соответственно
Таким образом, численные значения
ускорения свободного падения в этих
опытах получились равными, а погрешности различными (причем существен-
но). Увеличив число колебаний, а зна-
чит, и время колебаний маятника, мы
значительно уменьшили относительную
погрешность измерения времени, тем
самым существенно уменьшили погреш-
ность измерений.
Увеличивая точность измерений
длины маятника и числа колебаний в
данной работе, можно этим методом
получить ускорение свободного паде-
ния, близкое к истинному его зна-
чению.
В предлагаемых задачах рассматри-
вались только одиночные опыты. Вни-
мание учащихся надо обратить на сле-
дующее. В таких одиночных опытах
возможны случайные ошибки, которые
при грубых промахах экспериментатора
могут достичь существенного значения.
Во избежание этого выполняют серию
опытов. С увеличением числа измере-
ний уменьшаются случайные ошибки,
хотя инструментальные погрешности
при этом не изменяются.
Решение изложенных выше задач
помогает учащимся приобрести навыки
обработки экспериментальных данных,
накопить достаточный опыт расчета
погрешностей, что в свою очередь
позволяет применять все это при вы-
полнении лабораторных и практических
работ.
