Равномерное движение тела по окружности. Период и частота вращения. Угловая скорость
Цель: формировать знания о перемещение, путь, скорость и ускорение, о направление мгновенной скорости во время криволинейного движения, период и частоту вращения тела; сравнить перемещение, путь, скорость во время прямолинейного равномерного, неравномерного и криволинейного движений; рассказать о широкое применение криволинейных движений в технике, сельском хозяйстве.
Тип урока: урок изучения нового учебного материала.
Наглядный: демонстрация криволинейных движений, движения по кругу, направления мгновенной скорости во время криволинейного движения
ХОД УРОКА
I. Актуализация опорных знаний
Фронтальное опрос о траектории, путь, перемещение, мгновенную скорость прямолинейного движения.
II. Мотивация обучения. Сообщение темы и задач урока
III. Изучение нового материала
В ходе эвристической беседы ученики, слушая учителя, выполняют рисунки в тетрадях, делают записи.
Простейшим видом криволинейного поступательного движения тела является его движение по кругу, когда все точки тела движутся по одинаковым кругах. Такое движение встречается довольно редко: так двигаются кабинки смотровых колес в городских парках. В то же время любое сложное криволинейное движение тела на достаточно малом участке его траектории можно приближенно рассматривать как равномерное движение по окружности. Поэтому изучать произвольное криволинейное движение надо начинать от простого: изучение равномерного движения по окружности. Примерами равномерного движения по окружности можно приближенно считать: движение искусственных спутников Земли, движение вращающихся частей в механизмах и т.д.
Начнем изучение этого движения с важной кинематической величины мгновенной скорости. Мгновенная скорость в любой точке криволинейной траектории движения тела направлена по касательной к траектории в этой точке.
В этом можно убедиться, наблюдая за работой на точиле. Если прижать к вращающемуся точильному камню конец стальной дротини, то вы увидите, как раскаленные частицы отрываются от камня в виде искр. Эти частицы летят с той скоростью, которую они имели в момент отрывания от камня. Направление движения искр совпадает с касательной к окружности в той точке, где дротина касается камня. По касательной к окружности движутся также брызги от колес автомобиля, что пробуксовывает.
Модуль мгновенной скорости во время равномерного движения по окружности с течением времени не меняется. Равномерным движением по окружности называют движение, во время которого тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени проходит одинаковые отрезки дуг. Примерами равномерного движения по окружности можно приближенно считать: движение искусственных спутников Земли, движение вращающихся частей в механизмах и т.д. Скорость такого движения материальной точки по линии (окружности) по модулю является постоянной и в каждой точке окружности направлена по касательной.
Положение точки A, что движется вдоль круга, определяют радиус-вектором [pic] , проведенным из центра окружности O до этой точки (рис. 1). Модуль радиуса-вектора равна радиусу этого круга R.
[pic]
Рис. 1
[pic]
Рис. 2
Скорость движения тела по окружности (линейную скорость) по аналогии с равномерным прямолинейным движением можно найти по формуле:
[pic]
где l - длина дуги круга, пройденного материальной точкой за время t (рис. 2).
Пусть тело совершит один оборот по окружности, тогда формула для определения скорости примет вид:
[pic]
где T - это время одного оборота по окружности радиусом R. Это время называют периодом вращения. Линейную скорость измеряют в метрах в секунду (м/с).
Гораздо чаще в природе и технике встречается вращательное движение тела, когда неподвижной остается одна точка или совокупность точек, лежащих на оси вращения. Таким является движение волчка, колеса неподвижного велосипеда, стрелок часов и т.д. Во время вращения вокруг неподвижной оси O различные точки 1, 2, 3 тела (рис. 3) будут иметь разные линейные скорости [pic] 1, [pic] 2, [pic] 3, поэтому нельзя говорить о скорости тела. Желательно найти такие характеристики вращательного движения тела, которые были бы общими, одинаковыми для всех его точек.
[pic]
Рис. 3
[pic]
Рис. 4
Как видно из рис. 3, каждая из точек этого диска имеет свою линейную скорость, потому что за одно и то же время они проходят соответственно отрезки дуг l1 > l2 > l3. Одинаковой для этих точек будет угловая скорость вращения. Угловая скорость ω точки, равномерно движущейся по окружности, численно равна отношению угла φ, на который поворачивается радиус-вектор, до времени t и остается постоянной:
[pic]
В физике углы измеряют в радианах (рад). Чтобы найти значение угла ф в радианах следует провести с его вершины произвольную дугу и найти отношение длины этой дуги к радиусу R (рис. 4):
[pic]
Следовательно, единицей измерения угловой скорости является 1 рад/с, что соответствует скорости точки, которая вращается равномерно и радиус-вектор которой за 1 с описывает угол в 1 рад. А формула для одного оборота по окружности примет вид:
[pic]
Величину, обратную к периоду вращения, называют частотой вращения и измеряют количеством оборотов за единицу времени ([ν] = 1/c):
[pic]
Для произвольного количества оборотов частоту вращения находят по формуле:
[pic]
где N - число оборотов, t - время вращения тела.
После подстановки выражения для частоты вращения имеем:
[pic]
Найдем соотношение линейной и угловой скоростей на основании формулы:
[pic]
Поскольку линейная скорость изменяется по направлению, то материальная точка движется по окружности, приобретает ускорение. Ускорение тела, равномерно движущегося по окружности, в любой его точке является центростремительным, то есть напрямлене по радиусу окружности к ее центру. В любой точке вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости. Эту особенность ускорения равномерного движения по окружности изображен на рис. 5.
Чему равен модуль центростремительного ускорения? Числовое значение (модуль) ускорение можно легко найти с рис. 5.
[pic]
Рис. 5
Треугольник, образованный векторами [pic] 0, [pic] и Δ [pic] , равнобедренный, так как [pic] = [pic] 0. Треугольник OAB на рис. 5 также равнобедренный, поскольку стороны OA и OB - радиусы круга. Углы при вершинах обоих треугольников равны, потому что они образованные взаимно перпендикулярными сторонами: [pic] 0 [pic] OA и [pic] [pic] OB. Поэтому треугольники подобны, как равнобедренные с равными углами при вершинах. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
[pic]
где [pic] и Δ [pic] - модули скорости и изменения скорости во время перехода из точки A в точку B, R - радиус круга. Если точки A и B очень близки друг к другу, то хорду AB нельзя отличить от дуги AB. А длина дуги AB - это путь, пройденный телом с постоянной по модулю скоростью [pic] . Он равен [pic] t. Поэтому можно записать:
[pic]
Поскольку интервал времени t, что рассматривается, очень мал, то Δ [pic] /t - это модуль ускорения. Следовательно,
[pic]
Другие выражения для центростремительного ускорения:
[pic]
Таким образом, во время равномерного движения по окружности во всех точках круга центростремительному ускорению по модулю одинаковое. Однако напрямлене оно всегда по радиусу к центру (рис. 6) так, что направление ускорения от точки к точке меняется. Поэтому равномерное движение тела по окружности нельзя считать равноускоренным.
[pic]
Рис. 6
Любое движение по криволинейной траектории можно представить как движение по дугам окружностей различных радиусов. Одну из сложных траекторий, по которой движется тело, и центростремительному ускорению тела в разных ее точках изображено на рис. 7:
[pic]
Рис. 7
Следовательно, в любой точке криволинейной траектории тело движется с ускорением, напрямленим в центр того круга, частью которого является участок траектории вблизи этой точки. А модуль ускорения зависит от скорости тела и от радиуса соответствующего круга.
III. Осмысление объективных связей. Обобщение знаний
1. Фронтальное опрос
• Как направлена мгновенная скорость во время криволинейного движения?
• Чем отличаются изменения скорости во время криволинейного и прямолинейного движений?
• Может ли тело двигаться по криволинейной траектории без ускорения?
• Могут совпадать направления векторов скорости и ускорения во время криволинейного движения?
• Связь между криволинейным движением и движением по кругу?
• Что называют линейной скоростью материальной точки? Как ее выражают через угловую скорость?
• Как напрямлене ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью?
• Можно ли считать центростремительному ускорению постоянным, а равномерное движение по окружности равноускоренным?
• Если во время движения тела по окружности модуль его скорости изменяется, то будет ускорение тела напрямлене к центру круга?
2. Решение задач (прокомментирована)
С каким ускорением движется автомобиль кольцевой трассой, имеет вид круга радиусом 100 м, если скорость автомобиля 20 м/c? Во сколько раз это ускорение меньше ускорения свободного падения?
IV. Итог урока
Закончить предложение:
• Я узнал, что...
• Теперь я могу...
• Итак,...
V. Домашнее задание
1. Изучить соответствующий раздел учебника, конспект урока, формулы; подготовиться к тематическому оцениванию, защиты презентаций.
2. Решить задачи:
• Сколько оборотов ручки колодезного коловорота необходимо сделать, чтобы поднять ведро с водой из колодца глубиной 8 м? Цепь, на которой висит ведро, наматывается на вал радиусом 10 см.
• Найдите угловую скорость и частоту вращения минутной стрелки секундомера изображенной на рисунке, если цена деления малого циферблата равен 2 мин.
[pic]
Рис. 8
До конспекта ученика
• Равномерным движением по окружности называется движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.
• Основные характеристики равномерного движения по окружности: радиус круга r, период вращения T, частота вращения v, угловая скорость ω.
• Соотношение между этими величинами:
[pic]
• Мгновенная скорость в определенной точке траектории направлена по касательной к траектории в этой точке, то есть перпендикулярно к радиусу, проведенному из центра круга в эту точку. Во время равномерного движения по окружности ускорение в каждый момент времени напрямлене по радиусу к центру круга. Модуль центростремительного ускорения можно найти по любой из формул:
[pic]
