Методические рекомендации к решению задач ЕГЭ по теме Атомная физика

Атомная физика

Квантовая физика

Методические рекомендации к решению задач части С

Фотоны. Постулаты Бора.

№ 1.Монохроматический пучок параллельных лучей создается источником,
который за время Δt = 8·10^-4 с излучает N = 5·10¹⁴ фотонов.
Фотоны падают по нормали на площадку S = 0,7 см² и создают давление p = 1,5·10^-5 Па.
При этом 40% фотонов отражается, а 60% поглощается.
Определите длину волны излучения.
Решение:

[pic]

[pic]

№ 3. Электромагнитное излучение с длиной волны λ = 3,3·10 ^-7м используется для нагревания воды массой 1 кг. Сколько времени потребуется для нагревания воды на Δt^o = 10 ^оС, если источник за 1 с излучает N = 10 ²⁰ фотонов? Считать, что излучение полностью поглощается водой.

Решение. Теплота нагревания воды Q = mcв Δt ^o, энергия излучения U = hνNt. Излучение полностью поглощается водой, следовательно, m cв Δt ^o = hνNt, t = mcв Δt ^o/hνN. ν = с/ λ.

t = mcв Δt ^o λ /hсN = 1 · 4200 · 10 · 3,3 · 10 ^-7/ 6,6 · 10 ^-34· 3 ·10⁸ · 10²⁰ = 4200/6 = 700 (с).

№ 4. На рисунке изображены несколько энергетических уровней электронной оболочки атома и указаны длины волн фотонов, излучаемых и поглощаемых при переходах с одного уровня на другой. Чему равна минимальная длина длина волны фотонов, излучаемых при переходе с одного уровня нр другой, если λ1-3 = 400 нм, λ2-4 = 500 нм, λ3-2 = 600 нм? [pic]

Решение. Согласно постулату Бора энергия фотона hν = E4 – E1 . Из рисунка видно, что Е4-1 = Е2-4 + Е1-3 – Е2-3.

hν=hc/ λ. hc/ λ4-1 = hc/ λ 2-4 + hc/ λ 1-3 – hc/ λ 2-3.

1/ λ4-1 = 1/ λ 2-4 + 1/ λ 1-3 – 1/ λ 2-3 = 1/500 + 1/ 400 – 1/600 = 34/12000, λ4-1 = 352 (нм).

№5.

[pic]

[pic]

Реши самостоятельно.

№ 1. Препарат активностью А = 1,7 ·10¹¹ частиц в секунду помещён в медный контейнер массой 0,5 кг. На сколько повысилась температура контейнера за 1 час, если известно, что данное радиоактивное вещество испускает альфа-частицы энергией Е1 = 5,3 МэВ. Считать, что энергия всех альфа-частиц полностью переходит во внутреннюю энергию контейнера. Теплоёмкостью препарата и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

№ 2. Образец, содержащий радий, за 1 с испускает 3,7⋅10¹⁰ α-частиц, обладающих импульсом 1,0⋅10^–19 кг⋅м/с. За какое время выделится энергия 100 Дж? Масса α-частиц равна 6,7⋅10^–27 кг. Энергией отдачи ядер, γ-излучением и релятивистскими эффектами пренебречь.

№ 3.

На рисунке представлены энергетические уровни [pic]

электронной оболочки атома и указаны частоты

фотонов, излучаемых и поглощаемых при

переходах между этими уровнями. Какова частота ν24, если ν13 = 7·10¹⁴ Гц, ν32 = 3·10¹⁴ Гц, а при переходе с уровня Е4 на уровень Е1 излучаются фотоны длиной волны λ = 360 нм?

№6. Неподвижная пылинка массой 0,1мг освещается импульсом лазерного света с длиной волны 0,63мкм. Определите число поглощённых пылинкой фотонов, если она в результате действия света приобрела скорость 1мм/с.

№7. Электрон, имеющий импульс p = 2•10^–24 кг•м/с, сталкивается с покоящимся протоном, образуя атом водорода в состоянии с энергией En (n = 2). В процессе образования атома излучается фотон. Найдите частоту ν этого фотона, пренебрегая кинетической энергией атома. Уровни энергии электрона в атоме водорода задаются формулой En = -(13.6/n²) эВ, где n = 1, 2, 3.

№ 9. В сосуде находится разреженный атомарный водород. Атом водорода в основном состоянии (Е1 = - 13,6 эВ) поглощает фотон с частотой 3,7•10¹⁵ Гц. С какой скоростью v движется вдали от ядра электрон, вылетевший из атома в результате ионизации? Энергией теплового движения атомов водорода пренебречь.

№ 10.В сосуде находится разреженный атомарный водород. Атом водорода в основном состоянии (Е1 = - 13,6 эВ) поглощает фотон с частотой 3,7•10¹⁵ Гц. С какой скоростью v движется вдали от ядра электрон, вылетевший из атома в результате ионизации? Энергией теплового движения атомов водорода пренебречь

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

№ 1. В вакууме находятся два покрытых кальцием электрода, к которым подключен конденсатор ёмкостью С. При длительном освещении катода светом с длиной волны λ=100нм фототок, возникший вначале, прекращается, а на конденсаторе появляется заряд q = 9,6•10^-10 Кл. Работа выхода электрона из кальция А=4,42•10^-19 Дж. Определите ёмкость конденсатора С.

Решение.
Напряжение на конденсаторе U будет равно задерживающей разности потенциалов Uз, которое можно найти из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: hν = Aвых+Ек, Ек=еUз, V=c/λ, т.е. v=3 ·10⁸/10^-7=3·10¹⁵Гц.
Тогда
[pic] , Отсюда:

[pic] 1/1,6·10^-19(6,63·10^-34·3·1015 -4,42·10^-19)=9,6В.

Находим емкость конденсатора:

[pic] 9,6•10^-10/9,6=10^-10Ф.

№ 2. Уровни энергии электрона в атоме водорода задаются формулой

[pic]    эВ, где n = 1, 2, 3, …

При переходе из состояния Е2 в состояние Е1 атом испускает фотон.
Поток таких фотонов падает на поверхность фотокатода.
Запирающее напряжение для фотоэлектронов, вылетающих с поверхности фотокатода Uзап = 7,4 В.
Какова работа выхода Авых фотоэлектронов с поверхности фотокатода?

Решение.

Энергия фотона:     hν = E2 - E1 .
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:     hν = Aвых - eUзап.

Е1=-13,6/1² =-13,6эВ, Е2=-13,6/2²=-3,4эВ, Е2-Е1=-10,2эВ=-16,32·10^-19Дж.

Отсюда     Aвых =(E2 - E1) - eUзап , Авых= -16,32·10^-19Дж+1,6·10^-19·7,4=4,54,5·10^–19 Дж

Ответ:     Авых ≈ 4,5·10^–19 Дж ≈ 2,8 эВ.

№3. Уровни энергии электрона в атоме водорода задаются формулой

[pic] , где n = 1, 2, 3, … . При переходе атома из состояния Е2 в состояние Е1 атом испускает фотон. Попав на поверхность фотокатода, фотон выбивает фотоэлектрон. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта для материала поверхности фотокатода, λкр = 300 нм. Чему максимальная возможная скорость фотоэлектронов?

Решение:

[pic]

[pic]

№5. [pic]

Решение.

[pic]

Реши самостоятельно № 1. В сосуде находится разрежённый атомарный водород. Атом водорода в основном состоянии (Е1 = – 13,6 эВ) поглощает фотон и ионизуется. Электрон, вылетевший из атома в результате ионизации, движется вдали от ядра со скоростью 1000 км/с. Какова частота поглощённого фотона? Энергией теплового движения атомов водорода пренебречь.

№ 2. В двух опытах по фотоэффекту металлическая пластинка облучалась светом с длинами волн соответственно λ1 =350 нм. и λ2 =540 нм. Максимальные скорости фотоэлектронов в первом и во втором опытах отличались в 2 раза. Какова работа выхода с поверхности металла?

№ 3. Для увеличения яркости изображения слабых источников света используется вакуумный прибор – электронно-оптический преобразователь. В этом приборе фотоны, падающие на катод, выбивают из него фотоэлектроны, которые ускоряются разностью потенциалов U = 15000 В и бомбардируют флюоресцирующий экран, рождающий вспышку света при попадании каждого электрона. Длина волны падающего на катод света λ1 =820 нм, а света, излучаемого экраном, λ2 = 410 нм. Во сколько раз N прибор увеличивает число фотонов, если 1 фотоэлектрон рождается при попадании на катод в среднем k = 10 фотонов? Работу выхода электронов принять равной 1эВ. Считать, что энергия падающих на экран электронов переходит в энергию света без потерь.

№ 4. Уровни энергии электрона в атоме водорода задаются формулой En = -13,6/n² эВ, где n =1, 2, 3, … . При переходе атома из состояния E2 в состояние E1, атом испускает электрон. Попав на поверхность фотокатода, фотон выбивает фотоэлектрон. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта для материала поверхности фотокатода равна 300 нм. Чему равна максимальная возможная скорость фотоэлектронов?

№ 5. Фотокатод облучают светом длиной волны λ1 = 300нм. Красная граница фотоэффекта для вещества фотокатода λ2 = 450 нм. Какое напряжение между анодом и катодом нужно создать, чтобы фототок прекратился?

№6.Уровни энергии электрона в атоме водорода задаются формулой

[pic] , где n = 1, 2, 3, … . При переходе атома из состояния Е2 в состояние Е1 атом испускает фотон. Попав на поверхность фотокатода, фотон выбивает фотоэлектрон. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта для материала поверхности фотокатода, λкр = 300 нм. Чему максимальная возможная скорость фотоэлектронов?

№8. Фотоны, имеющие энергию 5 эВ, выбивают электроны с поверхности металла. Работа выхода электронов из металла равна 4,7 эВ. Какой импульс приобретает электрон при вылете с поверхности металла?

№ 9. В вакууме находятся два покрытых кальцием электрода, к которым подключен конденсатор емкостью С = 8000 пФ. При длительном освещении катода светом c частотой ν = 10¹⁵ Гц фототок, возникший вначале, прекращается. Работа выхода электронов из кальция А = 4,42•10^-19 Дж. Какой заряд q при этом оказывается на обкладках конденсатора?

№ 10. Фотокатод, покрытый кальцием (работа выхода 4,42•10^-19 Дж), освещается светом с длиной волны 300 нм. Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле с индукцией 8,3•10^-4 Тл перпендикулярно линиям индукции этого поля. Каков максимальный радиус окружности, по которой движутся электроны

Закон радиоактивного распада. [pic]

№ 2.Активность препарата ³²P равна 2 мкКи. Сколько весит такой препарат? Решение.

Закон радиоактивного распада: N(t) = N0e^-λt,где N0 - количество радиоактивных ядер в произвольно выбранный начальный момент времени t = 0, N(t) - количество радиоактивных ядер, не распавшихся к моменту времени t, λ - постоянная распада (вероятность распада в единицу времени). λN - активность (интенсивность излучения) радиоактивного препарата, измеряется в Ки, 1 Ки = 3.7·10¹⁰ распадов/с. T1/2 - период полураспада данного ядра (время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза) равен для ³²P 14.5 суток. Период полураспада T1/2 связан с постоянной распада λ соотношением T1/2 = ln 2/λ.
Количество ядер в образце массой m грамм [pic]

где NA - число Авогадро, A - массовое число. Активность препарата

[pic] тогда его масса будет

[pic] 7.1·10^-12 г.

№ 3. Определить период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8 начального количества ядер этого изотопа распалась за время t = 849 c.

Решение.

Используя закон радиоактивного распада , найдем

.

Прологарифмировав последнее выражение , найдем . Тогда период полураспада

мин.

№ 4. Природный уран состоит на [pic] из изотопа [pic] U и на [pic]  — из [pic] . По современным представлениям, все элементы тяжелее железа образовались при взрывах сверхновых звёзд, а после этого из получившихся газопылевых облаков возникли звёзды следующего «поколения», в частности, Солнце и планеты Солнечной системы. По-видимому, в этих выбросах всех изотопов урана было примерно поровну. Оцените, сколько лет назад произошёл тот выброс вещества, из которого сформировалась наша Земля. Период полураспада, то есть время, в течение которого число атомов данного изотопа уменьшается в 2 раза, для [pic] равно [pic]  лет, а для [pic]  — [pic]  лет.  

Показать решение

Решение Обозначим количество атомов каждого изотопа непосредственно после взрыва сверхновой звезды через N0. Тогда через время T1 после взрыва количество атомов [pic] стало равно N0/2, через время 2Т1 — стало равно N0/2² , и так далее. Очевидно, что через время t=nT1 после взрыва, равное [pic] периодам полураспада [pic] , количество атомов этого изотопа стало равно N1=N0/2ⁿ . Аналогично, за то же самое время t=rT2, равное [pic] периодам полураспада [pic] , количество атомов данного изотопа стало равно N2=N0/2^k . По условию задачи, [pic] Отсюда [pic]

Учитывая, что t=nT1+kT2 , получаем систему из двух уравнений относительно неизвестных [pic] и [pic] . Решая её, найдём, например,  [pic] :

[pic]

Значит, искомое время [pic] равно [pic]

№ 5. Конечным продуктом радиоактивного распада является свинец Период полураспада составляет 4,5•109 лет. Определите возраст минерала, в котором число атомов урана и свинца одинаково.

Дано:

[pic]

Решение:

По закону убывания числа радиоактивных атомов со временем:

[pic]

значит,

[pic] :

Реши самостоятельно

№1. . Радиоактивный фосфор, использующийся для диагностики болезней кровообращения, имеет период полураспада 14,3 дня. Найдите активность образца с числом атомов N = 5 • 1016.

№.2. Определить какая часть начального количества начального количества ядер радиоактивного изотопа распадется за время t, равное двум периодам полураспада.

№ 3 .Образец радиоактивного радия находится в закрытом сосуде. Ядра радия испытывают распад с периодом полураспада 11,4 суток. Определите число атомов радия, которые останутся нераспавшимися через 34,2 суток, если образец в момент помещения его в сосуд содержал атомов радия.

№4.Имеется 8 кг радиоактивного цезия. Определите массу нераспавшегося цезия после 135 лет распада, если период полураспада 27 лет. (m= 0,25 кг).

№ 5.Имелось некоторое количество радиоактивного серебра. Масса серебра уменьшилась в 8 раз за 810 суток. Определите период полураспада. (Т= 270 суток).

№ 6. Сколько процентов ядер радиоактивного йода–131 с периодом полураспада 8 суток останется 16 сут?

Элементарные частицы.

Задача 1.

Ядро покоящегося нейтрального атома, находясь в однородном магнитном поле индукцией В, испытывает α-распад. При этом рождается α-частица и тяжёлый ион нового элемента. Трек тяжёлого иона находится в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Начальная часть трека напоминает дугу окружности радиусом .Выделившаяся при α-распаде энергия ΔЕ целиком переходит в кинетическую энергию продуктов распада. Масса α-частицы равна ma, её заряд 2е. Найти модуль отношения заряда к массе │q/М│ для тяжёлого иона.

Решение. 1. На основании закона сохранения зарядов модули зарядов продуктов распада будут равны qи = qа = q.

2. Так как нейтральный атом в начале покоился, то его импульс равен нулю, следовательно, и суммарный импульс продуктов распада тоже равен нулю (основание – закон сохранения импульса). Отсюда следует, что модули импульсов продуктов распада будут равными. maυa = M υи.

3. Ион под действием силы Лоренца начинает двигаться по дуге радиусом R. Сила Лоренца сообщает иону центростремительное ускорение: qиBυ =Mυ²/R, qи BR = M υи.

4. А также по условию имеем ΔЕ = Еа + Еи , 2 ΔЕ = ma υa² + M υи²

Решая систему уравнений (выделены красным), получим: υa = M υи/ma, υи = qи BR/ M, υa = qи BR/ma. Подставляя значение скоростей продуктов распада в 4-е уравнение, получим 2 ΔЕ = ma(qи BR/ma)² + M(qи BR/ M) ²,

2 ΔЕ = q²B²R²/ma + q²B²R²/ M, q/ M = (2 ΔЕ - q²B²R²/ma) / qB²R². Умножив числитель и знаменатель на q и, выполнив ряд алгебраических преобразований, получим q/ M =(q/mа) ( (2 ΔЕ mа / q²B²R²) -1) ,

q/ M =(2е/mа) ( (2 ΔЕ mа / 4е²B²R²) -1)

[pic]

№ 3. Свободный пион (π⁰-мезон) с энергией покоя 135 МэВ движется со скоростью V, которая значительно меньше скорости света.
В результате его распада образовались два γ-кванта, причём один из них распространяется в направлении движения пиона, а другой – в противоположном направлении.
 Энергия одного кванта на 10% больше, чем другого.
Чему равна скорость пиона до распада?

Решение.

Пион, движущийся со скоростью V, имеет импульс p = mV и энергию [pic] , где m – масса пиона.

Энергия γ-кванта Eγ и его импульс рγ связаны соотношением: [pic]

При распаде пиона на два кванта энергия системы и её импульс сохраняются: [pic]
Разделив второе уравнение на первое, получим: [pic] .

По условию задачи E1 =1,1⋅ E2 , так что [pic]

Ответ: V ≈1,43⋅10⁷ м/с .

№1.π0-мезон массой 2,4•10^-28 кг распадается на два γ-кванта. Найдите модуль импульса одного из образовавшихся γ-квантов в системе отсчета, где первичный π0-мезон покоится.

№ 2. Атом мюония состоит из неподвижного протона и отрицательно заряженного мюона массой m = 206me, где me — масса электрона, и зарядом, равным заряду электрона e. Для ближайшей к протону орбиты мюона выполняется условие квантования 2π rp = h, где r — радиус орбиты, р — импульс мюона, h — постоянная Планка. Найдите радиус этой орбиты.

№.3. Рассматриваемая реакция идёт с поглощением энергии 1,3 МэВ. При какой пороговой (минимальной) скорости α-частиц, бомбардирующих неподвижную мишень, такая реакция могла пойти? Масса α-частицы 6,6·10 ^-27кг.

Ядерные реакции.

Дано:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

____________________

[pic]

Решение:

Энергия связи ядра равна

[pic]

где Δm  – разность суммы масс свободных частиц, входящих в состав ядра, и массы ядра, с – скорость света в вакууме. Для нахождения разности масс отыскиваем в справочнике по физике сведения о массах [link] [pic]   и атома дейтерия [pic]  . Для нахождения массы ядра дейтерия [pic]  необходимо вычесть из массы атома дейтерия массу электрона, находящегося на его оболочке:

  [pic]

  [pic]

Но [pic] , поэтому 

[pic]

[pic]

[pic]

№ 2.  Вычислите энергетический выход ядерной реакции

[pic]

Решение:

Для вычисления энергетического выхода ядерной реакции необходимо найти разность масс частиц, вступающих в реакцию, и частиц – продуктов реакции. В реакции участвуют атомные ядра, но в справочных таблицах обычно даются сведения лишь о массах атомов. Можно найти массу каждого атомного ядра вычитанием массы электронов оболочки из массы атома. Можно поступить иначе. Если в уравнении ядерной реакции слева и справа пользоваться только массами атомов (т.е. массой атома водорода, а не массой протона слева, и массой атома гелия, а не массой альфа-частицы справа), то из-за одинаковости числа электронов в атомах, вступающих в реакцию, и в продуктах реакции их вычитание осуществляется автоматически при нахождении разности масс. Таким образом, для решения задачи можно воспользоваться сведениями из справочника о массах атомов.

  [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

_____________________

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Вычислим энергетический выход при изменении массы на 1 а.е.м.:

[pic]

Выход ядерной реакции равен

  [pic]

Реши самостоятельно.

№ 1.Найти с помощью табличных значений масс атомов:
а) среднюю энергию связи на один нуклон в ядре О¹⁶;
б) энергию связи нейтрона и α-частицы в ядре B¹¹;
в) энергию, необходимую для разделения ядра O¹⁶ на четыре одинаковые частицы.

№2. Неподвижное ядро франция Fr с массовым числом А = 221 претерпевает альфа-распад. Определите энергетический выход данной реакции, если кинетическая энергия образовавшегося ядра астата At равна ЕAt = 0,1184 МэВ, а его атомный номер Z = 85. При расчетах учесть движение образовавшихся ядер и считать, что скорости частиц много меньше скорости света.

№3. При реакции синтеза [pic] образуется ядро изотопа гелия и нейтрон и выделяется энергия Е = 3,27 МэВ. Какую кинетическую энергию уносит ядро изотопа гелия, если суммарный импульс исходных частиц равен нулю, а их кинетическая энергия пренебрежимо мала по сравнению с выделившейся?

№4. Ядро покоящегося нейтрального атома, находясь в однородном магнитном поле индукцией В, испытывает α-распад. При этом рождаются α-частица и тяжелый ион нового элемента. Масса α-частицы равна mα, ее заряд равен 2e, масса тяжелого иона равна M. Выделившаяся при α-распаде энергия ΔE целиком переходит в кинетическую энергию продуктов реакции. Трек тяжелого иона находится в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Начальная часть этого река напоминает дугу окружности. Найдите радиус этой окружности.

Комбинированные задачи.

№ 1. Металлическая пластина облучается светом с частотой 1,6·10¹⁵Гц. Работа выхода из данного металла равна 3,7эВ. Вылетающие из пластины электроны попадают в однородное электрическое поле напряжённостью 130В/м. Вектор напряжённости направлен перпендикулярно поверхности пластины. Какова максимальная энергия фотоэлектронов на расстоянии 10см от пластины?

Решение. Электрическое поле совершает работу по перемещению электрона А=qU. Работа поля, с другой стороны, равна изменению кинетической энергии электрона А=Ек2-Ек1. Получаем Ек2-Ек1= qU. Тогда Ек2= Ек1=+qU. Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта hv=Авых+Ек1 получаем, что Ек1= hv-Авых. Окончательно Ек2= hv-Авых+ qU., где U=Ed. Подставив данные, получаем Ек2= 4,8·10^-19Дж.

№2. Электроны, вылетевшие в положительном направлении оси Ох под действием света с катода фотоэлемента, попадают в электрическое и магнитное поля. Какой будет работа выхода с поверхности фотокатода, чтобы в момент попадания самых быстрых электронов в область полей, действующих на них, сила была направлена вдоль оси Оу в положительном направлении? Частота света 6,5·10¹⁴Гц, напряжённость электрического поля 300В/м, индукция магнитного поля 1мТл. [pic]

Решение. hv=Авых+Ек . По правилу левой руки находим, что сила Лоренца направлена влево и равна FЛ=qBv, сила Кулона направлена вправо и равна Fк=qE. Приравняв правые части формул и выразив скорость, получим, что v=Е/В. Из уравнения Эйнштейна Авых= hv-Ек., где Ек=mv/2. Подставив числовые значения, получим, Авых=2·10^-20Дж.

Реши самостоятельно.

№ 1. Фотоэлектроны, выбитые рассеянным светом частоты 6,7·10¹⁴Гц из металла с работой выхода 1,89эВ, попадают в однородное электрическое поле. Какова напряжённость поля, если длина тормозного пути у фотоэлектронов, чья начальная скорость максимальна и направлена вдоль силовых линий электрического поля, составляет 8,75мм?

№2. Фотокатод, покрытый кальцием ( Ав=4,42·10^-19 Дж), освещается светом, у которого длина волны 300 нм. Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле индукцией 8,3·10^-4 Тл перпендикулярно линиям индукции этого поля. Чему равен максимальный радиус окружности, по которой движутся электроны? Ответ выразить в мм.

№ 3. Фотокатод (работа выхода А = 4,42*10^-19Дж) освещается светом с частотой ν. Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле индукцией В=4*10^-4 Тл перпендикулярно линиям индукции и движутся по окружности, у которой максимальный радиус R=10мм. Чему равна частота падающего света?