Министерство образования и науки Республики Северная Осетия-Алания Муниципальное казенное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с. Новый Батако»

Интегрированный урок

(алгебра и начала анализа + физика)

по теме:

«Применение производной
в физике и технике»

(в рамках подготовки к ЕГЭ)

Учитель физики и математики Кудухова Н. В.

2015-2016 учебный год

Применение производной
в физике и технике

« Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение »

Ф. Энгельс

«… Нет ни одной области в математике, которая когда – либо не окажется применимой к явлениям действительного мира …»

Н.И. Лобачевский

ЦЕЛЬ УРОКА

ОБУЧАЮЩАЯ :

• повторить, обобщить, систематизировать знания по данной теме ;

• показать учащимся необходимость знания материала изученной темы при решении прикладных задач;

• обратить внимание на связь данной темы с физикой и другими науками

• сформировать начальное представление об истории развития математического анализа.

РАЗВИВАЮЩАЯ:

• способствовать формированию умений применять приемы: сравнения , обобщения, выделения главного, перенос знаний в новую ситуацию,;

• развитию математического кругозора, мышления, математической речи, внимания и памяти.

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ:

• содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, развивать культуру общения, активность;

• способствовать развитию творческой деятельности учащихся.

ПЛАН УРОКА

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания и постановка проблемы.

III. Обобщение и систематизация знаний.

IV. Самопроверка знаний.

V. Решение прикладных задач.

VI. Подведение итогов.

VII. Домашнее задание.

Механический смысл производной

М [pic] еханическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. . Таким образом, если закон движения

материальной точки задан уравнением s=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную s’=f ’(t) и подставить в неё соответствующее значение t.

[pic] Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Решение задач

1. Точка движется по закону x(t) = -1/3 t³ + 2 t² + 5t

а) выведите формулу для вычисления скорости движения

точки в любой момент времени t ( t > 0);

б) найдите скорость в в момент t = 2c;

в) через сколько секунд после начала

движения точка остановится?

Решение:

а) v(t) = - t ² + 4 t + 5.

б) v(2) = - 2 ² + 4∙2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9(м/с).

в) v(t) = 0, - t ² + 4 t + 5 = 0, t1 = -1, t2 = 5,

-1 < 0, не удовлетворяет условию задачи.

Точка остановится через 5 секунд после начала движения.

[pic]

2 [pic] . Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v0 движется по закону , где h – путь в метрах, t- время в секундах.

Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если
g = 10м/с2.

Р [pic] [pic] ешение:

[pic]
=125.

Ответ: 125 м.

Примеры применения производной

С помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Рассмотрим некоторые из них.

1. Мощность есть производная работы по времени

N = A ‘ (t)

2. Пусть дан неоднородный стержень длиной l и массой m(l), начало которого в точке l = 0. Тогда производная функции массы стержня по его длине l есть линейная плотность стержня в данной точке:

ρ(l) = m ‘ (l)

3) Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре:

C(t) = Q ’(t)

4) Сила тока есть производная заряда по времени:

I = q ‘ (t)

Решение задач

. [pic] 3/ В тонком неоднородном стержне, имеющем длину 25 см, масса (в граммах)

распределяется по закону , где l – расстояние в сантиметрах от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня.

Решение:

ρ(l) = m(l)

ρ(l)= 8l – 2, ρ(4) = 32 – 2 = 30

Ответ: 30 г\см3

4 [pic] . Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0 С до температуры t (по Цельсию), известно, что в диапазоне от 95 до 0 , формула

дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

Решение:

[pic]

5. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?

Решение:

I(t) = q ‘ (t), ,

Отсюда, t = 2 или t = -2;  t = -2 не подходит по условию задачи.

Ответ: t = 2.

6задача.

• Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так ,что её масса m изменяется по закону m(t)=1-2t/3.

• Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

• m(t)=0; 1-2t/3=0;

t=3/2/

• Капля испарится на 3/2 сек.

• Обозначим время падения капли через t;

V(t)=gt; ω(t)=m(t)∙V²(t) ⁄ 2.

• Найдем критические точки на [0;3/2]

• ω'(t) = g²t - g²t² = g²t(1-t).

2) ω'(t)=0; g²t(1-t)=0

t=0 или t=1

3) ω(0)=0; ω(1)=g²/6; ω(3/2)=0;

ОТВЕТ: через 1 секунду после падения кинетическая энергия капли будет наибольшей.

Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Материальная точка движется по закону s(t)=12t+3t³. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2с.

Решение: v(t)=s’(t)= 12+9t²;

v(2)=12+36= 48 (м/с);

a(t)=v’(t)= 18t;

a(2)=18·2= 36 (м/с²).

2. Тело, масса которого 5кг, движется прямолинейно по закону [pic] , где [pic] - измеряется в метрах, а [pic] в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.

Ре [pic] [pic] шение.

[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: 902,5 Дж.

3. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента [pic] , задается формулой [pic] . Найдите силу тока в момент времени [pic] .

Решение.

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

Ответ: 19А.

Вариант 2.

1. Материальная точка движется по закону s(t)=16t+2t3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2 с.

2. Задача . В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону [pic] , где [pic] – длина стержня, отсчитавшая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

1. отстоящей от начала стержня на 3см;

2. в конце стержня.

Решение.

[pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

1. [pic]

[pic]

2. [pic]

Ответ: 15г/см; 103г/см.

2. .Температура тела Т изменяется по закону Т( t)=0,2t²+ 5t -3. Какова скорость изменения температуры при =2с?

Ответ: 5,8 К

Самостоятельная работа по группам. Один ученик одновременно работает у доски

1 группа

Задания 1 варианта:

5. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t³+t-3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с². (х – координата точки в метрах, t- время в секундах)

Ответ: 2 с

6. Колебательное движение точки описывается уравнением х=0,05cos20 [pic] t. Найти проекцию скорости спустя [pic] с.

Ответ: [pic]

Задания 2 варианта

работа в паре

7.Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна

x(t)=t [pic] -2t. Найдите ускорение точки в момент времени t=3.

Ответ: 108 м/с2

7. Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону x(t) = 5t ³ – 4t ²+ 3t -7. Найти силу при t=4c.

Ответ: 224 Н

10.Заряд q изменяется по закону q(t)= 0,4t²+ 1,2t. Найти силу тока при t=4c.

Ответ: 4,4 А

Задания 3 варианта

11. Тело массойт8кг движется прямолинейно по закону x(t)=2t²+3t -6. Найти импульс тела в момент времени t=1c.

Ответ: 56 кг.м/с

1. Тело массой 300г движется прямолинейно по закону x(t)=6t³+ 2t-7. Найти силу, действующую на это тело при t=3c.

Ответ: 32,4 Н

13.Температура тела Т изменяется по закону Т( t)=0,2t²+ 5t -3. Какова скорость изменения температуры при =2с?

Ответ: 5,8 К

Задача на применение геометрического смысла производной.

  [pic] Шарик ка­тит­ся по же­ло­бу. Из­ме­не­ние ко­ор­ди­на­ты ша­ри­ка с те­че­ни­ем вре­ме­ни в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та по­ка­за­но на гра­фи­ке. Вы­бе­ре­те два утвер­жде­ния, ко­то­рые со­от­вет­ству­ют ре­зуль­та­там опыта.

1) Про­ек­ция ско­ро­сти ша­ри­ка по­сто­ян­но уве­ли­чи­ва­лась и оста­ва­лась от­ри­ца­тель­ной на всем пути.

2) Пер­вые 2 с ско­рость ша­ри­ка воз­рас­та­ла, а затем оста­ва­лась по­сто­ян­ной.

3) Пер­вые 2 с шарик дви­гал­ся с умень­ша­ю­щей­ся ско­ро­стью, а затем по­ко­ил­ся.

4) На шарик дей­ство­ва­ла все уве­ли­чи­ва­ю­ща­я­ся сила.

5) Пер­вые 2 с про­ек­ция уско­ре­ния ша­ри­ка не из­ме­ня­лась, а затем стала рав­ной нулю.

Физический смысл производной. Приложение№2.

Вариант 1.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) = [pic] t³-5t², равна

a) [pic] t³-5t²;

б) .t³- 5t;

в) .t²-10t;

г) [pic] t⁴-5t.

2. Точка движется по прямой по закону s(t) =2t²-2t-1. Её мгновенная скорость v(3) равна

a) 8;

б) 6;

в) 10;

г ) 9.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =t³-5t² равно:

a) 2(3t-5);

б) 9t²-10;

в) 3t²-10t;

г) 6t-8.

4. Тело массой m движется по закону x(t) =3cos3 [pic] .Сила, действующая на тело в момент времени t= [pic] равна:

a) 0;

б) 27 [pic] ²m;

в) 9 [pic] ²m;

г) 9m.

Вариант 2.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) = [pic] t²-4t, равна

a) [pic] t-4t; б) .t- 4t; в) [pic] .t³-4t²; г) t-4.

2. Точка движется по прямой по закону s(t) =4t²-5t+7

Её мгновенная скорость v(2) равна

a) 11; б) 13; в) 12; г ) 10.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =-t³+2t² равно:

a) 6-6t; б) 2(2-3t) ; в) -3t²+4t; г) -3t+4.

4. Тело массой m движется по закону x(t) =-2sin2 [pic]

Сила, действующая на тело в момент времени t= [pic] равна:

a) 0; б) 8m; в) 8 [pic] ²m ; г) 4 [pic] ²m .

Вариант 3.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =3 t³+2t², равна

а) 9t² +4t^; б) 3t² +2t; в) .9t²+2t; г) 3t⁴+2t³.

2. Точка движется по прямой по закону s(t) =-t²+10t-7

Её мгновенная скорость v(1) равна

a) 6; б) 8 в) 10 г ) 9

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) = [pic] t³-6t равно:

a) t² -6; б) 3t-1; в) 2t; г) 2t-6.

4. Тело массой m движется по закону x(t) =2sin4 [pic]

Сила, действующая на тело в момент времени t= [pic] равна:

a) 0; б) 16 [pic] m; в) 16m ; г) -32 [pic] ²m.

Вариант 4.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =2 t³+ [pic] t², равна

a) 2t²+ [pic] t; б) .6t² +0,5t; в) 6.t²+ [pic] t; г) 6t²+ 0,5.

2. Точка движется по прямой по закону s(t) =3t²+2t-1

Её мгновенная скорость v(3) равна

a) 18; б) 16; в) 20; г) 14.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =t³-5t² равно:

a) 2( 3t-5); б) 9t²-10; в) 3t²-10t; г) 6t-8.

4.Тело массой движется по закону x(t) =-3cos2 [pic]

Сила, действующая на тело в момент времени t= [pic] равна:

a) -12 [pic] m; б) 0; в) -12m; г) 12m.

Самостоятельная работа в двух вариантах

Задания 1 варианта:

1. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t³+t-3.
В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с².
(х – координата точки в метрах, t- время в секундах)

2. Колебательное движение точки описывается уравнением х=0,05cos20 [pic] t. Найти проекцию скорости и проекцию ускорения спустя [pic] с.

Задания 2 варианта

1. Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(t)=t [pic] -2t.
Найдите ускорение точки в момент времени t=3.

2. Колебание маятника совершается по закону х = 0,2sin10 [pic] t.
Определите проекцию скорости маятника и ускорение через [pic] с.

Задача №4. Одна задача из ЕГЭ .(Фронтальная работа)

а) Постановка проблемного вопроса:

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника постоянного тока, реостата, ваттметра, подключенного к реостату, ключа и соединительных проводов. Будут ли меняться показания ваттметра при увеличении сопротивления реостата?

б) Выслушиваются ответы учащихся, затем проделывается опыт. Учащиеся убеждаются, что сначала мощность на реостате увеличивается, а потом уменьшается.

в) Учитель предлагает решить задачу:

При каком сопротивлении нагрузки полезная мощность источника тока максимальна? ЭДС источника равна ε, внутреннее сопротивление r.

Учитель: эту задачу можно решить разными способами. Мы будем решать ее математическим методом как задачу на оптимизацию. Решение задачи физическим методом вы попробуете найти дома - это ваше домашнее задание.

Решение: начертим схему цепи; выведем формулу для расчета полезной мощности, выделяющейся на реостате: [pic]

Переменная величина – внешнее сопротивление R.

Составляем математическую модель функции:  [pic]

определяем порядок нахождения производной (производная частного, степенной функции). [pic]

Ответ: полезная мощность максимальна при внешнем сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению источника тока.

Домашняя работа

[pic] [pic]

а) [pic] начальная координата точки;

б) [pic] зависимость проекции скорости от времени;

в) [pic] зависимость проекции ускорения от времени;

г) [pic] зависимость проекции равнодействующей всех

си [pic] л от времени;

д) зависимость кинетической энергии от времени;

е) [pic] моменты времени, когда тело покоилось

[pic]