ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2016 Серия: Физика Вып. 1 (32)

УДК 537.311.33

PACS 72.20.Dp

Поправки к транспортному сечению
рассеяния носителей заряда
в полупроводниках

Т. Т. Муратов

Ташкентский государственный педагогический университет им. Низами

100070, Ташкент, ул. Ю. Х. Хожиб, 103, Узбекистан

email: temur-muratov@yandex.ru

В работе вычислены и исследованы аналитические выражения для поправок к транспортному сечению упругого рассеяния носителей заряда на ионах примеси. Поправки обусловлены влиянием полей других примесных центров, искажающих поле иона примеси на «больших» расстояниях от него (малые углы рассеяния). Разработана «перенормированная» методика расчета поправок к транспортному сечению, значительно упрощающая промежуточные вычисления. Обсуждаются пределы применимости полученных формул.

Ключевые слова: транспортное сечение рассеяния; поправки к транспортному сечению; центрально-симметричное поле; интегралы движения; фазовые сдвиги

Поступила в редакцию 10.12.2015; принята к опубликованию 27.01.2016

Corrections to transport cross-section
of charge carriers in semiconductors

T. T. Muratov

Tashkent State Pedagogical University named after Nizami

100070, Tashkent, Iu. Kh. Khozhib street, 103, Uzbekistan

email: [email protected]

The analytical expressions for the corrections to transport cross-section for elastic scattering of

charged carriers on the impurity ions are found. The corrections are connected with the influence

of another impurity fields, distorting the ground (primly) ion’s field at long distance from it (small

scattering angular). The renormalized method of corrections calculation to transport cross-section

is developed, it’s considerably simplifying of intermediate calculations. The applicability of the

formulas obtained is discussed. The main purpose of given investigation is to developing the new

theoretical method for correct calculation of local corrections to transport cross -section of mobile

carriers, scattering on ionized centers. The actuality of this theoretical investigation is connected

with new achievements in the field of experimental physics and intensive development of effective

theoretical methods calculation of kinetic parameters as well: charged carrier mobility, electronic

conductivity. The results obtained can be applied in the physics of condensed matter, physics of

plasma, state solid physics. Methods of research is based on the perturbative methods of classical

and quantum mechanics, simple variational methods.

Keywords: transport cross-section of scattering; corrections to transport cross-section; centrally symmetric field, integrals of motion; phase shifts.

Received 10.12.2015; accepted 27.01.2016

1. Введение

В реальных объемных полупроводниках, кулоновские потенциалы множества случайно распределенных заряженных примесей и других дефектов «суммируются», формируя рельеф случайного потенциала, в поле которого и движутся носители заряда. В зависимости от характера химической связи, между атомами матрицы и примеси, «блуж- дающий» случайный потенциал, можно рассматривать как поправку, к основному кулоновскому потенциалу заряженной примеси:

[pic]

Как известно, ион примеси, создает вокруг себя кулоновское поле с потенциалом

[pic]

где [pic] диэлектрическая проницаемость кристалла. Из-за медленного спада этого потенциала на бесконечности, транспортное сечение рассеяния носителей заряда σ t r , на таком потенциале, расходится. Расходимость, обычно, устраняется методом Брукса–Херринга (введением экранированного кулоновского потенциала) или методом Конуэлл–Вайскопфа (учитывающего компенсирующее действие полей соседних ионов) [1,2]. Оба метода приводят к идентичным формулам для σ t r , с небольшим отличием аргумента логарифма (из-за менее последовательного учета эффекта экранировки в методе Конуэлл–Вайскопфа). Точная форма закона экранировки при этом не очень существенна, ибо параметр экранировки (радиус или прицельное расстояние) входит только в аргумент медленно меняющейся функции – логарифма. Существенно другое, а именно, метод Брукса–Херринга предполагает выполнение условия применимости борновского приближения, в котором само кулоновское (основное) поле рассматривается как слабое возмущение к движению носителей, в то время как в методе Конуэлл–Вайскопфа вводится верхний пре- дел для прицельного расстояния [2]:

[pic]

где N I – концентрация ионов примеси, причем поле иона примеси при этом вовсе не слабое и сохраняет структуру центрально-симметричного поля. Все это позволяет эффективно воспользоваться интегралами движения для расчета локальных поправок к транспортному сечению рассеяния носителей заряда. В том, что вычисление поправок к транспортному сечению, актуально с позиций теории рассеяния носителей, можно понять следующим образом: поправка к σ t r приводить к смещению края инфракрасного спектра поглощения [3], которое можно обнаружить методами инфракрасной спектроскопии, что позволяет надежно идентифицировать возбужденные состояния примеси, в отличие от стандартных методов идентификации. Также следует отметить, что различные включения, дефекты, заряженные D ^– (A ⁺) , F ^±, V ^± – центры в полупроводниках образуют комплексы, поле которых на больших расстояниях, можно представить асимптотикой [pic] [4]. Очевидно, что при определенных условиях поля таких центров могут давать вклад в транспортное сечение рассеяния электронов на ионах примеси (основного поля). Задача заключается лишь в выработке корректного подхода к вычислению таких вкладов: как в классических, так и в квантовых случаях.

В ряде работ [5-8] реальный примесный потенциал заменяется модельным. Например, в работах [5, 6] потенциал F-центра содержит короткодействующую часть, ответственную за 2s-возбужденное состояние центра. В работах [7, 8] примесный потенциал заменяется потенциалом нулевого радиуса. При этом игнорируются вклады p-волн в сечение резонансного рассеяния [7] и локализационные поправки к проводимости [8]. При не слишком низ- ких температурах ( [pic] 50 K), поправки к проводимости невырожденных полупроводников, можно рассчитать в рамках квазиклассического подхода: поправка к транспортному сечению рассеяния элек- трона в кулоновском поле приводит к относительному изменению времени свободного пробега (или электронной проводимости). Эти поправки весьма существенны в ионных кристаллах.

Как правило, вычисление поправки δσtr к транс- портному сечению, реализуется как в квантовом, так и в классическом случае, посредством вычисления изменения угла рассеяния (фазовых сдвигов) δθ при заданном δU [9, 10].

Целью данной работы является теоретический расчет поправок к транспортному сечению рассеяния носителей заряда на ионах примеси ( [pic] ), обусловленных возмущающим влиянием полей вторичных заряженных центров, имеющих характер случайного поля (с асимптотикой [pic] ). При этом, угол рассеяния θ, нормируется «симметричным» образом, для корректного учета [pic] . Тем самым и вводятся граничные условия, которые

оказываются, в данном случае, более существенными, чем например, начальные.

Основу расчета составляет квадратура изменения угла отклонения частицы в поле U ( r), за счет влияния поля вторичных центров рассеяния [9]:

[pic] (1.1)

где [pic] [pic]

а также введены следующие обозначения: ρ – прицельное расстояние, rmin – расстояние наименьшего сближения электрона с ионом примеси, [pic] – кинетическая энергия электрона на бесконечности, δU ( r) – асимптотика поля вторичных центров рассеяния, U ( r) – основное поле, неэкранированное, центрально-симметричное.

2. Обоснование метода расчета

Для применимости формулы (1.1) необходимо выполнение условия

[pic]

где [pic] характерное значение квазиимпульса электрона (дырки), [pic] – его эффективная масса. Для случайных потенциалов, спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский, классический угол рассеяния убывает с ростом ρ быстрее, чем 1 / ρ. Поэтому всегда найдется прицельный параметр [pic] , для которого

[pic]

Следовательно, поправки к транспортному сечению рассеяния для прицельных параметров рассеяния, больших [pic] , нужно рассчитывать метода- ми квантовой теории рассеяния, а не формулой (1.1).

Оценим температуру перехода к квантовому расчету δσ t r. Основной вклад в интеграл (1.1) дает окрестность точки rmin и для «случайных» потенциалов ( [pic] ), по порядку величины, этот интеграл равен

[pic]

где [pic] ( [pic] – радиус орбиты основного состояния внешнего электрона для атома примеси, порядка десятков ангстрем), [pic] .

Следовательно,

[pic]

откуда имеем оценку:

[pic]

Оценим величину возмущающего потенциала:

[pic]

значения параметров равны: [pic]  cм, [pic] эВ, [pic] (на примере Ge:As).

В итоге для температуры перехода к квантовому расчету, получаем оценку [pic]  K, которая довольно близка к критическому значению 1.7 K, при которой [pic] [2, с. 361–362].

Таким образом, при температурах [pic] формула (1.1) не применима. Из оценок следует также, что (1.1) наиболее приспособлена для водородоподобной примеси, сохраняющей черты центрально-симметричного поля.

Становится понятным тот факт, что для описания сечения рассеяния носителей на глубоких примесях, метод Конуэлл-Вайскопфа, вообще гово- ря, малоэффективен. Как уже отмечалось, данный метод, сохраняет лишь кулоновскую структуру цен- трально-симметричного поля иона примеси, что позволяет эффективно воспользоваться интегралами движения, для расчета поправок к транспортному сечению рассеяния электронов на ионах примеси [9].

3. Методика расчета

Для описания кинетических эффектов в полупроводниках транспортное сечение имеет большее значение, чем полное сечение рассеяния. Это понятно, если учесть, что σ t r «взвешивает» процессы рассеяния на разные углы. Как следует из формулы [2]

[pic]

малые углы рассеяния не вносят заметного вклада в транспортное сечение, и могут быть учтены лишь в качестве поправок к основному сечению. Обычно, такие поправки малы, и в ряде случаев ими пренебрегают [7, 8]. Они, однако, становятся ощутимыми, если учесть то обстоятельство, что пространственно коррелированные заряженные примеси (в пределе заряженные дислокации, диполи), рассеивают электроны слабее, чем разупорядоченные заряженные центры [4, 11].

Зная структуру потенциала взаимодействия в области [pic] , представим транспортное сечение σ t r в перенормированном виде:

[pic] (3.1) здесь, как правило [pic]

Варьируя σ t r как функционал по [pic] , получим

[pic] (3.2)

где δθ определяется формулой (1.1). Для конкретизации расчета δθ требуется задать «случайное» поле δU ( r).

Допустим, что [pic] . Такой потенциал характерен, например, для взаимодействия электрона с двухатомными полярными молекулами примеси (типа HCl), которые всегда присутствуют в полупроводниках [12]. Простая оценка дает

[pic]

Расчет с использованием интегралов движения [9] приводит к формуле (для определенности мы приняли, что [pic] )

[pic] (3.3)

где [α] – эрг·см, [β] – эрг·см ².

Подставляя (3.3) в (3.2), приходим к выражению:

[pic] (3.4)

Интеграл (3.4) выражается через элементарные функции:

[pic]

Поскольку минимальный угол отклонения определяется из условия [2, стр. 359]

[pic]

то исходную формулу можно представить так:

[pic] (3.5)

Так как [pic] то выражение (3.5) можно преобразовать к виду

[pic] (3.6)

Для неполярных молекул (типа CO2), внедренных в междоузлия атомов матрицы, в качестве при-месей замещения[12],поправку к σ t r следует учесть в квадрупольном приближении: [pic] . Ориентировочно,

[pic]

Соответствующий расчет на основе формулы (1.1) приводит в этом случае к выражению (напомним, что [pic] ):

[pic] (3.7)

[γ] – эрг·см ³.

Подставляя (3.7) в общую формулу (3.2), получаем

[pic] (3.8)

При очень низких температурах (порядка 10 K) пролетающий на малых расстояниях ( [pic] , [pic] см) электрон может индуцировать дипольный момент у атома примеси [pic] . Соответственно, энергия взаимодействия дипольного момента с электроном при расстояниях [pic] рав- на [pic] . Вопрос заключается в том, можно ли такой потенциал, рассматривать в качестве поправки, к кулоновскому потенциалу. Простая оцен- ка показывает, что

[pic]

для мелкой примеси при T > 2.2 K.

Для поляризационного взаимодействия электрона с нейтральным примесным атомом ( χ < 0 ), соответствующие расчеты дают

[pic]

[pic] , (3.9)

[χ] – эрг·см ⁴.

Подставляя (3.9) в ренормированную формулу (3.2), получим

[pic] (3.10)

Отличительной особенностью формул (3.6), (3.8) и (3.10) является то, что они обладают определенной симметрией относительно замены аргумента [pic] ( [pic] ), что является результа- том применения «симметричной перенормировки» (3.1), (3.2). Ясно, что и высшие порядки поправок (n > 4) также будут симметричными относительно замены [pic] .

Наличие таких симметричных членов в громоздких формулах облегчает, в ряде случаев, общий анализ эффектов рассеяния носителей заряда на примесных центрах, а также позволяет упрос- тить промежуточные вычисления.

При [pic] поправки (3.6), (3.8) и (3.10) пренебрежимо малы, и их можно не учитывать. Что касается области малых расстояний [pic] [pic] , то в кулоновском поле отталкивания, они вообще не представляют интереса (в рамках классического расчета), поскольку σ t r не зависит от E [2, стр. 361].

Таким образом, на самом деле, предложенная методика расчета поправок к транспортному сечению рассеяния носителей, эффективна при высоких энергиях: [pic] , или [pic] [13, 14].

4. Квантовый метод расчета поправок

Отмеченная ограниченность классического метода расчета поправок заставляет искать иной подход. Такой подход, эффективный при всех значениях температур, может быть сформулирован в терминах фазовых сдвигов [3, стр. 177]. Квантовый аналог формулы (3.2):

[pic] (4.1)

Здесь [pic] – фазовые сдвиги, [pic] ,

[pic] (4.2)

Здесь [pic] асимптотика волновой функции носителя (электрона, дырки) [10, стр. 644]. Из (4.1) ясно, что при высоких энергиях носителей: [pic] [pic] достаточно ограничиться квазиклас- сическим подходом: (1.1), (3.1), (3.2). При низких энергиях – s-рассеянием

[pic] (4.3)

На основе формулы (4.3) можно рассчитать поправ- ку к сечению резонансного рассеяния [10].

При [pic] для расчета δσ t r следует исходить из точной формулы (4.1), которую формально можно представить и так

[pic] (4.4)

Используя стандартные приемы, можно показать, что из (4.4) следует зависимость [pic] , спра- ведливая при высоких энергия. Это довольно общая энергетическая асимптотика рассеяния частиц на «большие» углы, слабо зависящая от структуры возмущающего потенциала [pic] . Расчет поправок на основе формул (4.1) и (4.3) требует специального исследования интеграла (4.2) на сходимость и налагает ограничение на закон спада [pic] , а именно [pic] [10, стр. 632-634].

5. Численные оценки

Для того чтобы формулы (3.6), (3.8) и (3.10), имели смысл поправочных, к транспортному сечению, необходимо, чтобы они, по крайней мере, на порядок отличались от σ t r . Одних теоретических оценок здесь не достаточно, тут надо рассмотреть конкретный полупроводниковый материал. Таким материалом может служить германий: Ge типичный полупроводник, легированный, например, донорной примесью As [7]. Поскольку рассеяние на ионах примеси может играть существенную роль только в исключительных случаях, когда энергия диссоциации центров примеси очень мала, порядка 10 ^{– 2} эВ, так что имеется значительное число ионов примеси при низких температурах, как мы показали до [pic] K. Именно этот случай и осуществляется в германии. В большинстве же других полупроводников энергия диссоциации доноров такова, что число ионов примеси при [pic] K столь мало, что они не оказывают заметного влияния на σ t r. Расчет на основе (3.1) дает для σ t r формулу

[pic]

где введен кулоновский логарифм

[pic]

При наличии максвелловского распределения электронов по энергиям,

[pic]

и кулоновский логарифм

[pic]

а транспортное сечение рассеяния равно:

[pic]

Во всех практически важных случаях исходная формула охватывает область [pic] , т.е. область высоких температур [13]. Под термином «высоких температур» мы понимаем температуру перехода к рассеянию на тепловых колебаниях ре- шетки. Для n-GeAs [pic] [7].

Оценим, например, вклад потенциала [pic] [pic] . При [pic] из (3.6) следует, что

[pic]

После усреднения:

[pic] [pic]

Для слаболегированного германия:

[pic]

Для поправки [pic] (на основе 3.8) имеем

[pic]

Из оценок видно, что при достаточно высоких тем- пературах, поправки к транспортному сечению, ста- новятся ощутимыми.

6. Заключение

В работе в рамках подхода Конуэлл–Вайскопфа получены аналитические выражения для поправок к транспортному сечению упругого рассеяния носителей в невырожденных полупроводниках. Поправки обусловлены влиянием различных центров рассеяния ( [pic] ) на транспортные свойства носи- телей, при их рассеянии на ионах примеси.

Показано, что нижний температурный предел учета поправок для мелких примесей As в Ge 2.2K, верхний – порядка 80 K. Для n-GaAs верхний предел имеет величину порядка 100 ÷ 175 K  [13], для объемного кремния – около 300 K [14].

Список литературы

1. Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников: учеб. пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1990. 688 с.

2. Киреев П. С. Физика полупроводников: учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1975. 584 с.

3. Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Мир, 1971. 472 с.

4. Гершензон Е. М., Мельников А. П., Рабинович Р. И., Серебрякова Н. А. Примесные H^– подобные центры и обусловленные ими молекулярные комплексы в полупроводниках // Успехи физических наук. 1980. Т. 132. Вып. 10. С. 353–378.

5. Вараксин А. Н., Соболев А. Б., Панов В. Г. Характеристики F – центров щелочно-галоидных кристаллов в основном и возбужденном состояниях // Физика твердого тела. 2006. Т. 48. Вып. 3. С. 427–432.

6. Панов В. Г., Вараксин А. Н., Соболев А. Б. О 2s – подобном релаксированном возбужденном состоянии F–центра в щелочно-галоидных кристаллах // Физика твердого тела. 2008. Т. 50. Вып. 6. С. 986–989.

7. Имамов Э. З., Колчанова Н. М., Крещук Л. Н., Яссиевич И. Н. Роль рассеяния на мелких нейтральных центрах в кинетических явлениях при низкой температуре // Физика твердого тела. 1985. Т. 27. Вып. 1. С. 69–76.

8. Муратов Т. Т. Влияние резонансного рассеяния носителей тока на электрические и тепловые свойства ковалентных полупроводников // Вестник СПбГУ, Серия: Физика. Химия. 2012. Серия 4, Вып. 2. С. 3–9.

9. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. Т. I. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. 215 с.

10. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. Т. III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. 768 с.

11. Ламонова К., Бекиров Б., Иванченко И., Попенко Н., Житлухина Е., Буховецкий В., Орел С., Пашкевич Ю. Особенности температурного поведения ЭПР спектров селенида ртути, легированного железом // Физика низких температур, 2014, Т. 40, № 7, С. 842–850.

12. Угай Я. А. Введение в химию полупроводников: учебное пособие М.: Высшая школа, 1965. 336 с.

13. Коршунов Ф. П., Курилович Н. Ф., Прохоренко Т. А., Шешелко В. К. Влияние водорода на процессы рассеяния носителей заряда в облученном γ-квантами ⁶⁰Co, нелегированном GaAs n-типа // Вопросы атомной науки и техники, Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение. 2001. Т. 79. № 2. С. 38–42.

14. Сперанский  Д. С., Борздов  В. М., Поздняков Д. В. Моделирование рассеяния электронов на ионизированной примеси в полупроводниках и полупроводниковых структурах методом Монте-Карло // Доклады БГУИР. – 2011. Т. 56. № 2. С. 33–39.

References

1. Bonch-Bruevich V. L., Kalashnikov S. G. Fizika poluprovodnikov (Physics of semiconductors) Мoscow: Nauka, 1990. 688 p. (In Russian).

2. Kireev P. S. Semiconductor Physics. Мoscow: Mir, 1978. 693 p.

3. Blatt F. J. Physics of electronic conduction in solids. New-York: McGraw-Hill, 1968, 446 p.

4. Gershenzon E. M., Mel’nikov A. P., Rabinovich R. I., Serebryakova N. A. H^--like impurity centers and molecular complexes created by them in semiconductors. Soviet Physics Uspekhi. 1980, vol. 23, pp. 684–698.

5. Varaksin A. N., Sobolev A. V., Panov V. G. Characteristics of F centers in the ground and excited states in alkali-halide crystals. Physics of the Solid State. 2006, vol. 48, no. 3, pp. 453–459.

6. Panov V. G., Varaksin A. N., Sobolev A.B. On the 2s-like relaxed excited state of the F center in alkali-halide crystals. Physics of the Solid State. 2008, vol. 50, no. 6, pp. 986–989.

7. Imamov E. Z., Kolchanova N. M., Kreshchuk L. N., Yassievich I. N. Rol' rasseianiia na melkikh neitral'nykh tsentrakh v kineticheskikh iavleniiakh pri nizkoi temperature (The role of scattering on shallow neutral centers on the kine- tic phenomena at low temperatures). Physics of the Solid State. 1985, vol. 27, no. 1, pp. 69–76. (In Russian).

8. Muratov T. T. Influence of resonance scattering of charge carriers on electrical and thermal properties of covalent semiconductors. Vestnik St. Petersburg University, Series 4. 2012, no. 2, pp. 3–9. (In Russian).

9. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of theoretical physics. Mechanics. Vol. 1. UK: Pergamon Press, 1969. 224 p.

10. Landau L. D., Lifshitz E. M. Course of theoretical physics. Quantum mechanics. Vol. 3. UK: Pergamon Press, 1981. 689 p.

11. Lamonova K., Bekirov B., Ivanchenko I., Popenko N., Zhitlukhina E., Burkhovetskii V., Orel S., Pashkevich Yu. Specific features of the temperature behavior of the ESR spectra of Fe-doped mercury selenide. Low Temperature Physics. 2014, vol. 40, no. 7, pp. 842–850.

12. Ugai Ya. A. Vvedenie v khimiiu poluprovodnikov (Introduction to Chemistry of Semiconductors). Мoscow: “Vysshaia shkola”, 1965. 336 p. (In Russian).

13. Korshunov F. P., Kurilovich N. F., Prokhorenko T. A., Sheshelko V. K. Vliianie vodoroda na protsessy rasseianiia nositelei zariada v obluchennom γ-kvantami ⁶⁰Co, nelegirovannom GaAs n-tipa (Hydrogen influence on charge carries scattering on the non-alloyed n-GaAs irradiated by γ-quants ⁶⁰Co) Problems of atomic science and technology. Series: Physics of radiation effect and radiation materials science. 2001, vol. 79, no 2, pp. 38–42. (In Russian).

14. Speransky D. S., Borzdov V. M., Pozdnyakov D. V. Monte-Carlo simulation of ionized impurity scattering in semiconductors and semiconductor structures. Doklady BGUIR. 2011, vol. 56. no. 2, pp. 33–39. (In Russian).

[pic] © Муратов Т. Т., 2016

11