Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики
Государственное профессиональное образовательное учреждение
«Донецкий электрометаллургический техникум»
ЦК «Металлургических дисциплин»
ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Конспект лекций
2016
Оглавление
Глава 1. Молекулярная физика и основы термодинамики 3
Основные представления молекулярно-кинетической теории 3
Масса и размеры молекул 3
Состояние системы. Процесс 3
1-е начало термодинамики 3
Работа, совершаемая телом при изменении его объёма 4
Уравнение состояния идеального газа 4
Глава 2. Кинетическая теория газов. 5
1. Уравнение для давления газа на стенки. 5
2. Распределение энергии по степеням свободы 6
3. Внутренняя энергия и теплоёмкость идеального газа 6
4. Уравнение адиабаты идеального газа 7
5. Работа, совершаемая идеальным газом 7
6. Средняя длина свободного пробега 7
Глава 3. Явления переноса 8
1. Средняя длина свободного пробега 8
2. Диффузия в газах 9
3. Вязкость газов 10
4. Теплопроводность газов 10
Глава 4. Реальные газы. Отклонение газов от идеальности. 11
Отклонение газов от идеальности 11
Уравнение Ван-дер-Ваальса 12
Экспериментальные изотермы 12
Внутренняя энергия реального газа 13
Глава 5. Основы термодинамики 14
Обратимые и необратимые процессы 14
Круговой процесс (Цикл) 15
КПД тепловой машины 15
2-е начало термодинамики 16
Цикл Карно 16
КПД цикла Карно для идеального газа. Энтропия 17
Глава 6. Твёрдые тела 18
Кристаллические и аморфные тела 18
Энергия кристаллической решётки 18
Деформация твёрдых тел 18
Пределы упругости и прочности. Пластические деформации 19
Теплоёмкость твёрдых тел 20
Глава7. Жидкое состояние. 20
Строение жидкости 20
Поверхностное натяжение 20
Давление под изогнутой поверхностью жидкости 21
Явления на границе жидкости и твёрдого тела 22
Капиллярные явления 23
Глава 8. Фазовые превращения. Диаграммы состояния. 24
Фазовые превращения 24
Диаграммы состояния 24
Библиографический список 26
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
План
Основные представления молекулярно-кинетической теории
Масса и размеры молекул
Состояние системы. Процесс
1-е начало термодинамики
Работа, совершаемая телом при изменении его объёма
Уравнение состояния идеального газа
Основные представления молекулярно-кинетической теории
В 18 веке вместо современных разделов физики - молекулярно-кинетической теории и термодинамики существовала так называемая теория теплорода. В основе её лежало представление, что количество теплорода всегда сохраняется. Природа теплорода была совершенно неясна. Серьёзным критиком теории теплорода был М.В. Ломоносов, он видел причину тепла во вращательном движении частиц вещества. Ломоносов сформулировал также принцип сохранения материи и движения.
Современная молекулярно-кинетическая теория объясняет такие понятия, как давление газа, его температура как суммарный результат хаотического движения отдельных молекул. Изучением тепловых свойств веществ занимается также термодинамика, которая в отличие от молекулярно-кинетической теории изучает макроскопические свойства тел, не интересуясь их микроскопической картиной. Однако, и молекулярно-кинетическая теория и термодинамика, по сути, являются единой теорией, взаимно дополняя друг друга.
2. Масса и размеры молекул
Современное определение атомного А (молекулярного М) веса: атомным весом химического элемента называется отношение массы атома (молекулы) к 1/12 массы атома углерода (единичной массе).
mед = 1,66 10-27 кг, масса атома = А mед , масса молекулы = М mед
Размер молекул составляет примерно 3 10-10 м. Пример: всё количество атомов в 1 см3 меди, расположенные вдоль одной линии, займёт длину около 100 расстояний Земля-Солнце.
3. Состояние системы. Процесс
Системой называется совокупность рассматриваемых тел. Пример системы – жидкость и находящийся с ней в равновесии водяной пар.
Всякая система может находиться в различных состояниях, отличающихся температурой T, давлением p , объёмом V и т.д.
4. 1-е начало термодинамики
Наряду с механической энергией направленного движения тело обладает внутренней энергией хаотического теплового движения, при котором скорости отдельных молекул и расстояния между ними непрерывно изменяются. Внутренней энергией тела называют сумму кинетической энергии хаотического движения молекул и потенциальной энергии их взаимного расположения.
Если привести в соприкосновение два тела, они смогут обмениваться энергией. Этот обмен характеризуется понятиями совершённой работы А и переданного тепла Q. Если разбить какой то процесс на ряд элементарных процессов, то будет выполняться
∆Q = ∆U + ∆A или dQ = dU + dA.
Или словами: количество теплоты, сообщённое системе, идёт на увеличение её внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами. Это и есть современная формулировка 1-го начала термодинамики.
Смысл его заключается в законе сохранения энергии с учётом энергии как внешних, так и внутренних движений.
5. Работа, совершаемая телом при изменении его объёма
[pic]
Рассмотрим газ в цилиндре с поршнем, р – давление газа. Газ стремится расшириться, перемещает поршень и, значит, совершает над ним работу.
Элементарная работа ∆A = f ∆h , но p = f / s следовательно
∆A = p s ∆h или ∆A = p ∆V , dA = p dV .
Если мы будем поддерживать p = Const в процессе расширения газа (для этого всё время подогревая газ), то A12 = p (V2 – V1) .
Если же p ≠ Const то A12 = [pic] p dV (полная площадь под кривой).
[pic]
1-е начало термодинамики можем теперь переписать так: dQ = dU + p dV
6.Уравнение состояния идеального газа
Состояние некоторой массы газа определяется значениями трёх параметров p, V, t . Из опытных данных следует, что эти параметры связаны между собой математической зависимостью, которую называют уравнением состояния данного количества газа или вообще данного тела. Известные из опытов законы (Бойля-Мариотта, Гей-Люссака) являются частными случаями уравнения состояния, когда либо t = Const, либо V = Const, либо p = Const.
В физике сейчас используют для определения температуры абсолютную температурную шкалу Кельвина.
T (в градусах Кельвина) = t (в градусах Цельсия) + 273
Нуль шкалы Кельвина называется абсолютным нулём ( t = – 273 ˚С).
Введение шкалы Кельвина позволило написать следующее из опытных данных выражение для уравнения состояния идеального газа в общем виде: p = n k T ,
где k = 1,38 10-23 дж / град – постоянная Больцмана, n – число молекул в единице объёма. Так как N = n V , где V – объём газа, а N – полное число молекул в этом объёме, то получим p V / T = N k
Из этой формулы следует важный вывод, что при данном давлении, температуре в объёме V содержится независимое от природы газа число молекул, таким образом, должна существовать какая-то константа, равная определённому числу молекул. За такую константу условились считать т.н. число Авогадро NA = 6,023 1026 (число частиц единичной массы, содержащееся в массе, равной одному килограмму). Кроме того, вводится число μ, равное М кг, то есть μ – т.н. киломоль, масса, равная молекулярному весу, выраженному в килограммах.
Тогда NA = μ / (M mед )
Таким образом в киломоле любого газа содержится число молекул, равное числу Авогадро. Тогда N = m / M mед = (m / μ ) NA . Теперь N k = (m / μ ) NA k
Величина R = NA k = 8,31 10-3 дж / (град кмоль) называется газовой постоянной.
С учётом всего этого можем записать: p V / T = (m / μ) R ,
где m масса газа, μ масса киломоля.
Это уравнение называется уравнением Менделеева-Клапейрона.
Если взять количество газа с массой, равной одному киломолю (то есть m = μ), то тогда уравнение состояния выглядит так: p Vкм / T = R
Это уравнение называется уравнением Клапейрона, исторически оно было получено раньше уравнения Менделеева-Клапейрона.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ.
План
Уравнение для давления газа на стенки.
Распределение энергии по степеням свободы
Внутренняя энергия и теплоёмкость идеального газа
Уравнение адиабаты идеального газа
Работа, совершаемая идеальным газом
Средняя длина свободного пробега
1. Уравнение для давления газа на стенки.
Согласно кинетической теории газ – совокупность одинаковых, хаотически движущихся, не взаимодействующих друг с другом на расстоянии молекул. В основном молекулы движутся свободно, только иногда сталкиваясь, друг с другом, или со стенками сосуда. Размеры молекул малы по сравнению с расстояниями между ними. Это и есть модель идеального газа.
Изобразим схему движения молекул в разных направлениях:
[pic]
Из N молекул, содержащихся в данном объёме, по каждому из 6-ти направлений движется 1/6 часть N. Пусть по нормали к одному направлению есть стенка с площадью ∆S. Будем считать, что скорости молекул одинаковы. Каждая молекула при упругом ударе со стенкой меняет направление своего движения на обратное, таким образом, она отдаёт стенке импульс ∆ m v = 2 m v. За время ∆t до площадки ∆S долетят все молекулы из элементарного объёма на рисунке, движущиеся по оси х:
∆N = (1/6) n (v ∆t) ∆S , n – плотность молекул. При этом переданный импульс ∆p = 2 mv ∆N = (1/3) mv nv ∆t∆S и по закону Ньютона сила, действующая на стенку f = ∆p / ∆t = (1/3) n mv2 ∆S. Тогда для давления получим pдавл = f / ∆S = (1/3) n mv2 . Но mv2/2 – это кинетическая энергия молекулы, значит: pдавл = (2/3) n εk .
Заметим, что при строгом выводе надо брать средние значения скорости и кинетической энергии, поэтому: pдавл = (2/3) n εk ср
Сравнивая с p = n k T , получаем: εk ср = (3/2) k T
Итак, абсолютная температура газа пропорциональна средней кинетической энергии одной молекулы.
Или иначе: m v2/2 = (3/2) k T v2 = 3 k T / m
Корень квадратный из v2 называется средней квадратичной скоростью. Таким образом: vср. кв = [pic]
Если имеется смесь разных газов, то их температура одна и та же, значит: p = (n1 + n2 + n3 + ......... + ni) k T = p1 + p2 + p3 +.......+ pi .
Это утверждение является законом Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, образующих смесь.
2. Распределение энергии по степеням свободы
Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано движение системы. Если рассматривать атомы, как материальные точки, то они могут двигаться только поступательно, в трех различных направлениях, соответствующих осям координат. Говорят, что одноатомные молекулы имеют три степени свободы. Для многоатомных молекул нужно ещё учесть вращения относительно осей вращения, а также колебания отдельных атомов молекулы. В кинетической теории газов предполагается полная хаотичность движения, причём любых видов движения. При взаимных столкновениях молекул происходит обмен их энергиями (поступательной во вращательную, колебательную, и наоборот). Таким путём устанавливается равновесие средних энергий разных видов движений.
То есть, на каждую степень свободы должно приходиться в среднем одно и то же количество энергии.
Какое же это значение? Мы видели, что для поступательных движений кинетическая энергия молекулы это εk = (3/2) k T , значит εстеп = (1/2) k T, и средняя энергия молекулы ε = (i/2) k T, где i – число степеней свободы молекулы.
3. Внутренняя энергия и теплоёмкость идеального газа
Для внутренней энергии одного киломоля μ какого либо газа, то есть сумме энергий всех молекул, получим: Uкм = NА ε = [pic] NА k T = [pic] R T
Для U произвольной массы газа m получим: U = [pic] Uкм = [pic] [pic] R T
Теперь определение теплоёмкости: теплоёмкостью тела называется количество тепла dQ, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус.
Таким образом, Стела = dQ/dT дж / град.
Найдём теплоёмкость киломоля газа. Тут нужно иметь в виду два случая: 1) постоянный объём V = Const .
Из 1-го начала: dQV = dU + p dV = dU , следовательно Cv = dU/dT или Cv = [pic] R, соответственно теперь Uкм = Cv T.
2) постоянное давление dQp = dU + p dV
Cp = dU/dT + p (d V/dT) = CV + p (d V/dT)
Но из уравнения состояния (для киломоля): pV/T = R
Значит (dV/dT)p = R/p и Cp = CV + R (уравнение Майера)
Так как Cv = [pic] R то Cp = ( [pic] +1) R = R (i + 2) / 2
4. Уравнение адиабаты идеального газа
Адиабатический процесс это такой процесс, когда не происходит теплообмена системы с внешней средой. То есть dQ = 0
Из первого начала термодинамики получим:
0 = dU + p dV = [pic] [pic] dT + p dV = [pic] CV dT + p dV, но
p = [pic] [pic] значит 0 = CV dT + [pic] dV или
dT/T + [pic] dV/V = 0 d (lnT + [pic] lnV) = 0
Значит: ln T + [pic] lnV = Const
R = Cp – CV [pic] = [pic] = [pic] – 1 = γ – 1
Здесь мы обозначили γ = [pic] = (i + 2) / i
γ - так называемый показатель адиабаты.
Теперь напишем: ln T + (γ – 1) lnV = ln T + (lnV)γ -1 = Const
Следовательно, T V γ -1 = Const
Это и есть уравнение адиабаты. Из уравнения состояния
T = [pic] ∙ [pic] ~ pV
Тогда pV ∙ V γ -1 = Const или p V γ = Const
В таком виде уравнение адиабаты называют уравнением Пуассона.
5. Работа, совершаемая идеальным газом
При изменении объёма от V1 до V2 газ совершает работу, которая вычисляется по формуле: A12 = [pic] p dV , где p зависит от V . Рассмотрим несколько случаев:
1) Давление постоянно – изобарический процесс ( p = Const).
A12 = [pic] p dV = p (V2 – V1 )
2) Объём не меняется - изохорический процесс (V = Const).
A12 = [pic] ∫ p dV = p (V2 – V1 ) = 0 ( Сила есть, а перемещения – нет)
3) Температура постоянна – изотермический процесс (T = Const).
A12 = [pic] p dV = [pic] pV [pic] = RT [pic] [pic] = [pic] RT ln [pic]
4) Нет теплообмена со средой - адиабатический процесс (dQ = 0).
Можно написать p V γ = p1 V1γ , где p1 и V1 - значения давления и объёма в начале процесса. Тогда
A12 = [pic] p dV = [pic] p1 (V1 / V)γ d V = p1 V1γ [pic] [pic] =
= p1 V1 γ [pic] V -γ+1 [pic] = [pic] ( [pic] – [pic] ) =
= [pic] [pic] [1 – (V1/ V2)γ-1] = [pic] [1 – (V1/ V2)γ-1]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
План
Средняя длина свободного пробега
Диффузия в газах
Вязкость газов
Теплопроводность газов
1. Средняя длина свободного пробега
Как мы уже знаем, молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, а между столкновениями свободно пролетают какое то расстояние, разное для каждой молекулы. Найдём среднюю величину такого свободного полёта, т.н. среднюю длину свободного пробега.
Пусть молекула – шар радиуса r, который движется со скоростью v.
[pic]
Тогда при своём движении молекула столкнётся (по крайней мере, зацепит) все молекулы, лежащие внутри цилиндра радиусом R = 2r. За время t молекула пролетит путь vt и заденет ν = 4πr2vnt молекул (n плотность молекул в газе). Это – результат приближённого расчёта, точный расчёт даёт ν = 4 [pic] πr2 vnt.
Среднюю длину свободного пробега получим, поделив путь на число соударений:
λ = vt / ν = [pic] .
Величину 4 πr2 обычно называют эффективным поперечным сечением молекулы σ. Тогда λ = [pic]
Так как n ~ p /kT то λ ~ 1/p , то есть длина свободного пробега возрастает с уменьшением давления. Для атмосферного давления можно подсчитать λ, она равна 10 -5 см. Если же откачать воздух из сосуда до давления 10 -7 атмосферного (это легко достигается при помощи современных насосов), то λ будет около 100 см. То есть, молекулы в сосуде свободно летают от стенки к стенке, несмотря на то, что число частиц в единице объёма при таком давлении будет составлять 1012.
2. Диффузия в газах
Предположим, что мы в этой комнате, в углу открыли баллон с азотом, значит тут – азот, а везде – воздух. Что произойдёт дальше? Молекулы азота будут сталкиваться с молекулами кислорода и по сложным и запутанным траекториям постепенно разлетятся на всю комнату, равномерно размешавшись с другими молекулами.
Из опытов было известно, что при таком процессе диффузии выполняется следующий закон для количества газа dM, переносимого при диффузии через площадку ds за время dt в направлении x, то есть в направлении, вдоль которого имеется изменение плотности ρ газа, то есть dρ/dx:
dM = – D (dρ/dx) ds dt (закон Фика)
[pic]
D называют коэффициентом диффузии. Знак минус означает, что газ переносится в сторону убывания плотности. Подсчитаем теперь D, исходя из представлений кинетической теории.
[pic]
Выберем элементарные объёмы А и В, находящиеся на расстоянии λ справа и слева от площадки ∆S Это означает, что молекулы пролетают до ∆S без столкновений.
nA = n′0 ℓ3 nB = n′′0 ℓ3
Значит из А вправо летит 1/6 nA, время до их пролёта через ∆S δt = ℓ / v. И значит за единицу времени
∆ nA = 1/6 nA/t =1/6 nA v /ℓ = 1/6 n′0 ℓ2 v = 1/6 n′0 v ∆S
И точно также из кубика В слева ∆nB = 1/6 n′′0 v ∆S. И разность за время ∆t (!) ∆n = 1/6 v (n′0 – n′′0 ) ∆S ∆t .
Можно написать: n′′0 – n′0 = 2λ ∆n0 / ∆x = 2λ dn0/dx
Сравнивая, получим: ∆n = – 1/3 vλ (dn0/dx) ∆S ∆t
если умножить на массу молекулы, получаем:
dM = – 1/3 vλ (dρ/dx) dS dt
Сравнивая с первоначальной формулой, видим D = 1/3 vλ
если подставить выражения для v и λ, то D ~ [pic] .
Итак D ~ 1/p .
3. Вязкость газов
При движении слоёв газа по отношению друг к другу между ними возникают силы, которые заставляют более медленный слой двигаться быстрее.
[pic]
Пример: вращая внутренний цилиндр, мы заставляем вращаться и внешний цилиндр.
Для силы внутреннего трения также был установлен ранее опытный закон: f = η (du/dz) dS (закон Ньютона)
[pic]
где η – коэффициент вязкости. Приведём без вывода формулу.
η = 1/3 ρ v λ
Так как λ ~ 1/ n σ v ~ [pic]
то: η ~ nm [pic] ∙ [pic] ~ [pic]
то есть не зависит от давления p. Эта зависимость хорошо подтверждается при сравнении с опытными данными по измерению вязкости газов.
4. Теплопроводность газов
Из опытных данных известно, что если в какой либо среде существует изменение Т вдоль какого то направления, то вдоль этого направления устанавливается поток тепла
dQ = – [pic] (dT/dx) dS dt (закон Фурье)
[pic] – коэффициент теплопроводности, знак минус означает, что тепло течёт в направлении убывания температуры. Приведём без вывода формулу [pic] = 1/3 ρ v λ cV,
где cV = CV /μ называется удельной теплоёмкостью при постоянном объёме.
Таким образом, с помощью кинетической теории мы получили формулы для коэффициентов диффузии, вязкости и теплопроводности. Эти коэффициенты обычно называют коэффициентами переноса.
D = 1/3 v λ η = 1/3 ρ v λ [pic] = 1/3 ρ v λ cV
Из сравнения видим, что
η = D ρ [pic] = η cV [pic] = D ρ cV
Эти зависимости хорошо подтверждаются данными опытов.
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. ОТКЛОНЕНИЕ ГАЗОВ ОТ ИДЕАЛЬНОСТИ.
План
Отклонение газов от идеальности
Уравнение Ван-дер-Ваальса
Экспериментальные изотермы
Внутренняя энергия реального газа
1. Отклонение газов от идеальности.
Как мы знаем, уравнение состояния идеального газа имеет вид [pic] RT . Реальные газы хорошо подчиняются этому уравнению. Но! Всё это хорошо, если давления газа не очень велики, так что между молекулами остаётся достаточно места, чтобы они могли свободно летать. Из уравнения состояния идеального газа следует, что при большом давлении объём газа должен стремиться к нулю. Ясно, что для реального газа так не может быть, так как сами молекулы должны занимать какой то объём, хоть он и мал.
Второе. До сих пор мы считали, что молекулы не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, (то есть между ними не действуют никакие силы), за исключением моментов, когда они сталкиваются друг с другом. На самом же деле опыт показывает, что между молекулами на больших расстояниях действуют силы притяжения, которые на малых расстояниях превращаются в силы отталкивания. На рисунке это можно изобразить так:
[pic]
Обычно принято рассматривать зависимость от расстояния потенциальной энергии взаимодействия молекул. Тогда силу можно получить из формулы f = – ∂ εp / ∂ r = – grad εp.
Наглядно это можно представить, вспомнив картинку с изогнутой проволокой и шариком, скользящим вдоль неё. Полная энергия всё время сохраняется ε = εk + εp, нужно только иметь в виду, что εp < 0 ниже оси х и εp > 0 выше оси, то есть мы считаем нулём потенциальной энергии, когда молекулы находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга.
2.Уравнение Ван-дер-Ваальса
Ван-дер-Ваальс предложил удобную и простую формулу для уравнения состояния реальных газов. В его формуле учитываются и конечный объём молекул и силы притяжения между ними. Формула приводится для киломоля, то есть m = μ . V = Vkm
Реальный газ (p + a/V2 ) (V – b) = R T
Идеальный газ pV = R T
Мы видим, что в уравнении Ван-дер-Ваальса появились поправки b и a/V2 . b – это суммарный объём, занимаемый молекулами, содержащимися в киломоле газа. То есть получается, что реальный газ не может быть сжат при очень большом давлении до V = 0, а сожмётся лишь до величины b , что вполне понятно.
Теперь рассмотрим поправку a/V2. Мы знаем, что давление газа на стенку сосуда p ~ n ~ N/V . Для реального газа нужно учесть силы притяжения между молекулами, на слой газа вблизи стенки будут действовать силы притяжения от следующего, ближайшего, слоя газа. (Так как силы притяжения быстро убывают с расстоянием, то действие более дальних слоёв можно не рассматривать). Сила притяжения между молекулами в этих двух слоях пропорциональна концентрации молекул в обоих слоях, это притяжение эквивалентно возникновению «внутреннего» давления p′ ~ (N/V) (N/V) . То есть можно написать p′ = a/V2.
Рассмотрим теперь, как выглядят изотермы согласно уравнению Ван-дер-Ваальса.
[pic]
При достаточно высоких температурах уравнение практически не отличается от уравнения для идеального газа. При понижении температуры, начиная с какой то T появляются перегибы на изотермах. При Т = Tk V1 , V2 , V3 сливаются в одну точку К, которая называется критической точкой. В точке К должны обратиться в ноль первая и вторая производные dp/dV и d2 p / dV2
Найдя эти производные из уравнения Ван-дер-Ваальса и приравнивая их нулю можно получить следующие значения для давления, объёма и температуры в точке К:
Vk = 3 b pk = [pic] Tk = [pic]
Из последних выражений следует: pk Vk = (3/8) R Tk
3. Экспериментальные изотермы
Чтобы получить экспериментальную изотерму в реальных условиях нужно взять цилиндр с газом и, медленно сжимая его поршнем, следить за изменением давления по мере уменьшения объёма, который занимает газ, и одновременно поддерживать T = Const . Результаты такого опыта для СО2 :
Оказывается, что перегибы не осуществляются, вместо этого в области V1….V3 при переходе от V3 к V1 происходит постепенное превращение газообразной (V > V3 ) углекислоты в жидкость ( V < V1 ). При V1 < V < V3 часть вещества – газ, а часть – жидкость. Если построить опытные изотермы для разных температур, то получится следующая картина:
[pic]
Мы можем изобразить разные фазы вещества следующим образом.
[pic]
Таким образом, при T > Tk ни при каком сжатии газа нельзя перевести его в жидкое состояние.
В заключение ещё несколько слов. У нас вроде бы получилось, что перегибы на опыте не наблюдаются, значит, Ван-дер-Ваальс не прав? Однако оказывается в определённых условиях перегибы можно наблюдать, в этих условиях вещество находится в неустойчивых состояниях пересыщенного пара и перегретой жидкости. Эти неустойчивые фазы легко распадаются, и перегибы исчезают, наблюдается ровная площадка, где p = Const .
4. Внутренняя энергия реального газа
Как мы знаем, внутренняя энергия идеального газа является суммой кинетических энергий всех молекул газа и равна:
Uкм = CV T (для одного киломоля).
В реальном газе, как мы видели, значительную роль играют силы взаимодействия между молекулами. Поэтому U = Ek + Ep , где Ep – потенциальная энергия взаимодействия молекул. Так как силы между молекулами зависят от расстояния между ними, то Ep должна зависеть от объёма газа. Найдём эту зависимость. При растяжении пружины работа сил растяжения идёт на увеличение потенциальной энергии растянутой пружины. Точно так же и для реального газа – если его расширить, то работа против внутренних сил идёт на увеличение внутренней энергии.
То есть: d A = pi d Vкм где pi = a / V2км -– внутреннее давление. Тогда: d Ep = d A = pi d Vкм = (a / V2км ) d Vкм . Отсюда: Ep = – a / Vкм + Const
Const = 0 , так как при Vкм → ∞ Ep → 0 .
Окончательно имеем: Uкм = CV T – a / Vкм
Итак, внутренняя энергия реального газа растёт при увеличении его объёма.
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
План
Обратимые и необратимые процессы
Круговой процесс (Цикл)
КПД тепловой машины
2-е начало термодинамики
Цикл Карно
КПД цикла Карно для идеального газа. Энтропия
Как мы уже говорили, термодинамика в отличие от молекулярно-кинетической теории не рассматривает микроскопическую картину явлений, а изучает в основном макроскопические свойства веществ. Так же, как и другие разделы физики, термодинамика – опытная наука, она опирается в своих выводах только на опытные данные.
Обратимые и необратимые процессы
Процесс называется обратимым, если при совершении его системой сначала в прямом, а затем в обратном направлении, как сама система, так и все внешние тела, с которыми система взаимодействовала, возвращаются в исходное состояние. Хорошими примерами обратимых процессов являются любые механические движения при отсутствии сил трения: качание маятника, колебание пружины с грузом и так далее. Примеры необратимых процессов – предыдущие, если учесть силы трения. Силы трения переводят часть первоначальной энергии механической системы в тепло, то есть в хаотическое движение молекул, которое уже не может снова превратиться в энергию направленного движения.
Примеры: 1) летящая пуля тормозится о воздух и останавливается, воздух по пути нагревается, ясно, что этот процесс обратить нельзя.
2) расширение газа в соседний объём.
Газ перегородка с клапаном
[pic]
Ясно, что газ перетечёт вправо, но обратно его вернуть нельзя.
3) соприкосновение двух тел с разной температурой
[pic]
Ясно, что температуры выравняются, но обратный процесс произойти не сможет.
Круговой процесс (Цикл)
Пример кругового процесса
[pic]
Переводим систему из точки 1 в точку 2, а затем обратно по другой кривой. Из построения ясно, что работа, совершаемая при круговом процессе (цикле), равна площади, охватываемой замкнутой кривой. Ясно, что A > 0 при движении по часовой стрелке и A < 0 при обратном движении.
3. КПД тепловой машины
Всякий двигатель (паровая машина, внутреннего сгорания, турбина самолёта и т. д.) представляет собой тепловую машину, систему, которая многократно совершает какой-то круговой процесс.
[pic]
За счёт чего совершается работа при выполнении цикла? При переходе из точки 1 в точку 2 процесс происходит при большем среднем давлении, следовательно, при большей температуре, при переходе из 2 в 1 – при меньшем давлении и при меньшей температуре. Для того, чтобы выполнялось Т1→2 > T2→1 , нужно при 1 – 2 сообщать системе тепло, а при 2 – 1 отнимать у системы тепло.
Напишем 1-е начало термодинамики для двух частей цикла:
1 – 2 Q1 = U2 – U1 + A1
2 – 1 – Q2 = U1 – U2 + A2
Складывая эти уравнения, получим Q1 – Q2 = A1 + A2 = A
Итак, работа совершается за счёт тепла Q1 – Q2 . Но часть тепла возвращается во внешнюю среду, следовательно, КПД
η = A /Q1 = [pic] < 1
4. 2-е начало термодинамики
Как мы видели из примеров по необратимым процессам, 1-е начало термодинамики, то есть закон сохранения энергии, не может полностью описывать все явления, так как оно не запрещает обратного протекания необратимых процессов.
Поэтому было сформулировано полученное опытным путём так называемое 2-е начало термодинамики, которое обычно формулируют так:
а) невозможен процесс, единственным результатом которого является передача энергии в форме теплоты от тела менее нагретого к более нагретому телу.
или
б) невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение всей теплоты, полученной от некоторого тела, в эквивалентную ей работу (это и означает, что коэффициент полезного действия η < 1 !) .
2-е начало термодинамики утверждает, что процесс преобразования упорядоченного движения тела в хаотическое движение частиц самого тела и внешней среды является необратимым процессом.
5. Цикл Карно
Не следует думать, что все тепловые процессы обязательно необратимы. Приведём два важных примера обратимых тепловых процессов – адиабатический и изотермический процессы.
1) адиабатическое сжатие и расширение. При этом процессе нет теплообмена с окружающей средой ∆Q = 0, и значит ∆A = – ∆U , работа совершается за счёт изменения внутренней энергии газа, таким образом, после сжатия расширение полностью возвращает газ в исходное состояние и во внешней среде никаких изменений не происходит.
2) изотермическое сжатие и расширение. Вообще говоря, такой процесс необратим, так как образующееся при сжатии тепло безвозвратно утекает через стенки цилиндра. Однако если предположить, что перепад температур через стенку бесконечно мал, а процесс происходит очень медленно, то изотермический процесс можно считать приближённо почти обратимым процессом.
Исходя из этого, Карно предложил обратимый круговой процесс, состоящий из двух изотерм (1 – 2, 3 – 4) и двух адиабат (2 – 3, 4 – 1).
[pic]
(1 – 2) Контакт с нагревателем, (2 – 3) изолировано,
(3 – 4) Контакт с холодильником, (4 – 1) изолировано.
Можно показать, что КПД цикла Карно всегда выше КПД любого необратимого цикла. В этом ценность кругового цикла Карно.
6. КПД цикла Карно для идеального газа. Энтропия
η = (Q1 – Q2) / Q1 Q1 – тепло, получаемое от нагревателя
Q2 – тепло, отданное холодильнику
1 – 2 изотерма U = Const , поэтому Q1 = работе, совершенной газом. Следовательно: Q1 = A12 = [pic] R T1 ∙ ln (V2 / V1)
Q2 = A34 = [pic] R T2 ∙ ln (V3 / V4)
Точки 1 и 4 на адиабате T1 (V1)γ-1 = T2 (V4)γ-1
Точки 2 и 3 T1 (V2)γ-1 = T2 (V3)γ-1
Деля одно на другое, получим: V2 / V1 = V3 / V4
Далее
η = [pic]
Значит, η = (T1 – T2) / T1
Итак, (Q1 – Q2) / Q1 = (T1 – T2) / T1 , тогда 1 – Q2 / Q1 = 1 – T2 / T1 , значит Q2 / Q1 = T2 / T1 и Q2 / T2 = Q1 / T1 (для цикла Карно, являющегося, как мы говорили, обратимым). Отношение Q/ T называют приведённым количеством теплоты.
Следуя основателю термодинамики Клаузиусу, приближённо можно назвать это отношение энтропией (более точное определение энтропии будет приведено далее):
S ≈ Q / T (точнее по Клаузиусу ∆S = ∆Q / T )
КПД необратимой тепловой машины всегда меньше КПД обратимого цикла Карно, потому что в необратимых процессах происходит безвозвратная потеря тепла.
Поэтому можем написать:
ηнеобр = (Q1 – Q2) / Q1 = 1 – Q2 / Q1 < ηобр = 1 – T2 / T1
Значит Q2 / Q1 > T2 / T1 , отсюда Q2 / T2 > Q1 / T1 .
Итак, мы получили важный вывод: для необратимого процесса энтропия возрастает, а для обратимого – остаётся неизменной.
Более строгое современное определение энтропии: при переходе системы из состояния А в состояние В энтропия изменяется по следующей зависимости: SВ – SА = [pic] dQ / T .
Таким образом, мы получили ещё одну формулировку второго начала термодинамики: при любых процессах, протекающих в замкнутой макроскопической системе, ее энтропия не убывает.
Нернст предложил следующую теорему: энтропия всякого вещества при температуре абсолютного нуля равна нулю.
Это утверждение называют третьим началом термодинамики.
ТВЁРДЫЕ ТЕЛА
План
Кристаллические и аморфные тела
Энергия кристаллической решётки
Деформация твёрдых тел
Пределы упругости и прочности. Пластические деформации
Теплоёмкость твёрдых тел
1. Кристаллические и аморфные тела
Твёрдые тела разделяются на два типа, существенно отличающиеся друг от друга по своим свойствам:
1) кристаллические и 2) аморфные.
Основным признаком кристаллического состояния вещества является наличие анизотропии – однородное тело в различных направлениях обладает различными свойствами (различны механические, оптические, электрические свойства кристаллов). Характерный признак кристалла – его правильная геометрическая форма. Пример – снежинки, узоры льда на стекле.
Аморфные же твёрдые тела изотропны, то есть они обладают во всех направлениях одинаковыми свойствами.
2. Энергия кристаллической решётки
Потенциальная энергия кристаллической решётки может быть представлена в виде кривой, похожей на аналогичную кривую для реального газа (с учётом взаимодействия молекул между собой).
[pic]
Значению r0 соответствует наиболее глубокое место потенциальной ямы, величина r0 определяет расстояние между частицами в кристалле. Вблизи положения равновесия каждая частица может совершать небольшие колебания, не выходя за пределы потенциальной ямы. К таким колебаниям сводится тепловое движение в кристаллах. На этом же рисунке приведена зависимость силы взаимодействия между частицами в кристалле. Как мы знаем, сила связана с потенциальной энергией формулой f = – [pic]
3. Деформация твёрдых тел
Под влиянием внешних сил всякое твёрдое тело деформируется, то есть изменяет свою форму. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Пример – растянутая пружина принимает свою прежнюю длину после прекращения действия силы. С изменением знака силы меняется и знак упругой деформации, (растягивающая сила удлиняет пружину, сжимающая сила укорачивает её). По закону, установленному Гуком, величина деформации ∆x пропорциональна действующей силе f:
∆x = K f
Где K – постоянная величина для данной деформации данного твёрдого тела. Рассмотрим простейшую деформацию продольного растяжения или сжатия. Возьмём однородный стержень длиной L, с площадью поперечного сечения S, к которому приложена сила f, в результате чего длина стержня меняется на величину ∆L. Растягивающую силу считаем положительной, сжимающую – отрицательной.
[pic]
Для характеристики деформации существенно не абсолютное значение удлинения стержня ∆L , а относительное удлинение ∆L / L . Из опытов следует следующая зависимость:
∆L / L = α f / S
Здесь α – так называемый коэффициент упругости, зависящий только от материала, из которого сделан стержень. Вводится также обозначение p = f / S , р называется усилием. Тогда:
∆L / L = α р
Наряду с коэффициентом упругости принято характеризовать материал обратной величиной
E = 1 / α
Е называется модулем упругости, или модулем Юнга.
4. Пределы упругости и прочности. Пластические деформации
Всякое твёрдое тело даёт деформации, подчиняющиеся закону Гука лишь до известного предела. При упругой деформации, после прекращения действия внешней силы, деформация полностью пропадает, то есть тело принимает прежние размеры. Однако при значениях усилия, превышающих так называемый предел упругости pe, наступает иной тип деформации – пластической деформации, не пропадающей полностью после прекращения действия силы.
[pic]
Если при достижении некоторой точки c, лежащей в области пластической деформации, начать уменьшать усилие р до нуля, то тело не вернётся в исходное состояние, тело сохранит остаточную деформацию d.
При всё увеличивающемся усилии можно достичь разрушения тела, соответствующее значения усилия называется пределом прочности.
5. Теплоёмкость твёрдых тел
Запас внутренней энергии твёрдого тела представляет собой запас энергии колебаний частиц, из которых оно построено, а также их взаимной потенциальной энергии. Для определения средней энергии колебаний частицы надо принять во внимание, что она обладает запасом как кинетической, так и потенциальной энергии. На каждый из видов этой энергии в среднем приходится одинаковая энергия, то есть
ε = 2 εk но εk = (i / 2) k T = (3 / 2) kT
следовательно, ε = 2 εk = 3 k T
Полный запас энергии одного киломоля твёрдого тела будет
Uкм = NA 3 k T = 3 R T
Следовательно, C = d U / d T = 3 R
Для твёрдых тел, обладающих малым коэффициентом теплового расширения, теплоёмкости при постоянном объёме и постоянном давлении практически не различаются.
7.ЖИДКОЕ СОСТОЯНИЕ.
План
Строение жидкости
Поверхностное натяжение
Давление под изогнутой поверхностью жидкости
Явления на границе жидкости и твёрдого тела
Капиллярные явления
1.Строение жидкости.
Итак, мы с вами знаем, что в кристаллическом состоянии отдельные атомы и молекулы довольно жёстко привязаны к определённым местам – к минимумам их потенциальной энергии взаимодействия. При нагревании атомы колеблются всё сильнее вокруг положения равновесия, кристалл расширяется. При дальнейшем нагревании кристалл превращается в жидкость, которая уже сохраняет не свою форму, а форму сосуда, в который она налита.
При ещё большем нагреве жидкость превращается в парообразное или газообразное состояние – когда каждая молекула летает независимо одна от другой, хаотически меняя своё место.
Возникает вопрос, как движутся молекулы в жидкости? Было предположено, а затем и доказано при просвечивании жидкости лучами Рентгена, что молекулы в жидкости ведут себя следующим образом: они часть времени колеблются в потенциальных ямах, так же как и в твёрдом теле, но другую часть времени свободно летают, переходя к следующей потенциальной яме, где снова находятся какое то время.
2. Поверхностное натяжение
Как мы видели при рассмотрении уравнения Ван-дер-Ваальса, силы притяжения между молекулами реального газа приводят к появлению поправки к давлению, или внутреннему давлению газа. Точно такое же явление, только ещё более сильное наблюдается в жидкости. Выделим в жидкости одну молекулу А, она испытывает силы притяжения со стороны всех остальных молекул. Эти силы быстро убывают с расстоянием, поэтому приближённо можно считать, что внутри какого то радиуса r вокруг молекулы нужно учитывать силы притяжения, а вне его – не нужно. Такое значение r называют радиусом молекулярного действия. Так как остальные молекулы расположены симметрично относительно рассматриваемой молекулы, то на неё нет направленного действия в какую либо сторону.
[pic]
Однако, рассмотрим теперь, что будет с молекулой В, которая находится вблизи поверхности. Легко понять, что на неё будет действовать нескомпенсированная сила, направленная внутрь жидкости. Итак, получается, что поверхностный слой жидкости оказывает на всю жидкость давление. Это давление называется молекулярным давлением. Величину этого давления можно определить, вычислив поправку на внутреннее давление в уравнении Ван-дер-Ваальса. Она оказывается равной около десяти тысяч атмосфер (!). Итак, жидкость очень сильно сжата молекулярным давлением, именно этим объясняется очень малая сжимаемость жидкости. Поэтому также малые капли жидкости имеют сферическую форму. То же самое наблюдается и для больших количеств жидкости в отсутствие сил тяжести (на космических кораблях).
Молекулярное давление формально может быть объяснено наличием поверхностного натяжения, стремлением к уменьшению поверхности данной массы жидкости, как если бы поверхность жидкости представляла собой растянутую плёнку, стремящуюся сжаться. Представим, что имеется часть такой растянутой плёнки, которая стремится сжаться, у неё имеется жёсткая граница АВ (кусок проволоки, например).
[pic]
Плёнка тянет границу АВ влево, и чтобы АВ осталось в покое, нужно приложить по касательной к поверхности жидкости силу f, равную, как следует из опытов, f = α ℓ , где ℓ - длина АВ, α – коэффициент поверхностного натяжения, f – сила поверхностного натяжения.
Примеры: 1) На поверхность жидкости можно аккуратно положить иголку или лезвие безопасной бритвы и они не будут тонуть, так как поверхностная плёнка прогнётся и выдержит их вес. 2) При бросании плоского камня вдоль поверхности воды он не тонет, а прыгает, делая «блинчики». 3) Жуки-водомерки бегают по поверхности воды и не тонут.
3. Давление под изогнутой поверхностью жидкости
До сих пор мы считали поверхностную плёнку жидкости плоской. Теперь представим, сто она изогнута.
[pic]
Так как плёнка стремится сократиться, как растянутая резина, ясно, что в случае а) плёнка оказывает положительное добавочное давление на жидкость, а в случае б) – отрицательное добавочное давление. Найдём величину этого добавочного давления.
[pic]
Пусть мы имеем часть выпуклой поверхности жидкости в виде части сферы. Тогда на каждый элемент ∆ℓ действует сила по касательной к поверхности ∆F = α ∆ℓ . Разложим силу на составляющие, тогда ∆F1 = ∆F Sin β ∆F2 = ∆F Cos β
Сумма всех сил Σ ∆F2 = 0 , а сумма всех сил ∆F1 равна:
F = Σ ∆F1 = Σ ∆F Sin β = Σ α ∆ℓ (r / R) = α (r / R) Σ ∆l = α 2 π r2 / R
Эта сила прижимает сегмент по площади π r2, значит
∆p = F / (π r2 ) = α 2π r2 / (π r2 R) = 2α / R
Вот эту формулу мы и хотели получить. Совершенно ясно, что для вогнутой поверхности будет ∆p = – 2α / R
В общем случае, когда, например, поверхность имеет двоякую кривизну (седлообразная поверхность) можно написать общую формулу: ∆p = α (1 / R1 + 1 / R2)
[pic]
Эта формула называется формулой Лапласа. Нужно учитывать только, что в этом случае R1 > 0 R2 < 0
Из формулы Лапласа тогда вытекают, как частные случаи, формулы для выпуклой ∆p = 2α / R и вогнутой ∆p = – 2α / R поверхностей.
4. Явления на границе жидкости и твёрдого тела
На границе раздела жидкости и твёрдого тела нужно учитывать силы взаимодействия между молекулами жидкости и твёрдого тела. Здесь возможны два случая: 1) Силы между молекулами жидкости больше сил между молекулами жидкости и твёрдого тела, это случай несмачивания жидкостью твёрдого тела.
[pic]
θ – краевой угол. 2) Случай смачивания жидкостью твёрдого тела, силы между молекулами жидкости и твёрдого тела больше сил взаимодействия между молекулами самой жидкости.
[pic]
Пример – вода смачивает чистую поверхность стекла, но не смачивает парафин (свечка). Ртуть не смачивает стекло, но смачивает поверхность железа.
5. Капиллярные явления
Если жидкость находится в узкой трубке, то её поверхность при несмачивании выпуклая, а при смачивании – вогнутая.
[pic]
Причём в первом случае а) и втором б) общая картина выглядит так:
[pic]
Высоту опускания или поднятия жидкости по узкой трубке можно рассчитать следующим образом: p = 2 α / R = ρ g S h / S = ρ g h - давление столба воды
[pic]
Равновесие наступает тогда, когда по формуле Лапласа давление под изогнутой поверхностью становится равным давлению поднятого столба жидкости. Из рисунка видно, что R = r / Cos θ
Тогда ρ g h = 2 α / R = 2 α Cos θ / r
Значит h = 2 α Cos θ / (r ρ g)
Из этой формулы следует увеличение подъёма с уменьшением радиуса капилляра. Пример – вода при диаметре капилляра 1 микрон поднимется на 30 метров (!).
Описанное явление называется капиллярностью. Оно играет большую роль в природе и технике. Вода поднимается к корням, затем к вершинам деревьев из глубины за счёт явления капиллярности. Простой, хотя и несколько устаревший пример из области техники – горение фитилей в свечах и керосиновых лампах.
8. ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ. ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЯ.
План
Фазовые превращения
Диаграммы состояния
Фазовые превращения
Что такое термодинамическое понятие фазы легко понять на примере льда, воды и водяного пара – это различные фазы одного химического вещества H2O . Ясно, что для осуществления той или иной фазы нужно изменить такие параметры как давление, объём, температура. Понятие о фазах мы уже вводили, рассматривая уравнение состояния реального газа – уравнение Ван-дер-Ваальса. О фазах мы говорили при рассмотрении экспериментальных изотерм реального газа.
[pic]
Как мы уже знаем, для экспериментальных изотерм изгибы не осуществляются, а наблюдается фазовый переход при постоянном давлении, слева – жидкость, справа – пар, внутри находятся в равновесии жидкость и насыщенный пар. Неизменяющееся при фазовом переходе давление называется давлением насыщенного пара.
2. Диаграмма состояния
На следующем рисунке представлена следующая из опытных данных диаграмма состояния для какого либо вещества.
[pic]
Область I это область существования твёрдого тела, область II это жидкое состояние и область III – область парообразного состояния. Точка Т называется тройной точкой, точка К – уже известная нам критическая точка. Рассмотрим пример: Если мы начнем нагревать лёд (твёрдая фаза воды) при постоянном давлении выше давления в тройной точке, то сначала лёд превратится в воду при пересечении так называемой кривой плавления ТM, при дальнейшем повышении температуры вода начнёт испаряться при пересечении кривой ТК. Всё это прекрасно известные явления. Если же давление будет ниже ptr то жидкое состояние не может существовать, могут быть только две фазы – твёрдая и газообразная – пар. Они поделены между собой так называемой кривой сублимации 0Т. При переходе через эту кривую происходит испарение твёрдого тела, минуя жидкую фазу сразу в газообразное состояние. Такое явление можно, например, наблюдать у продавца мороженого – твёрдая углекислота, применяемая для охлаждения, «дымит», сразу испаряясь без перехода в жидкость.
При всех описанных фазовых переходах (превращениях) вещество либо выделяет, либо поглощает энергию в виде скрытой теплоты соответствующего перехода (теплота плавления, теплота испарения, теплота возгонки). При этом происходит скачкообразное, то есть происходящее в очень узком температурном интервале (точка кипения, точка плавления и так далее), изменение свойств вещества. Такие переходы называются фазовыми переходами первого рода.
Существуют также фазовые переходы второго рода, при этом переход осуществляется без выделения или поглощения скрытой теплоты. Примеры таких фазовых переходов (при изучении свойств ферромагнитных материалов, в явлениях сверхпроводимости и так далее) будут рассмотрены в следующих главах курса общей физики.
Библиографический список
1. Геворкян, Р.Г. Курс общей физики / Р.Г. Геворкян, В.В. Шепель. – М.: Высш. шк., 1972. – 600 с.
2. Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1989. – 608 с.
3. Дмитриева, В.Ф. Основы физики / В.Ф. Дмитриева, В.Л. Прокофьев. – М.: Высш. шк., 2003. – 528 с.
4. Савельев, И.В. Курс общей физики. Т. 3 / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989 – 304 с.
5. Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 1990.–478 с.
6. Фриш, С.Э. Курс общей физики. Т. 3 / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева. – СПб.: Лань, 2006. – 540 с.
7. Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики / В.С. Волькен-штейн. – М.: Наука, 1972. – 464 с.
8. Чертов, А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов. – М.: Высш. шк., 1981. – 496 с.
