Вестник НГУ. Серия физика. 2013, том 8, выпуск 3.
УДК 537.311.33
Т.Т. Муратов
Ташкентский государственный педагогический
университет им. Низами, ул. Юсуф Хос Хожиб,
103, Ташкент, 100070, Узбекистан
E-Mail: [link]
Формализм «магнетосечений» [pic] центров при резонансном рассеяний носителей заряда в невырожденных полупроводниках
Развит новый подход к изучению кинетических эффектов в ковалентных полупроводниках. На примере расчета кинетических коэффициентов при резонансном рассеянии демонстрируются некоторые особенности предлагаемого подхода. Изучается влияние предельно слабого магнитного поля на кинетические эффекты. В отличие от стандартного метода, учитывающего наличие [pic] поля в неравновесной функции распределения с последующим получением искомых формул для кинетических коэффициентов, в предлагаемом подходе наличие (влияние) слабого [pic] поля фиксируется в качестве локального (виртуального) приращения сечения конкретного рассеяния, в данном случае резонансного. Формальная замена: [pic] позволяет сравнительно легко проанализировать влияние поля на кинетические эффекты. Показано, что при наличии [pic] поля электронная проводимость достигает максимума вблизи 1 K в области полей порядка 100 Э.
В процессе расчета выявляется общность результатов при любом механизме рассеяния. Главное требование сводится к тому, чтобы низкотемпературная асимптотика: [pic] конкретного механизма рассеяния была постоянной.
Ключевые слова: кинетические коэффициенты, резонансное рассеяние, [pic] центры, классические слабые и сильные магнитные поля, магнетосечение.
Введение
Ситуация, когда дискретный уровень мелкой донорной (акцепторной) примеси локализован вблизи дна зоны проводимости (потолка валентной зоны) довольно часто встречается в полупроводниках. Если при этом кинетическая энергия свободного электрона (дырки) весьма близка по величине к энергии такого уровня, то возникает резонансное рассеяние носителей заряда.
В полупроводниках примесный потенциал имеет сложную структуру, состоящую из дально- действующей кулоновской [pic] и короткодействующей [pic] частей. Короткодействую- щая часть потенциала обусловлена разницей химической природы примесного атома и атома матрицы так и самих атомов матрицы. Всегда один из атомов будет обладать большим срод- ством к электрону, вследствие чего электронная пара будет стянута в его сторону. При очень низких температурах [pic] примесь обычно находится в нейтральном состоянии, поэтому именно короткодействующая (полярная) часть потенциала ответственна за химические свойст-
ва примесей.
Следует отметить, однако, что помимо [pic] , радиус действия которой порядка постоянной решетки, потенциал мелкого нейтрального донора характеризуется также второй, более плав- ной частью [pic] ( [pic] ) с глубиной порядка боровской энергии мелкого донора [pic] и радиусом действия порядка боровского радиуса [pic] ( [pic] – эффективная масса носителя заряда).
Именно [pic] потенциал, природа которого обусловлена поляризационным взаимодействием между нейтральным донором и свободным электроном, приводит к образованию неглубокого уровня (так называемого [pic] центра), ответственного за резонансное рассеяние.
При низких температурах наличие [pic] центра можно учесть формальным методом, основанным на приближении [pic] рассеяния [1] (это оправдано, так как длина электронной вол- ны [pic] гораздо больше радиуса ( [pic] ) [pic] потенциала и усло- вие преобладания [pic] волны: [pic] , хорошо соблюдается). В рамках такого подхода удается рассчитать все основные кинетические коэффициенты в ковалентных полупроводниках [2]. Однако в работе [2] расчеты проведены только для случая резонансного рассеяния, но в то же время электроны взаимодействуют и с акустическими фононами, причем почти упруго, вплоть до очень низких температур ( [pic] ) (за исключением сверхчистых монокристаллов алмаза [3]) и поэтому в действительности необходимо рассматривать одновременно два механизма рас- сеяния. Учет рассеяния носителей на высоковозбужденных акустических фононах позволял бы корректно осуществлять формальные процедуры получения (в методическом отношении) за- висимостей типа [pic] и анализировать влияние слабого магнитного поля ( как впрочем и других факторов) на параметры резонансного рассеяния, что затруднительно провести на основе результатов работы [2].
В работе [4] показано насколько существенно могут отличаться при резонансном рассеянии число Лоренца [pic] и фактор Холла [pic] в сильно вырожденных полупроводниках от универсаль- ных постоянных [pic] и 1 соответственно. Соответствующие интегралы [pic] вычислялись чис- ленно. В работе [5] в рамках двухзонной модели проведены расчеты концентрационных за- висимостей кинетических коэффициентов для PbTe ‹ Na + Te › в диапазоне [pic] . Рас- четы [pic] с учетом межзонных переходов рассмотрены в работах [5-7]. В работе [6] для [pic] полу- чены явные аналитические формулы.
Следует также отметить работу [8], где уточняется энергия примесных резонансных состо- яний с использованием скорректированного фактора Холла.
В [9] отмечается положительная корреляция между переходом в сверхпроводящее состо- яние и резонансным рассеянием, причем природа положительной корреляции до сих пор не- выяснена.
В предлагаемой работе в рамках простой модели изучается влияние резонансного рассеяния на кинетические эффекты в предельно слабом [pic] поле, и выводятся соответствующие форму- лы для кинетических коэффициентов.
Для достижения этой цели с помощью вспомогательной процедуры выводятся формулы в первом приближении. На основе качественного анализа полученных формул вскрывается спе-цифика резонансного рассеяния. Наличие поля учитывается во втором приближении, причем по развиваемому подходу автора, посредством замены [pic] в исходных формулах пер- вого приближения: (посредством [pic] ).
Электропроводность и подвижность
При высоких температурах подвижность носителей заряда обусловлена взаимодействием электрона (дырки) проводимости с акустическими колебаниями решетки. Длину свободного пробега электрона в этом случае можно аппроксимировать формулой
[pic] .
Здесь [pic] постоянная определяемая тепловыми флуктуациями решетки, где [pic] энергия порядка атомной (или несколько больше), [pic] постоянна решетки ( [pic] ). Следует отметить, что [pic] от кинетической энергии [pic] электрона не зависит. Полагая [pic] и [pic] , получим [pic] .
Длина свободного пробега, связанного с резонансным рассеянием, равна
[pic] ,
где [pic] концентрация рассеивающих центров, [pic] сечение [pic] рассеяния [1], [pic] энергия связи [pic] центра (резонансный уровень). Простые расчеты показывают, что ( [pic] ) порядка мэВ [2]. Полагая, к примеру [pic] ( [pic] ) находим, что [pic] на два порядка превышает [pic] уже при комнатных температурах (см. приложение 1.1).
Таким образом, есть основание полагать, что при низких температурах влияние резонанс- ного рассеяния может стать более существенным, чем рассеяние на акустических фононах.
Предполагая независимость обоих механизмов рассеяния, имеем
[pic] , [pic] , (1)
где [pic] [pic] и [pic]
Удельная электропроводность в случае, когда носители подчиняются классической статис- тике 1 (невырожденный газ невзаимодействующих между собой электронов), равна
[pic] , (2)
где [pic] концентрация носителей в зоне проводимости: [pic] .
Взяв квадратуру с учетом (1), находим
[pic] , (3)
где [pic] , а [pic] .
Пользуясь разложением в ряд и асимптотическим выражением для [pic] можно показать, что [10]
[pic] ( [pic] ), (4)
[pic] ( [pic] ). (5)
Для того чтобы исследовать поведение проводимости [pic] и подвижности [pic] [pic] при раз- личных температурах, необходимо, строго говоря, учесть зависимость числа нейтральных ато- мов примеси от температуры. Если быть последовательным, то при этом надо было бы учиты- вать рассеяние на [pic] ионах примеси. Однако в большинстве полупроводников (кроме может быть Ge [2]) энергия диссоциации доноров такова, что число ионов примеси при низких тем- пературах столь мало, что они не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на длину сво- бодного пробега носителей заряда, так что в актуальном диапазоне температур [pic] мож- но положить [pic] полной концентрации примесных центров.
При [pic] (т.е. [pic] ) или высоких температурах [pic] , из (3) и (5) получим обыч- ный результат: [pic] [11, стр. 83]. При очень низких температурах ( [pic] ), в пределах актуального интервала [pic] , из (3) и (4) получим (дополнительно см. приложение 1.2)
[pic] (6)
т.е. [pic] и [pic] .
[pic]
Из рис.1 видно, что теоретическая кривая качественно верно передает ход эксперименталь- ных точек в окрестности [pic] . Относительно слабый спад подвижности указывает на наличие резонансного рассеяния.
Качественное соответствие с данными эксперимента позволяют рассматривать [pic] центры как уровни, «контролирующие» подвижность носителей заряда. В этом смысле формулы (6) наиболее приспособлены к применению в случае полупроводников Si, Ge, AIIIBV [2].
Заметим, что разложения (4) и (5) не охватывают (теоретически) промежуточную область [pic] , где рассеяние на заряженных (и других) центрах может быть существенным [13].
2. Теплопроводность и термоэлектродвижущая сила
В соответствии с вышеизложенным мы приходим к выводу о том, что и процессы переноса тепла носителями также должны контролироваться центрами. Однако это предположение тре- бует соответствующего математического обоснования.
Для расчета электронной теплопроводности воспользуемся известной формулой
[pic] , (7)
где [pic] коэффициенты, которые в классическом пределе определяются через интеграл:
[pic] . (8)
Здесь [pic] эффективное время релаксации по импульсу, которое при квадратичном законе дисперсии [pic] определяется по формуле
[pic] . (9)
Подставляя в (7) [pic] с учетом формул (1) и (9), получим
[pic] , [pic] . (10)
Интегралы [pic] выражаются через функцию [pic] :
[pic]
Аккуратный расчет на основе разложения (4) приводит в этом случае к формуле
[pic] . (11)
Видно, что электронная теплопроводность при наличии резонансного рассеяния, как и электропроводность, пропорциональная [pic] и [pic] что вполне естественно в области примесной проводимости: [pic] . В отличие от вырожденных носителей в данном слу- чае число Лоренца [pic] не отклоняется сколько-либо заметно от универсальных постоянных. Это связано с тем, что резонансное рассеяние в вырожденных полупроводниках имеет ярко выра- женный селективный характер: интенсивно рассеиваются только те носители (дырки), энергии которых лежат в пределах тонкого слоя [pic] . Это и проявляется на поведении [pic] в виде харак- терных максимумов [4]. Напротив, в невырожденных резонансное рассеяние изотропно: рас- сеиваются все носители с энергиями [pic] 2. Сильное резонансное рассеяние носителей вблизи [pic] уровня Ферми в пределах слоя размытия и вследствие этого резкая зависимость [pic] от энергии усложняет вычисление кинетических коэффициентов. Выбор параметров ( [pic] ) необходимых для расчета [pic] , осуществляется только на основе текущих экспериментальных данных [8]! Привлекает получение аналитической формулы для [pic] . Трудность получения анали- тической формулы заключается в том, что функцию [pic] нельзя разлагать в ряд Тейлора в окрестности уровня Ферми [pic] . При невырожденных носителях подобное разложение было бы допустимо, и мы получили бы в принципе формулу (9) (так поступают, например, в теории колебаний, когда хотят получить формулу для периода малых колебаний механических систем, ограничиваясь квадратичным членом). Математическое требование сводится к тому, чтобы соблюдалась квадратичность спектра, тогда как формула Брейта-Вигнера для [pic] - ширины при- месной полосы не предполагает квадратичности.
В некоторых случаях всё же удаётся получить аналитическую формулу (для электропровод- ности, на основе уравнения электронейтральности) [14].
Таким образом, мы можем лишь констатировать, что резонансное рассеяние носителей в вырожденных полупроводниках имеет более специфичный и нетривиальный характер, нежели в невырожденных.
Отметим, что линейный закон возрастания электронной теплопроводности ( [pic] ) [15, стр. 331] в диапазоне [pic] соответствует более быстрому росту (спаду) последней, чем это было бы при наличии резонансного рассеяния:
[pic] ( рис. 2).
[pic]
Этот факт легко понять, если воспользоваться аналогией с «квазистационарными» состояни- ями. При резонансном рассеянии электрон не просто «натыкается» на примесь или «задевает» ее, но задерживается около нее на некоторое время. Уменьшение средней длины свободного пробега [pic] из-за задержки эквивалентно некоторому приросту примесного теплосопротив- ления (в расчете на единицу объема). При линейном законе спада мы имели бы соответственно более низкий прирост теплосопротивления.
Выведем формулу для [pic] применяя стандартную методику усреднения по энергиям.
Как известно для тепловых электронов:
[pic] [pic] [pic] . (12)
Подставляя сюда функцию [pic] из (1) получим
[pic] . (13)
Интеграл в (13) выражается через интеграл ошибок:
[pic] [pic] . (14)
Для [pic] имеет место асимптотическое разложение:
[pic] . (15)
Подставляя разложение (15) в (14) после соответствующих вычислений получим
[pic] [pic] . (16)
Из (13) и (16) находим
[pic] [pic] . (17)
Формула (17) позволяет оценит различные параметры: сечение рассеяния, среднее время пробега (квазизадержки).
Следует отметит, что теоретическая формула (7) получается в результате совместного реше- ния уравнений переноса энергии и заряда, так как в гамильтониане теории как известно отсутствует член, соответствующий электронной теплопроводности.
Для оценки термо-э.д.с. при преобладании резонансного рассеяния носителей примем, что [pic] , [pic] и [pic] (что соответствует [pic] ), используя асимптотику кинетических коэффициентов [pic] и [pic] при [pic] получим [pic] , что в три раза меньше термо-э.д.с. при рассеянии на ионах примеси ( [pic] ). Как и следовало ожидать, термосопро-
тивление при резонансном рассеянии оказалось больше, нежели при рассеянии на ионах приме- си. Учитывая на самом деле достаточно сложный характер зависимости [pic] в более широком интервале температур можно заключить, что [pic] слабо меняется в диапазоне [pic] . При температурах [pic] носители преимущественно рассеиваются на тепловых колебаниях решетки вплоть до комнатных температур. Это оправдывает формулу (1), являющуюся цен-тральной (в нашем случае) при вычислении кинетических коэффициентов.
Таким образом, формулы (6), (11) и (17) представляют первое приближение (так называ- емую [pic] - аппроксимацию).
Эффект Холла и магнетосопротивление
Для определения холловской подвижности [pic] на опыте обычно измеряют, помимо удель- ной электропроводности [pic] , постоянную Холла [pic] . Если имеются носители заряда только одного знака, и они подчиняются классической статистике, то произведение [pic] ( [pic] )
[pic] . (18)
Подставляя сюда [pic] из (1), получим
[pic] . (19)
Интеграл знаменателя совпадает с интегралом в (2). Интеграл числителя равен
[pic] , (20)
где
[pic] .
Из (19), (3) и (20) получим
[pic] . (21)
Для определения поведения [pic] при низких температурах подставим разложения (4) и (15) в (21) (см. приложение 3.1)
[pic] , [pic] . (22)
Если известны [pic] и [pic] , то отсюда можно оценить [pic] .
Из (21) видно, что при [pic] ( [pic] ), [pic] . При высоких температурах [pic] , поэтому также [pic] .
Применение разложений (4) и (15) (с учетом (17)) дает для поперечного магнетосопротив- ления ( [pic] ) оценку (см. приложение 3.2) (по Эргинсою данный эффект отсутствует, так как если [pic] , то [pic] )
[pic] . (23)
Здесь [pic] циклотронная частота, соответствующая эффективной массе на дне зоны прово- димости. Отсюда видно, что магнетосопротивление по асимптотике является эффектом «второ- го порядка» ( [pic] ) по сравнению с подвижностью, теплопроводностью и эффектом Холла.
Величину [pic] можно интерпретировать как среднюю кинетическую энергию носителей, отклоненных в магнитном поле на фоне неупорядоченно расположенных [pic] центров. В промежутках между актами рассеяния частица движется под действием поля. Прежде чем рассеяться, частица проходит малую часть орбиты. Почти прямая линия между двумя центрами является очень малой частью орбиты. Двигаясь вдоль этой «линии» носитель приобретает относительно «точки наблюдения» на оси постоянного вектора [pic] кратковременный момент импульса [pic] ( [pic] циклотронная скорость), при- чем [pic] является «радиусом кривизны» ( [pic] , [pic] радиус циклотронной орбиты).
При достаточно низких температурах [pic] вполне является интегралом движения.
Как видно из (23) тепловое движение стремится стряхнуть частицу с орбиты. Критерий устойчивости на мгновенной орбите: [pic] , [pic] .
К сожалению, неупорядоченность [pic] центров не позволяет, представит их поле в виде периодической функции (теорема Фурье). Концентрация примесей [pic] считается малой, т.е. одновременное рассеяние носителей на двух и более центрах не учитывается, что соответ- ствует обычному газовому приближению [12, 15, 16].
Следует указать на то, что [pic] , и никакого «выигрыша», на первый взгляд, резонанс- ное рассеяние в среднем не получает ( [pic] ). Однако из-за «укорочения» [pic] (вдоль [pic] ) между актами рассеяния, [pic] (поперечник) как-бы получает (в квазиклассическом смысле 3 ) некоторое [pic] малое (виртуальное) приращение, причем в качестве параметра малости выступает множитель [pic] (см. приложение 3.3).
Учет «рассеивающего» влияния [pic] поля
На основе формулы для магнетосечения [pic] , где [pic] ,
[pic] (см. приложение 3.3), можно сравнительно легко проанализировать влияние поля на тепло- и электропроводность. Качественно ясно, что оба типа проводимостей должны умень- шиться из-за укорочения [pic] :
[pic] , [pic] .
Из этой оценки нетрудно понять, что «точные» формулы для [pic] и [pic] должны иметь вид (в рамках правомерности формул (6) и (11))
[pic] , [pic] . (24)
Следовательно, суперслабое магнитное поле не «возмущает» число Лоренца: [pic] .
Закон Видемана-Франца выполняется с достаточным запасом точности. Факт уменьшения [pic] и [pic] (в среднестатистическом аспекте) можно также выразит в терминах укорочения средней длины свободного пробега
[pic]
[pic] , [pic] , (25)
где [pic] задаётся формулой (17). Общая картина представлена на рис. 3.
[pic]
Зависимость (25) налагает ограничение на [pic] : [pic] . Вне предела [pic] [pic] аппроксимация неправомерна ( [pic] температура, соответствую-щая поперечному отклонению носителей, при которой «магнитный момент» орбиты [pic]
[pic] , [pic] (рис.3)). Предельное значение поля [pic] , ( [pic] ).
На основании (24) и (25) можно сформулировать правило:
пусть известно усредненное сечение рассеяния электрона на [pic] центре в отсутствие магнитного поля; сечение рассеяния в суперслабом магнитном поле [pic] будет таким же, как и сечение без поля но с поправкой [pic] .
Влияние слабого поля на [pic] определяется зависимостью (9), из которой после усреднения следует [pic] , т.е. время свободного пробега для «медленных» электронов больше чем для «быстрых», а это значит что [pic] .
Отметим, что если использовать стандартные методы расчета [11, 15] то объем различных вычислений возрос бы, а результаты были - бы почти те же. В этом основное преимущество данного подхода – учет влияния слабого магнитного поля осуществляется на основе замены [pic] (образно гибридное сечение). Исходя из такого квазиклассического «расшире- ния» можно в принципе рассчитать всевозможные кинетические эффекты в слабом [pic] поле, число которых велико, при этом важно придерживаться схеме [pic] –аппроксимации (при одном превалирующем механизме рассеяния из двух).
Замена [pic] не претендует на числовой множитель при [pic] для [pic] , так как данная замена предполагает суперслабое поле и отражает лишь уменьшение [pic] . В случае [pic] стандартный метод и [pic] приводят к одному и тому же числовому множите- лю [11, стр. 96].
Электропроводность тонких полупроводников
Если травлением или протяжкой уменьшить диаметр полупроводника [pic] до такой степени, что [pic] , то значительная часть электронов проводимости будет рассеиваться на поверхности. Отсюда следует, что поверхностное рассеяние будет существенной добавкой к объемным эф- фектам. Для полупроводников в отличие от металлов поверхностное рассеяние носит сугубо упругий характер: [pic] , [pic] , т.е. электроны не чувствуют «интерферен-ционную» структуру поверхности. Получение соответствующих формул требует решения кине- тического уравнения Больцмана с подходящими граничными условиями на поверхности [16, стр. 210]. Наибольший практический интерес может представит формула [15, стр. 261] ( [pic] )
[pic] , [pic] , (26)
где [pic] объемное сопротивление, [pic] определяется выражением (6).
Подставляя в (26) формулу (17) получаем (для оценки: [pic] , [pic] )
[pic] , [pic] . (27)
Как следует из числового интервала [pic] электроны не чувствуют наличие нейтральной при- меси вообще не говоря уже о [pic] центрах. Поверхностное рассеяние затушевывает оста- точное примесное рассеяние: [pic] [pic] (см. приложение 1.1). В этом смысле можно сказать, что ковалентный кристалл ведет себя как квазиидеальный. Вопреки традицион- ному воззрению, что нейтральные примеси ответственны за остаточное сопротивление, полученный результат показывает, что это не всегда так: электрофизика образца во многом регламентируется именно тем, в каком отношении соотносятся диаметр [pic] и средняя длина свободного пробега электронов [pic] , кроме того увеличение концентрации носителей, за счет фотовозбуждения [pic] центров, может привести к уменьшению поверхностного рассеяния и проявлению других механизмов рассеяния.
По-видимому также обстоит ситуация и в случае обычного нерезонансного рассеяния носи- телей заряда на глубоких нейтральных примесях [13].
Выводы
Основное содержание настоящей работы можно свести к формулам (6), (11), (17), (22)-(25) и (27) которые имеют прямой физический смысл, раскрывая специфику резонансного рассеяния, которые необходимы для осмысленного изучения поведения температурных зависимостей различных кинетических коэффициентов при низких температурах и суперслабых [pic] полях.
Полученные формулы дают право, критически оспорит формулу Эргинсоя, согласно кото- рой подвижность носителей заряда в интервале [pic] не зависит от температуры. Ведь совершенно ясно, что подвижность [pic] в отличие от термо-э.д.с. [pic] весьма чувствительна к тем- пературе. Формула Эргинсоя носит эмпирический характер и её нельзя конечно воспринимать буквально. На наш взгляд резонансное рассеяние на нейтральных примесях более физично во многих отношениях, что подтверждается конкретными числовыми оценками.
При высоких и низких температурах [pic] пропорционально [pic] и имеет различную темпера- турную зависимость. Если откладывать на графике зависимость [pic] от [pic] , то при высоких и низких температурах получаются прямые с угловыми коэффициентами [pic] и [pic] . Для определения [pic] температуры перехода от одной температурной зависимости к другой, необ- ходимо, строго говоря, решить сложное трансцендентное уравнение. Для оценки [pic] положим
[pic] и [pic] ; тогда
[pic] .
Необходимо различать два крайних случая. Если [pic] , то легко показать,
[pic] . (28)
В противоположном случае, когда [pic] ,
[pic] . (29)
Когда [pic] , то по порядку величины приложим критерий (28), как это видно из критерия (29).
Выше мы оценили [pic] и [pic] . Таким образом [pic] [pic] ( [pic] ) [pic] . Во всяком случае, мы можем отсюда предполо- жительно заключить, что переход может наблюдаться и при более высоких температурах в за-висимости от степени легирования.
Легко показать, что если в более общем случае [pic] , то при низких температурах, когда можно пренебречь решеточным сопротивлением, [pic] по-прежнему пропорционально [pic] .
При не слишком слабых полях ( [pic] ) (когда разложение [pic] не вполне право-мерно, например, вблизи значений 200 Э) [pic] ,
[pic] , [pic] [pic] . (30)
Наличие максимума радикально отличается от случая [pic] [2].
Формулы (30) практически совпадают с формулами, полученными в работе [12], при этом [pic] резонансно возрастает как [pic] (рис. 1).
При очень низких температурах при наличии суперслабых [pic] полей реализуются весьма благоприятные условия для повышения эффективности термопар (из-за квазипостоянства [pic] ) [14]
[pic] .
На основе (17) нетрудно оценить величину поля необходимую для туннелирования носи-телей. Для оценки [pic] положим [pic] ; тогда
[pic] .
Полученное значение напряженности соответствует области суперслабых полей. Коэффици-ент «просачивания» при этом практически равен единице. Так что говорит о наличии какого-либо потенциального барьера (ямы) при резонансном рассеянии особо не приходиться, и он
имеет в этом случае скорее формальный, нежели реальный смысл. Эффект «задержки» (аналог эффекта Рамзауэра) здесь выражается в том, что медленный электрон начинает при этом слегка спотыкаться, что качественно отражено на графиках (1) и (2).
Критически оценивая формулы (27) можно прийти к выводу, что джоулевы потери могут происходит только на поверхности, но тогда поверхностное рассеяние носителей не будет «абсолютно упругим» оно будет скорей квазиупругим (носители как-бы прилипают на короткое время к поверхности полупроводника).
Приложение 1.1
При высоких температурах [pic] : [pic] , [pic] , а се- чение [pic] может проявиться лишь как одиночный «всплеск» на фоне акустического рас- сеяния, но так как число резонирующих носителей исчезающе мало, то резонансное рассеяние весьма маловероятно 2.
При низких температурах [pic] , [pic] ; число фононов: [pic] , ( [pic] температура Дебая, [pic] число атомов);
[pic] [pic] , [pic] ,
( [pic] скорость звука). Для точечных дефектов и примесных атомов (по Эргинсою) [pic] ,
[pic] . Кулоновское сечение: [pic] , [pic] .
Следовательно, резонансное рассеяние в указанном интервале полностью доминирует (рис. 4), причем вблизи 4 K длинноволновое фононное рассеяние сменяется резонансным.
[pic]
Приложение 1.2
При сильных магнитных полях отношение предельных значений электропроводности равно
[pic] .
Первый интеграл [pic] имеет классическую асимптотику [pic] , второй равен [pic]
[pic] и имеет классическую асимптотику [pic] . В результате имеем [pic] в полном соответствии с результатом Давыдова-Шмушкевича [11, стр. 105]. В данном случае асимптотика [pic] означает, что в пределе классически сильного магнитного поля, рассеяние носителя на атоме примеси, аналогично рассеянию последнего на высоковозбужденном акустическом фононе. При такой трактовке мы приходим к независимости [pic] от скорости. К этому же выводу можно прийти и на основе теории Дебая [15].
Вывод справедлив и при произвольном [pic] .
Приложение 3.1
[pic]
[pic] .
Приложение 3.2
Общая теоретическая формула:
[pic]
[pic] .
Здесь [pic] , а функция
[pic] определена интегралом (20). Из исходной формулы видно, что при [pic] ( [pic] ) , [pic] , [pic] .
При низких температурах на основе разложения (4) имеем
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] ,
кроме того
[pic] .
Следовательно
[pic]
[pic] , т.е. получаем формулу (23), являющуюся свя-зующим звеном между первым и вторым приближением ( [pic] ).
Результат (23) требует качественного разъяснения: в актуальной области подавляющее большинство носителей (которые резонируют) лишь в среднем имеют энергию [pic] [pic] [pic] , и для них [pic] не «укорачивается». Но носители с энергией меньше средней ( [pic] ) будут от- клоняться в сторону «электрической» силы, а носители с энергией ( [pic] ) – в противо- положную сторону (рис.3). И для тех и для других [pic] уменьшится, при этом число отклоняю- щихся носителей ничтожно мало: [pic] [pic] [pic] , откуда следует что [pic] .
Приложение 3.3
Усреднение сечения резонансного рассеяния 3
[pic] [pic]
[pic] .
В актуальном диапазоне:
[pic] , [pic] , [pic] , [pic] ,
[pic] , [pic] ,
но [pic] , только поэтому [pic] ,
тогда
[pic] , [pic] .
Как видно из асимптотической оценки при очень низких температурах тепловой разброс не существенен для статистического сечения резонансного рассеяния. Среднее сечение рассеяния определяется только одним единственным параметром [pic] ( [pic] центра) и [pic] (носителя) (при этом нет необходимости, чтобы [pic] было близко к [pic] 2 ). Однако тепловой разброс сущес- твенен при наличии поля! Существенно, что приращение сечения квадратично по полю.
В формуле для [pic] отражено результирующее влияние магнитного поля и «поля» [pic] центра. Область в окрестности центра как-бы слегка набухает, радиус действия его «потенциала» слегка возрастает. Другими словами влияние слабого [pic] поля на резонансное рассеяние (как впрочем, и на другие механизмы рассеяния) эквивалентно (при нашем подходе) квазилокальному «растяжению» ( [pic] ) поперечника центра. Растяжение поперечника лимитировано сменой температурной зависимости. Во избежание «дифракции» должно соблю- даться условие [pic] , которое, как правило, хорошо соблюдается в суперслабых полях.
Рассеивающее действие [pic] поля наиболее эффективно на границе центра. В соответствии с «гипотезой локального равновесия», которое налагает, ограничение на [pic] , а именно [pic] , мы предполагаем, что изменением температуры в [pic] – окрестности центра можно пренебречь.
Относительная доля носителей, преодолевающих заслон, пренебрежимо мало: [pic] , [pic] , ( [pic] – угол отклонения) так что подавляющее большинство носителей интенсивно рассеиваются и в формулах кинетических коэффициентов не надо вводить попра- вок на [pic] ( [pic] ).
Как видно, формула для сечения формально сходна с формулой Сезерленда для газокине- тического сечения рассеяния частиц.
Таким образом, магнитное поле столь слабо [pic] , что оно лишь слегка искривляет траек- торию носителей между актами рассеяния, между тем как можно не учитывать его влияние на специфику рассеяния: [pic] .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Физматлит, 2001, Т-3, 803 с.
2. Имамов Э.З., Колчанова Н.М., Крещук Л.Н., Яссиевич И.Н. Роль рассеяния на мелких
нейтральных центрах в кинетических явлениях при низкой температуре // ФТТ, 1985, Т.
27, № 1, С. 69-76.
3. Батурин А.С., Горелкин В.Н., Соловьев В.Р., Черноусов И.В. Расчет подвижности
носителей заряда в алмазе при низких температурах // ФТП, 2010, Т. 44, вып. 7, С. 897 901.
4. Прокофьева Л.В., Шабалдин А.А., Корчагин В.А., Немов С.А., Равич Ю.И.
Число Лоренца и фактор Холла в вырожденных полупроводниках при резонансном
рассеянии носителей тока // ФТП, 2008, Т. 42, вып. 10, С. 1180 -1189.
5. Прокофьева Л.В., Пшенай-Северин Д.А., Константинов П.П., Шабалдин А.А.
Электронный спектр и рассеяние носителей тока в PbTe ‹Na +Te› // ФТП, 2009, Т. 43,
вып. 9, С. 1195 -1198.
6. Коломоец Н.В. Влияние межзонных переходов на термоэлектрические свойства
вещества // ФТТ, 1966, Т. 8, № 4, С. 999-1003.
7. Пшенай-Северин Д.А., Федоров М.И. Влияние межзонного рассеяния на
термоэлектрические свойства полупроводников и полуметаллов // ФТТ, 2010, Т. 52, №
7, С. 1257-1261.
8. Немов С.А., Равич Ю.И., Корчагин В.И. Энергия примесных резонансных состояний в теллуриде свинца с различным содержанием примеси таллия // ФТП, 2011, Т. 45, вып.6, С. 740-742.
9. Немов С.А., Осипов П.А., Прошин В.И., Парфеньев Р.В., Шамшур Д.В., Шайнова Н.П.
Сверхпроводимость сплавов Sn 0.62 Pb 0.33 Ge 0.05 Te // ФТТ, 2000, Т. 42, № 7, С. 1180 -
1182.
10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977, 344 с.
11. Аскеров Б.М. Кинетические эффекты в полупроводниках. Л.: Наука, 1970, 302 с.
12. Андреев С.П., Павлова Т.В., Небогатов В.А. Уширение кривой классического
циклотронного резонанса нейтральными примесями в двух- и трёхмерных
полупроводниках // Труды Научной Сессии НИЯУ МИФИ - 2010, Т. III, Современные
проблемы физики конденсированного состояния, С.89 -92.
13. Петрикова Е.А., Симакин М.В. Рассеяние носителей заряда на глубоких нейтральных
центрах в высокоомных кристаллах арсенида галлия // Вестн. ЕНУ им. Л. Н. Гумилева,
2010, № 6, С. 136 -138.
14. Кайданов В.И., Немов С.А., Равич Ю.И. Резонансное рассеяние носителей тока в
полупроводниках типа АIVBVI // ФТП, 1992, Т. 26, вып. 2, С. 201 - 222.
15. Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Мир, 1971, 472 с.
16. Фикс В.Б. Ионная проводимость в металлах и полупроводниках. М.: Наука, 1969, 296 с.
17. Erginsoy C. Neutral Impurity Scattering Semiconductors // Phys. Rev., 1950, Vol. 79, No. 6, P.
1013 -1014.
1. Применимость классической статистики при преобладании [pic] приближения при низких температурах ( [pic] ) оправдано тем, что тепловое размытие [pic] центров примерно на порядок и два меньше среднего расстояния между уровнями мелкого донора. 2. Во избежание недоразумений следует отметить, что и при более высоких температурах ( [pic] ) возможно резонансное рассеяние, поскольку носители лишь в среднем имеют энергию [pic] . В соответствии с распределением Максвелла имеется некоторая часть медленных носителей, которые все же резонируют даже при [pic] и более высоких температурах. 3. После усреднения (пригодного для квазистационарного состояния) [pic] приобретает классические черты, к которому тогда уже приемлемо квазиклассическое рассмотрение.
T.T. Muratov
FORMALISM «MAGNETO CROSS-SECTIONS» OF [pic] CENTERS AT RESONANCE SCATTERING OF CHARGED CARRIERS IN ANGENERATED SEMICONDUCTORS
The new approach to study of kinetic effects in covalent semiconductors is developed. On example of the calculation kinetic coefficients at resonance scattering are demonstrated some particularities of the proposed approach. It is studied influence limited weak magnetic field on kinetic effects. Unlike standard method, taking into account presence of the [pic] field in the nonequilibrium distribution function with the following reception sought formulas for kinetic coefficients, in proposed approach presence (the influence) of the weak [pic] field is fixed as local (virtual) incrementation of cross-section of the concrete scattering, in is given event resonance. Formal change: [pic] allows relatively easy to analyze the influence of the [pic] field on kinetic effects. It is shown that at presence of the [pic] field electronic conductivity reached the maximum near 1K in the range of fields of the order 100 Gauss.
Generality result is revealed in process of the calculation at any mechanism of the scattering. The main requirement is reduced to low-temperature asymptotics: [pic] of concrete mechanism of the scattering was constant.
Keywords: kinetic coefficients, resonance scattering, [pic] сenters, classical weak and strong magnetic fields, magneto cross-section.
