Основные понятия алгебры логики. Логические значения, операции, выражения

Основные понятия алгебры логики. Логические значения, операции, выражения

Класс: 9 класс

Цель урока: сформировать у учащихся понятие форм мышления, сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.

Задачи:

• Образовательная: познакомить детей с формами мышления, сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.,

• Развивающая: создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

• Воспитательная: способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других, работать в коллективе и группах.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Используемое оборудование: персональные компьютеры, проектор, экран, карточки с заданиями

План урока:

1. Организационный момент

2. Сообщение темы и постановка целей урока.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление полученных знаний.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание.

I Организационный момент

Приветствие учащихся.

II. Сообщение темы и целей урока.

1. Как человек мыслит?

2. Что в нашей речи является высказыванием, а что – нет?

3. В чем сходство и различие в арифметическом умножении и логическом умножении?

На эти и некоторые другие вопросы мы с вами постараемся ответить сегодня на уроке. Так же познакомимся с основными логическими выражениями и операциями, узнаем некоторые составляющие нашего мышления.

Итак, тема нашего урока Основы логики. (Запись в тетради темы урока)

III. Объяснение нового материала. (На основе презентации)

1. В основе современной логики лежат учения, созданные еще древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил ло­гические формы мышления от его содержания.

Логика — это наука о формах и способах мышления. Это учение о спо­собах рассуждений и доказательств.

Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие — это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.

Пример

Прямоугольник, проливной дождь, компьютер.

Высказывание — это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.

По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Ис­тинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.

Пример

Истинное высказывание: «Буква «а» - гласная».

Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».

Пример

Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

1.Какой длины эта лента?

2.Прослушайте сообщение.

3.Делайте утреннюю зарядку!

4.Назовите устройство ввода информации.

5. Кто отсутствует?

6.Париж — столица Англии. (ЛОЖЬ)

7.Число 11 является простым. (ИСТИНА)

8. 4 + 5=10. (ЛОЖЬ)

9. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

10. Сложите числа 2 и 5.

11.Некоторые медведи живут на севере. (ИСТИНА)

12. Все медведи — бурые. (ЛОЖЬ)

13.Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.
Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или не­скольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

Пример

Дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить высказывание «Этот треугольник равносторонний» путем умо­заключений. (доказательство пытаются сделать дети)

Пусть основанием треугольника является сторона с, тогда а=b. Так как в треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая сторона, например а. Тогда b=с. Следовательно, a=b=c. Треугольник равносторонний.

2. Логические выражения и операции

Алгебра - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над друга ми математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Так! алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.

Логическая переменная — это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение — латинская буква. Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).

Составное высказывание - логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение - F(A,B,...).

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции — логическое действие.

Существуют три базовые логические операции — конъюнкция, дизъюнкция и отрицание и дополнительные — импликацию и эквивалентность.

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА. При составлении логического выражения необходимо учи­тывать порядок выполнения логических операций, а именно:

1)действия в скобках;

2)инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.
Пример

Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Ле­том Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку».

1.    Разобьем составное высказывание на простые высказывания: «Петя поедет в дерев­ню», «Будет хорошая погода», «Он пойдет на рыбалку».

Обозначим их через логические переменные:

А = Петя поедет в деревню;

В = Будет хорошая погода;

С = Он пойдет на рыбалку.

2.      Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки:

F = A& (B+C).

Заполним представленную таблицу. (см. презентацию)

IV. Закрепление изученного материала.

Упражнение 1.

Есть два простых высказывания:

А - «Число 10 - четное»;

В - «Волк - травоядное животное».

Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность. Ответ:

AvB

¬А

¬В

А→В

А↔В.

ЛОЖЬ (0)

ИСТИНА (1)

ЛОЖЬ (0)

ИСТИНА (1)

ЛОЖЬ (0)

ЛОЖЬ (0)

Упражнение 2.

Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.

1.Число 17 нечетное и двузначное.

2.Неверно, что корова - хищное животное.

3.На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты исследований учителю.

4.Если число делится на 2, то оно - четное. Переходи улицу только на зеленый свет.

6.На уроке информатики необходимо соблюдать особые правила поведения.

7.При замерзании воды выделяется тепло.

8.Если Маша - сестра Саши, то Саша — брат Маши.

9.Если компьютер включен, то можно на нем работать.

10.Водительские права можно получить тогда и только тогда, когда тебе исполнится 18 лет.

11.Компьютер выполняет вычисления, если он включен.

12.Ты можешь купить в магазине продукты, если у тебя есть деньги.

13.Тише едешь - дальше будешь.

Упражнение 3.

Даны высказывания: А - «р делится на 5» и В - «р - нечетное число»Я Найти множество значений р, при которых результат

а) логического сложения и б) логического умножения будет:

1)истинным;

2)ложным.

Упражнение 4.

Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием логических операций.

1.Неверно, что 10>Y>5 и Z<0 (ответ:(Y < 10) & (Y > 5) & (Z< 0).

2.Z является min(Z,Y) (ответ: Z

3.А является max(A,B,C) (ответ: (А>В)&(А>С)).

4.Любое из чисел X,Y,Z положительно (ответ: (X>0)v(Y>0)v(Z>0).

5.Любое из чисел X,Y,Z отрицательно (ответ: (X<0)v(Y<0)v(Z<0).

6.Хотя бы одно из чисел K,L,M не отрицательно (ответ: (К > 0) v (I > 0) v(M > О))

7.Хотя бы одно из чисел X,Y,Z не меньше 12 (ответ: (X > 12) v(Y > 12) v (Z > 12))

8.Все числа X,Y,Z равны 12 (ответ: (X=12)&(Y=12)&(Z=12)).

9.Если X делится на 9, то X делиться и на 3 ((X делится на 9)→(X делится на 3)).

10. Если X делится на 2, то оно четное ((X делится на 2)→(X - четное)).

Упражнение 5.

Найдите значения логических выражений:

F = (0v0) v(lvl) (ответ: 1)

F = (lvl)v(lv0) (ответ: 1)

F= (0&0)&(1&1) (ответ: 0)

F= ¬1&(1 v1) v(¬0&1) (ответ: 1)

F = (¬1v1)&(1v¬1)&( ¬1v 0) (ответ: 0)

VI.   Подведение итога урока.

Фронтальная беседа с учащимися по теме урока.

Выставление оценок.

VII. Домашнее задание

Уровень знания: выучить основные определения, знать обозначения.

Уровень понимания:

Задача 1

Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки «И», «ИЛИ». Запишите логические вы­сказывания с помощью логических операций и определите их истин­ность.

1.Андрей старше Светы. Наташа старше Светы.

2.Один десятый класс идет на экскурсию в музей. Второй десятый класс идет в театр.

3.На полке стоят учебники. На полке стоят справочники.

4.   Часть детей - девочки. Остальные - мальчики.
Задача 2

Какое логическое выражение соответствует высказыванию: «Точка Xпринадлежит интервалу (А; В)».

1)(Х<А) или (Х>В)

2)(Х>А) и (Х<В)

3)Не(Х<А) или (Х<В)

4)(Х>А) или (Х>В)

Задача 3

Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке:

1)(Y>1 и Y<3) или (Y<8n Y>4)

2)(Х=Y)и (X=Z)

3)Не (Х<0) и Х<10 или (Y>0)

4)(0<Х) и (Х<5) и (не(Y<10))