Бруски, доски и кирпичи
О применении законов сохранения в некоторых задачах динамики. 10-й класс
Для учеников выпускных классов начинается тяжёлая пора – окончание школы не за горами, а значит, и «двойные экзамены в одном флаконе» – выпускные и вступительные. С каждым годом «пропасть» между уровнем базовой, «школьной», физики и вузовской увеличивается. Реформа образования убила «между делом» и механику 9-го класса. А уровень вступительных задач остался по-прежнему высоким (это объективно, так и должно быть: законы, по которым конструируют самолёты, не могут упроститься по указу!). И с горечью об упущенном времени объясняешь одиннадцатиклассникам на переменке то, что ещё не забыл сам!
За редким исключением принципиально новых задач абитуриентам не предлагают. Одна, принесённая учениками после контрольного тестирования ведущего московского вуза, была «старой знакомой». Однако решение, указанное в сборнике МИФИ аж 1987 г. (Справочник для поступающих. – М.: МИФИ, 1987), показалось мне чуть затянутым. Кроме «мифической» задачи хочу также показать решение одной из задач письменного выпускного экзамена по физике, который несколько лет проводился в московской школе № 710 (сейчас гимназия № 710 им В.К.Жудова, РАО).
• «Доска и брусок» (задача МИФИ).
[pic]
На гладкой горизонтальной?поверхности лежит доска длиной l = 1,2 м и массой М = 1,6 кг. На край доски положили небольшое тело массой m = 0,4 кг. Коэффициент трения между телом и доской k = 0,3. С какой минимальной скоростью [pic] 0 следует резко толкнуть доску вправо, чтобы тело соскользнуло с неё?
• Задача «Брусок и доска».
[pic]
На гладкой горизонтальной плоскости покоится доска массой М. На доске лежит тело массойm, которому толчком сообщают начальную скорость [pic] вдоль доски. Коэффициент трения между телом и доской равен k. На какое расстояние s сместится тело относительно доски? Считать, что тело, смещаясь, всё время остаётся в пределах доски.
По сути, это формулировка одной и той же задачи.
Решение задачи 1
Рассмотрим ситуацию в лабораторной системе отсчёта. При резком толчке брусок начнёт проскальзывать по доске, постепенно вовлекаясь в движение, поскольку между бруском и доской возникают силы трения: F(M)тр – сила, действующая на доску со стороны бруска, иF(m)тр – сила, действующая на брусок со стороны доски. Эти силы, согласно третьему закону Ньютона, равны по модулю и противоположны по направлению: F(M)тр = kmg и F(m)тр = kmg. Они сообщают «своим» телам разные ускорения: доска тормозит с ускорением a(M) = kgm/M, а брусок получает ускорение a(m) = kg. При этом относительное движение доски и бруска прекратится, когда их скорости сравняются.
Время, за которое произойдёт выравнивание скоростей, можно обозначить как [pic] . За время [pic] доска переместится на расстояние [pic] а брусок пройдёт в том же направлении, что и доска, расстояние [pic] Разность пройденных расстояний sи составит искомое перемещение бруска по доске, которое не должно быть меньше l:
s = s(M)– s(m) = [pic] 0 [pic] – [pic] a(M) [pic] 2 – [pic] a(m) [pic] 2 [pic] l.
Время [pic] можно найти из равенства конечных скоростей бруска [pic] (m) и доски [pic] (M):
[pic]
Подставляя в явном виде значения ускорений, получим следующее выражение:
[pic]
(В этом месте мне хотелось бы остановиться самому и остановить внимание тех учеников, которые пошли бы решать задачу путём, предложенным МИФИ. В числителе дроби стоит количество движения (импульс, которым вначале обладала доска!), а в знаменателе – нечто, что имеет размерность силы. Очевидно, что, применив второй закон Ньютона в формулировке «Импульс силы, действующей на доску, равен изменению импульса доски», мы пришли бы к искомому времени на шаг быстрее:
[pic]
Конечная скорость доски с бруском получается, если использовать закон сохранения импульса в системе «Доска и брусок».)
Подставляя время относительного движения в выражение для s, получим выражение для искомой скорости:
[pic]
Однако есть другой способ решения – с использованием законов сохранения.
Решение задачи 2
Рассмотрим ситуацию в лабораторной системе отсчёта. Система «Брусок и доска» в начале движения обладала количеством движения (импульсом) m [pic] . Поскольку силы трения между доской и бруском суть силы внутренние, трение между плоскостью и доской отсутствует, а сила тяжести компенсируется силой нормальной реакции поверхности, то количество движения в системе сохраняется и тогда, когда брусок и доска будут двигаться вместе со скоростью u: m [pic] = (M + m)u.
Вместе с тем механическая энергия в системе уменьшается за счёт действия силы трения. Убыль кинетической энергии равна работе силы трения:
[pic]
[pic]
Из полученного ответа видно, что он совпадает с предыдущим. Оба решения довольно очевидные, хотя мне кажется, тот, кто «увидел» второе решение, не станет решать первым способом. Однако методически правильно показать оба решения. Для закрепления такого подхода ещё одна задача.
• «Кирпич и крыша».
[pic]
Кирпич, лежащий на краю крыши дома, толкнули вверх вдоль ската со скоростью [pic] = 10 м/с. После упругого удара о конёк кирпич соскользнул обратно и остановился на краю крыши. Найдите коэффициент трения k, если конёк находится на высоте h = 2,5 м от края крыши, а угол наклона [pic] = 30°.
Решение
Решаем задачу в системе отсчёта «Земля». Вначале кирпич обладал кинетической энергией. За уровень отсчёта потенциальной энергии можно принять край крыши, тогда она изначально равна нулю. В конце своего пути кирпич уже не обладал никакой механической энергией. Упругий удар о конёк не изменяет механической энергии, поэтому её убыль связана с работой силы трения вдоль ската крыши. Модуль этой силы постоянен во время всего движения и вверх, и вниз: Fтр = kmgcos [pic] . Длина ската равна l = h/sin [pic] . В итоге получаем:
[pic]
(при g = 9,81 м/с2 получается k = 0,59, таким образом, коэффициент трения чуть больше тангенса угла наклонной плоскости, т.е. брусок может «физически» лежать на плоскости, не соскальзывая, что, правда, оговорено в условии).
Конечно, данную задачу можно решить, рассматривая движение вверх по скату крыши и вниз. Однако применение законов сохранения (импульса и энергии) позволяет в ряде задач динамики, и это видно на приведённых примерах, сэкономить усилия и время, избежав промежуточных выкладок.
