Применение производной при решении задач по физике

Урок элективного курса по физике в 11 классе

по теме

«Применение производной при решении физических задач»

Цели урока: 1.Раскрытие направлений применения математики к физическим процессам; формирование умения применять производную к решению физических задач. 2. Развитие логического мышления при установлении связи физических величин с понятием производной, развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий.

3. Развитие навыков самостоятельной работы.

Тип: урок комплексного применения знаний и умений.

Формы работы на уроке: самостоятельная, фронтальная работа, работа в парах.

Способы работы: репродуктивный, частично-поисковый с выходом на творческую работу.

Оборудование: учительский ПК (ноутбук),проектор, экран.

Методический комментарии: данный урок проводится в рамках темы «Применение производной при решении задач ЕГЭ по физике».

Методический комментарии: данный урок проводится в рамках темы «Производная и ее применение при решении задач ЕГЭ по физике» после того, как были отработаны навыки отыскания производных элементарных функций; исследования функций и нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.

ХОД УРОКА

ОРГМОМЕНТ

ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ И МОТИВАЦИЯ

Формулировка темы и цели урока, сообщение о порядке работы и оценивании на каждом этапе урока.

АКТУАЛИЗАЦИЯ

Сегодня мы с вами рассмотрим применение производных при решении различных физических задач, поэтому нам будет нужна следующая таблица.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

1. Задача . Тело, масса которого 5кг, движется прямолинейно по закону [pic] , где [pic] - измеряется в метрах, а [pic] в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.

Р [pic] [pic] ешение.

[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: 902,5 Дж.

2. Задача . В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону [pic] , где [pic] – длина стержня, отсчитавшая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

1. отстоящей от начала стержня на 3см;

2. в конце стержня.

Решение.

[pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

1. [pic]

[pic]

2. [pic]

Ответ: 15г/см; 103г/см.

Задача. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента [pic] , задается формулой [pic] . Найдите силу тока в момент времени [pic] .

Решение.

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

Ответ: 19А.

Задача.Точка движется прямолинейно по закону [pic] , где [pic] - перемещение в сантиметрах, [pic] - время в секундах. В какой момент времени скорость точки будет равна 33см/с?

Решение.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] .

III Самостоятельная работа в двух вариантах .

Вариант 1

1. В чем сущность физического смысла [pic] ?

А. Скорость. Б. Ускорение.

В. Угловой коэффицент. Г. Не знаю.

2. Точка движется по закону [pic] . Чему равна скорость тела в момент времени [pic]

А. 15 Б. 12 В. 9 Г. 3

3. Зависимость пути [pic] от времени движения выражается формулой [pic] . Назовите формулу скорости.

А. t Б. 2gt В. gt Г. g

4. Точка движется прямолинейно по закону

[pic]

В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю?

А. 1 и 3 Б. 1 и 4 В. 2 Г. 2 и 0

5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле [pic]

Чему равно ускорение тела в момент [pic] ?

А. 17 Б. 32 В. 30 Г. 16

Вариант 2

6. В чем сущность физического смысла [pic] ?

А. Скорость. Б. Ускорение.

В. Угловой коэффицент. Г. Не знаю.

7. Точка движется по закону [pic] . Чему равна скорость тела в момент времени [pic]

А. 15 Б. 12 В. 9 Г. 3

8. Зависимость пути [pic] от времени движения выражается формулой [pic] . Назовите формулу ускорения.

А. t Б. 2gt В. gt Г. g

9. Точка движется прямолинейно по закону

[pic]

В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю?

А. 1 и 3 Б. 1 и 4 В. 2 Г. 2 и 0

10. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле [pic]

Чему равно ускорение тела в момент [pic] ?

А. 17 Б. 32 В. 30 Г. 16

На обычной классной доске решаются типичные базовые задачи, используя (Слайд14) как справочный материал, дается теоретическое обоснование способа решения. На этом этапе урока идет фронтальная работа.

Устно:

1. Тело движется по закону x(t)=2t³ -2,5t² + 3t +1. Найти скорость тела при t=1c.

Ответ: 4 м/с

2. Тело движется по закону x(t)= 3t⁴ -3t³ + 4t + 2. Найти скорость тела при t=1с.

Ответ: 11 м/с

3. Заряд q изменяется по закону q(t)= 0,4t², найти силу тока при t=10c.

Ответ: 8 А

4. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону ϕ(t)= 0,3t² – 0,5t + 0,4. Найти угловую скорость при t= 10с.

Ответ: 5,5 рад/с

Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа по группам. Один ученик одновременно работает у доски

1 группа

Задания 1 варианта:

5. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t³+t-3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с². (х – координата точки в метрах, t- время в секундах)

Ответ: 2 с

6. Колебательное движение точки описывается уравнением х=0,05cos20 [pic] t. Найти проекцию скорости спустя [pic] с.

Ответ: [pic]

Задания 2 варианта

работа в паре

7.Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна

x(t)=t [pic] -2t. Найдите ускорение точки в момент времени t=3.

Ответ: 108 м/с2

7. Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону x(t) = 5t ³ – 4t ²+ 3t -7. Найти силу при t=4c.

Ответ: 224 Н

10.Заряд q изменяется по закону q(t)= 0,4t²+ 1,2t. Найти силу тока при t=4c.

Ответ: 4,4 А

Задания 3 варианта

11. Тело массойт8кг движется прямолинейно по закону x(t)=2t²+3t -6. Найти импульс тела в момент времени t=1c.

Ответ: 56 кг.м/с

1. Тело массой 300г движется прямолинейно по закону x(t)=6t³+ 2t-7. Найти силу, действующую на это тело при t=3c.

Ответ: 32,4 Н

13.Температура тела Т изменяется по закону Т( t)=0,2t²+ 5t -3. Какова скорость изменения температуры при =2с?

Ответ: 5,8 К

Задача на применение геометрического смысла производной.

  [pic] Шарик ка­тит­ся по же­ло­бу. Из­ме­не­ние ко­ор­ди­на­ты ша­ри­ка с те­че­ни­ем вре­ме­ни в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та по­ка­за­но на гра­фи­ке. Вы­бе­ре­те два утвер­жде­ния, ко­то­рые со­от­вет­ству­ют ре­зуль­та­там опыта.

1) Про­ек­ция ско­ро­сти ша­ри­ка по­сто­ян­но уве­ли­чи­ва­лась и оста­ва­лась от­ри­ца­тель­ной на всем пути.

2) Пер­вые 2 с ско­рость ша­ри­ка воз­рас­та­ла, а затем оста­ва­лась по­сто­ян­ной.

3) Пер­вые 2 с шарик дви­гал­ся с умень­ша­ю­щей­ся ско­ро­стью, а затем по­ко­ил­ся.

4) На шарик дей­ство­ва­ла все уве­ли­чи­ва­ю­ща­я­ся сила.

5) Пер­вые 2 с про­ек­ция уско­ре­ния ша­ри­ка не из­ме­ня­лась, а затем стала рав­ной нулю.

Физический смысл производной. Приложение№2.

Вариант 1.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) = [pic] t³-5t², равна

a) [pic] t³-5t²;

б) .t³- 5t;

в) .t²-10t;

г) [pic] t⁴-5t.

2. Точка движется по прямой по закону s(t) =2t²-2t-1. Её мгновенная скорость v(3) равна

a) 8;

б) 6;

в) 10;

г ) 9.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =t³-5t² равно:

a) 2(3t-5);

б) 9t²-10;

в) 3t²-10t;

г) 6t-8.

4. Тело массой m движется по закону x(t) =3cos3 [pic] .Сила, действующая на тело в момент времени t= [pic] равна:

a) 0;

б) 27 [pic] ²m;

в) 9 [pic] ²m;

г) 9m.

Вариант 2.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) = [pic] t²-4t, равна

a) [pic] t-4t;

б) .t- 4t;

в) [pic] .t³-4t²;

г) t-4.

2. Точка движется по прямой по закону s(t) =4t²-5t+7

Её мгновенная скорость v(2) равна

a) 11;

б) 13;

в) 12;

г ) 10.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =-t³+2t² равно:

a) 6-6t;

б) 2(2-3t) ;

в) -3t²+4t;

г) -3t+4.

4. Тело массой m движется по закону x(t) =-2sin2 [pic]

Сила, действующая на тело в момент времени t= [pic] равна:

a) 0;

б) 8m;

в) 8 [pic] ²m ;

г) 4 [pic] ²m .

Вариант 3.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =3 t³+2t², равна

а) 9t² +4t^;

б) 3t² +2t;

в) .9t²+2t; г) 3t⁴+2t³.

2. Точка движется по прямой по закону s(t) =-t²+10t-7

Её мгновенная скорость v(1) равна

a) 6;

б) 8

в) 10

г ) 9

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) = [pic] t³-6t равно:

a) t² -6;

б) 3t-1;

в) 2t;

г) 2t-6.

4. Тело массой m движется по закону x(t) =2sin4 [pic]

Сила, действующая на тело в момент времени t= [pic] равна:

a) 0;

б) 16 [pic] m;

в) 16m ;

г) -32 [pic] ²m.

Вариант 4.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =2 t³+ [pic] t², равна

a) 2t²+ [pic] t;

б) .6t² +0,5t;

в) 6.t²+ [pic] t;

г) 6t²+ 0,5.

2. Точка движется по прямой по закону s(t) =3t²+2t-1

Её мгновенная скорость v(3) равна

a) 18;

б) 16;

в) 20;

г) 14.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =t³-5t² равно:

a) 2( 3t-5);

б) 9t²-10;

в) 3t²-10t;

г) 6t-8.

4.Тело массой движется по закону x(t) =-3cos2 [pic]

Сила, действующая на тело в момент времени t= [pic] равна:

a) -12 [pic] m;

б) 0;

в) -12m;

г) 12m.

Самостоятельная работа в двух вариантах

Задания 1 варианта:

1. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t³+t-3.
В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с².
(х – координата точки в метрах, t- время в секундах)

2. Колебательное движение точки описывается уравнением х=0,05cos20 [pic] t. Найти проекцию скорости и проекцию ускорения спустя [pic] с.

Задания 2 варианта

1. Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(t)=t [pic] -2t.
Найдите ускорение точки в момент времени t=3.

2. Колебание маятника совершается по закону х = 0,2sin10 [pic] t.
Определите проекцию скорости маятника и ускорение через [pic] с.

Задача №4. Одна задача из ЕГЭ .(Фронтальная работа)

а) Постановка проблемного вопроса:

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника постоянного тока, реостата, ваттметра, подключенного к реостату, ключа и соединительных проводов. Будут ли меняться показания ваттметра при увеличении сопротивления реостата?

б) Выслушиваются ответы учащихся, затем проделывается опыт. Учащиеся убеждаются, что сначала мощность на реостате увеличивается, а потом уменьшается.

в) Учитель предлагает решить задачу:

При каком сопротивлении нагрузки полезная мощность источника тока максимальна? ЭДС источника равна ε, внутреннее сопротивление r.

Учитель: эту задачу можно решить разными способами. Мы будем решать ее математическим методом как задачу на оптимизацию. Решение задачи физическим методом вы попробуете найти дома - это ваше домашнее задание.

Решение: начертим схему цепи; выведем формулу для расчета полезной мощности, выделяющейся на реостате: [pic]

Переменная величина – внешнее сопротивление R.

Составляем математическую модель функции:  [pic]

определяем порядок нахождения производной (производная частного, степенной функции). [pic]

Ответ: полезная мощность максимальна при внешнем сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению источника тока.

Домашняя работа

[pic] [pic]

а [pic] ) начальная координата точки;

б [pic] ) зависимость проекции скорости от времени;

в [pic] ) зависимость проекции ускорения от времени;

г [pic] ) зависимость проекции равнодействующей всех

с [pic] ил от времени;

д) зависимость кинетической энергии от времени;

е [pic] ) моменты времени, когда тело покоилось

[pic]

ИНФОРМАЦИЯ О ДОМАШНЕМ ЗАДАНИИ И РЕФЛЕКСИЯ

Задание 1. Придумать физическую задачу на нахождение наибольшей или наименьшей неизвестной величины.

Домашняя работа

1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону

s(t)= t²+2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 2t³- t² при t = 2с.

3. Закон изменения температуры тела в зависимости от времени задаётся уравнением T = 0,2t². С какой скоростью изменяется температура тела в момент времени 5с ?

4. Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением

I = 2t² – 5t. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени 10 с.

5. Маховик вращается вокруг оси по закону [pic] (t) = t⁴ – 1. Найдите его угловую скорость w в момент времени t и t=2 с.

6.(2) При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 10^-2cos 10 [pic] t. Вычислив производную Ф^,t , написать формулу зависимости ЭДС от времени [pic] = [pic] (t).

7. (2) Заряд q на пластинах конденсатора изменяется по закону

q = 10 ^{- 6}cos 10 ⁴ [pic] t. Записать закон зависимости силы тока от времени i= i(t), вычислив производную q^,t.

Задача.Гиря массой 2 кг подвешена на стальной пружине и совершает свободные колебания вдоль вертикально направленной оси Ох, координата х центра масс гири изменяется со временем по закону х=0,4sin5t .Найти кинетическую энергию груза при t=п/5 с.

Алгоритм

1. Выберите величину – функцию и величину – аргумент. Составьте формулу аналитической зависимости между этими величинами.

2. Уточните промежуток изменения независимой величины (аргумента), на котором отыскивается наибольшее (наименьшее) значение функции,

3. Найдите критические точки функции.

4. Найдите значение функции в критических точках и на концах промежутка. Выберите из них наибольшее (наименьшее) значение.