Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

г.Междуреченск Кемеровской области

Старцева Елена Михайловна,

учитель информатики МОУ «СОШ №2»

Адрес: 652 870, Кемеровская обл.

г.Междуреченск, пр.Коммунистический,26-97

тел. (8-384-75) 2-13-70

Адрес школы: 652 870, Кемеровская обл.

г.Междуреченск, пр.Коммунистический, 9

тел. (8-384-75) 2-28-95

Междуреченск

Оглавление

Пояснительная записка

Курс «Информатика. Информационные технологии» является базовым курсом предметной области «Информатика». Вопросы по данной теме включены в состав ЕГЭ.

Тема «Представление числовой информации в компьютере» входит в состав курса «Информатика. Информационные технологии». Данная тема изучается в 10 классе. Общее количество часов на тему – 11.

Данные разработки уроков сопровождаются презентациями, что повышает наглядность и степень усвоения материала.

11 ч.

Системы счислений. Позиционные и непозиционные системы счисления

2

Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления

2

Связь между родственными системами счисления

2

Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

2

Представление чисел в компьютере

2

Контрольная работа «Представление числовой информации в компьютере»

1

Уроки 1-2. Тема урока: Системы счислений. Позиционные и непозиционные системы счисления

Цель урока: Раскрыть понятие системы счисления. Познакомить учеников со способами представления чисел в позиционных системах счисления. Дать представление о базисе и алфавите систем счисления.

Учащиеся должны знать / понимать:

о существовании позиционных и непозиционных систем счисления;

о существовании основания в позиционных системах счисления.

Учащиеся должны уметь:

представить число в развёрнутом виде в позиционной системе счисления;

перевести число из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием и обратно.

Из истории возникновения систем счисления

Самый первый способ записи чисел – палочками: количество предметов, например мешков, изображалось нанесением черточек или засечек (10-11 тысяч лет до н.э.). Ученые называют этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления.

В древнеегипетской системе счисления (2500 лет до н.э.) использовались специальные знаки для обозначения чисел 1, 10, 100, 1000 и т.д. Каждая «цифра» повторялась не более 9 раз.

Например: Число 345 древние египтяне записывали так:

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

[pic] [pic]

Вавилонская система счисления (2000 лет до н.э.) считается первой позиционной системой, но не десятиричной, а шестядисятиричной.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Например: Число равно 2*60+3*10+2=152

Римская система счисления похожа на египетскую и мы сегодня широко ее используем.

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы: славянская, ионийская (греченская), финикийская и др.

Например, числа от 1 до 10 записывались так:

[pic] [pic]

Так, например, числа 1000, 2000, 3000... записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак: [pic]

Число 10000 обозначалось той же буквойдчто и 1, только без титла, ее обводили кружком:

[pic]

Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней: мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд, окружность на 360 частей (градусов)

Пример использования исчисления на Руси:

[pic]

Арабские цифры пришли из Индии, где впервые использовалась десятичная система счисления. Возникновение этой системы счисления стало возможным после величайшего открытия – цифры «0» для обозначения отсутствующей величины (Ouden – ничто, греческое слово). Цифры постепенно видоизменялись, пока не приняли современное начертание.

[pic]

Марокканский историк Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

[pic]

Алфавит, основание, базис

Система счисления – это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Непозиционная система счисления — это система счисления, в которой количественный эквивалент каждого символа не зависит от его положения (места, позиции) в записи числа.

Позиционная система счисления — это система счисления, в которой значение символа (вес цифры) зависит от его позиции в записи числа.

Основание (базис) – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления (q). Понятие базиса — ключевое понятие для позиционных систем счисления. Базис позиционной системы счисления — это последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент символа (вес разряда) в зависимости от его места в записи (коде) числа. Базис произвольной позиционной системы счисления обозначается:

Алфавит системы счисления – это совокупность символов для записи чисел. Количество символов в алфавите всегда равно основанию системы счисления.

[pic]

Любое число мы записываем с помощью этих цифр, причем цифра в числе имеет свой так называемый «вес» т.е значимость цифры зависит от того в каком разряде она находится.

В общем виде любое число можно представить так:

X = anPⁿ + an-1P^n-1 + an-2P^n-2 + an-3P^n-3 +… + a1P¹ + a0P⁰ + a-1P^-1+ a-2P^-2+… + a -kP ^-k

Например: число 1350910

^{10000 1000 100 10 1- разряды}

1 3 5 0 9 = 1*10⁴ + 3*10³ + 5*10² 0*10¹+ 9*10⁰ – развернутая форма.

Весовые значения разрядов в различных системах счисления

Давайте аналогичным образом действовать в других системах счисления. Но обратите внимание, что теперь мы будем раскладывать числа с другими основаниями. При подсчете мы получим эквивалент этих значений, но в десятичной системе счисления:

число 25748

25748 = 2*8³ + 5*8² + 7*8¹ + 4*8⁰ = 2*512 + 5*64 + 7*8 + 4*1 =

1024 + 320 + 56 + 4 = 140410

число 40315

40315 = 4*5³ + 0*5² + 3*5¹ + 1*5⁰ =500 + 0 + 15 + 1 = 51610

число 2103

2103 = 2*3² + 1*3¹ + 0*3⁰ = 18 + 3 + 0 = 2110

число 10011012

10011012 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64+8+4+1 = 7710

Дробные части чисел переводятся аналогично, но базис числа идет с отрицательной степенью.

число 542,3658

542,3658 = 5*8² + 4*8¹ + 2*8⁰ + 3*8^-1 + 6*8^-2 + 5*8^-3 =

5*64 + 4*8 + 2*1 + 3*1/8 + 6*1/64 + 5*1/512 =

320 + 32 + 2 + 0,375+ 0,09375+ 0,0098 = 354,4785510

Задания для самостоятельного решения

1. Перевести в десятичную систему счисления следующие значения:

341,18

125,216

1011001,112

341,15

125,27

1011001,1112

А05,В16

2. В каком отношении находятся числа 128и 1210, состоящие из одинаковых цифр, но с разными основаниями?

3. Число 1201 может принадлежать перечисленным позиционным системам счисления, кроме

1. Двоичной.

2. Восьмеричной.

3. Десятичной.

4. Шестнадцатеричной.

4. Как изменится двоичное число 111000,0112, если перенести запятую, отделяющую целую часть от дробной, на один разряд вправо (новое число: 1110000,112)?

5. Как изменится число, записанное в восьмеричной системе счисления, при переносе запятой, отделяющей целую часть от дробной, на две позиции влево?

Уроки 3-4. Тема урока: Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления

Цель уроков: познакомить учащихся с алгоритмом перевода целых чисел и периодических дробей в произвольную систему счисления из десятичной системы счисления.

Учащиеся должны знать / понимать:

алфавит системы счисления;

что определяет основание в позиционной системе счисления.

Учащиеся должны уметь:

переводить числа из десятичной системы счисления в другие системы счисления.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием

Алгоритм перевода целой части числа:

1. Исходное число разделить на основание системы счисления, в которую требуется перевести число нацело

2. Записать остаток (целый)

3. Частное опять разделить на основание системы счисления, в которую требуется перевести число нацело

4. Записать остаток (целый)

5. Деление продолжить до того момента, когда в частном будет 0

6. Записать полученные остатки снизу – вверх.

Например: 73910 перевести в восьмеричную:

11 : 8 = 1 (ост.3) 3

1 : 8 = 0 (ост.1) 1

19

92

8

3

12

11

8

4

3

1

1

Ответ: 73910 = 13438

142110 перевести в восьмеричную:

22 : 8 = 2 (ост.6) 6

2 : 8 = 0 (ост.2) 2

62

177

8

61

17

22

8

5

1

6

2

8

2

0

Ответ: 1 42110 = 2 6158

328710 перевести в семеричную:

67 : 7 = 9 (ост.4) 4

9 : 7 = 1 (ост.2) 2

1 : 7 = 0 (ост.1) 1

4

469

7

0

67

7

4

9

7

2

1

7

1

0

Ответ: 328710 = 124047

17210 перевести в двоичную:

43 : 2 = 21 (ост.1) 1

21 : 2 = 10 (ост.1) 1

10 : 2 = 5 (ост.0) 0

5 : 2 = 2 (ост.1) 1

2 : 2 = 1 (ост.0) 0

1 : 2 = 0 (ост.1) 1

12

86

2

0

0

43

2

1

21

2

1

10

2

0

5

2

1

2

2

0

1

2

1

0

Ответ: 17210 = 101011002

10010 перевести в двоичную:

25 : 2 = 12 (ост.1) 1

12 : 2 = 6 (ост 0) 0

6 : 2 = 3 (ост.0) 0

3 : 2 = 1 (ост.1) 1

1 : 2 = 0 (ост.1) 1

11001002

0

50

2

0

25

2

1

12

2

0

6

2

0

3

2

1

1

2

1

0

Ответ: 10010 = 11001002

4843010 перевести в шестнадцатиричную:

3026 : 16 = 189 (ост.2) 2

189 : 16 = 11 (ост.13) D

11 : 16 = 0 (ост 11) B

48416

3026

16

3024

189

16

176

11

16

11

0

Ответ: 4843010 = BD2E16

Алгоритм перевода дробной части числа:

1. Дробную часть исходного числа умножить на основание системы счисления, в которую требуется перевести число

2. Выделить целую часть результата

3. Дробную часть произведения умножить на основание системы счисления, в которую требуется перевести число

4. Выделить целую часть результата

5. Действия продолжить до получения требуемой точности результата

6. Записать полученные целые части произведений сверху – вниз.

Например:

0,24510 перевести в восьмеричную систему счисления с точностью до 4 знаков

0,245*8 = 1,96 (целая часть 1)

0,96 * 8 = 7,68 (целая часть 7)

0,68 * 8 = 5,44 (целая часть 5)

0,44 * 8 = 3,52 (целая часть 3)

Ответ: 0,24510 = 0,17538

0,27710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до 4 знаков

0,277 * 16 = 4,432(целая часть 4)

0,432 * 16 = 6,912 (целая часть 6)

0,912 * 16 = 14,592 (целая часть - E(14)

0.592 * 16 = 9.472 (целая часть 9)

Ответ: 0,27710 = 0,46E916

Задания для самостоятельного решения

1. Запишите числа:

   5610

   в пятеричной системе счисления

   6410

   в двоичной

   11910

   в восьмеричной

   245610

   в шестнадцатеричной

   47,210

   в троичной

   321,310

   в восьмеричной

   200,810

   в семеричной

   163,7510

   в двенадцатеричной

   200,64710

   в троичной

   
   

2. Три из перечисленных далее чисел находятся в отношении равенства. Найдите их.

A. 10001001102

Б. 12308

B. 10468

Г. 19216

Д. 22616

3. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 194,5?

1) 5 2) 6 3) 3 4) 4

4. Дано: а=D716, b=3318. Какое из чисел c, записанных в двоичной системе, отвечает условию a<c<b?

1) 11011001 2) 11011100 3) 11010111 4) 11011000

5. Сравнить : 427 и 358.

6. Замените сказочные цифры в записи чисел в троичной системе счисления на обычные: ££(3) < £(3)

Уроки 5-6. Тема урока: Связь между родственными системами счисления

Цель уроков: познакомить учащихся с родственными двоичной системами счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной) и алгоритмом перевода чисел из одной из них в другую.

Учащиеся должны знать / понимать:

родственные системы счисления;

как связаны основания в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления.

Учащиеся должны уметь:

переводить числа в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.

Связь между родственными системами счисления

Перевод чисел между системами счисления, основания которых соотносятся как степени (например 2(2¹)8(2³)16(2⁴)), может производиться по более простым алгоритмам. Такие системы называются родственными системами счисления.

При переводе в родственных системах счисления надо обращать внимание на соотношение степеней основания: при переводе в восьмеричную систему двоичное число разбивается на триады, т.к. основания соотносятся как 2¹ и 2³, влево и вправо от десятичной запятой, а при переводе в шестнадцатеричную систему — на тетрады (2¹ и 2⁴).

Например:

11100101110111,11012 перевести в восьмеричную систему счисления

110

100

Восьмеричные цифры

3

4

5

6

7

,

6

4

Ответ: 11100101110111,11012 = 34567,648

11100101110111,11012 перевести в шестнадцатеричную систему счисления

1101

шестнадцатеричные цифры

3

9

7

7

,

D

Ответ: 11100101110111,11012 =3977,D16

Переводить числа из восьмеричной системы в шестнадцатеричную сразу нельзя, т.к. основания 8 и 16 не соотносятся как степени друг друга. Перевод возможен только через двоичную систему счисления.

Задания для самостоятельного решения

1. Числа представьте в восьмеричной системе счисления:

101110012

1000111001,112

11011,1012

30DA,F16

7А10216

2. Числа записать в шестнадцатеричной системе счисления:

11101110102

10101010,1012

4021,328

754,228

1020,328

3. Числа 10010012 и 1118 принадлежат родственным (двоичной и восьмеричной) системам счисления. В каком отношении они находятся?

1. Первое меньше второго.

2. Первое больше второго.

3. Их невозможно сравнить, потому что у них разные основания.

4. Они равны.

Уроки 7-8. Тема урока: Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Цель уроков: познакомить учащихся с правилами выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления.

Учащиеся должны знать / понимать:

правила выполнения арифметических операций в позиционных системах счисления.

Учащиеся должны уметь:

производить вычисления в разных системах счисления.

Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам, что и в десятичной системе, с которыми мы хорошо знакомы.

Сложение

При сложении самого большого однозначного числа и «1» происходит переход в следующий разряд.

Максимальное однозначное число

Десятичная система счисления

9

9 + 1 = 10

Двоичная система счисления

1

1 + 1 = 10

Троичная система счисления

2

2 + 1 = 10

Пятеричная система счисления

4

4 + 1 = 10

Восьмеричная система счисления

7

7 + 1 = 10

Двенадцатиричная система счисления

В

В + 1 = 10

Шестнадцатеричная система счисления

F

F + 1 = 10

Сложение многоразрядных чисел происходит с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Например:

1. 45238+23678

¹

¹

¹

^{перенос в вышестоящий разряд}

4

5

2

3

+

2

3

6

7

7

1

1

2

Ответ: 45238+23678 = 71128

2. 10111002+11101112

¹

¹

¹

¹

¹

⁰

⁰

^{перенос в вышестоящий разряд}

1

0

1

1

1

0

0

+

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

Ответ: 10111002+11101112 = 110100112

3. В9А75616 + 6ВС816

¹

¹

¹

^{перенос в вышестоящий разряд}

В

9

А

7

5

6

+

6

В

С

8

В

А

1

3

1

Е

Ответ: В9А75616 + 6ВС816 = ВА131Е16

4. 2467,368 + 3475,748

¹

¹

¹

¹

¹

^{перенос в вышестоящий разряд}

2

4

6

7

,

3

6

+

3

4

7

5

,

7

4

6

1

6

5

,

1

2

Ответ: 2467,368 + 3475,748 =6165,128

Вычитание

При вычитании необходимо учитывать, что при заеме из вышестоящих разрядов, занимаемая 1 равна основанию системы счисления.

Например: Вычтем числа 15 и 6 в различных системах счисления.

1. Десятичная с.с. 1510 - 610 = 910

2. Двоичная с.с. 11112 - 1102 = 101012

3. Восьмиричная с.с. 178 - 68 = 118

4. Шестнадцатеричная: F16- 616 = 916

  Ответ: 15-6 = 910 = 10012 = 118 = 916.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
10012 = 2³ + 2⁰ = 8+1=9
118 = 1*8¹ + 1*8⁰ = 8 + 1 = 9
916 = 9*16⁰ = 9.

1. 45278 - 23678

⁸

^{занимаем из вышестоящего разряда}

4

5

2

7

-

2

3

6

7

2

4

4

0

Ответ: 45278+23678 = 24408

2. 10111002 - 111101102

²

²

⁰

²

²

^{занимаем из вышестоящего разряда}

1

1

0

1

1

1

0

0

-

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

Ответ: 10111002+111101112 = 11001102

3. В9А75616 - 6ВС816

¹⁶

¹⁶

¹⁶

^{занимаем из вышестоящего разряда}

В

9

А

7

5

6

-

6

В

С

8

В

9

3

В

8

Е

Ответ: В9А75616 - 6ВС816 = В93В8Е16

4. 2467,368 - 475,748

⁸

⁸

⁸

^{занимаем из вышестоящего разряда}

2

4

6

7

,

3

6

-

4

7

5

,

7

4

1

7

7

1

,

4

2

Ответ: 2467,368 - 3475,748 =1771,428

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислите сумму и разность чисел х и у, если х = 2718 , у = 111101002. Результат представьте в шестнадцатеричной системе счисления.

2.Вычислите сумму и разность чисел х и у, если х = А116, у = 11012 . Результат представьте в десятичной системе счисления.

3.Вычислите сумму чисел х и у, если х = 568, у = 11010012,. Результат представьте в двоичной системе счисления.

4. Вычислите сумму и разность чисел х и у, если х = 5А16, у = 10101112,. Результат представьте в восьмеричной системе счисления.

5. Вычислите сумму и разность чисел х и у, если х = 1278, у = 100101112. Результат представьте в десятичной системе счисления.

6. Вычислите A8116+37716, ответ приведите в той же системе.

Уроки 9-10. Тема урока: Представление чисел в компьютере

Цель уроков: познакомить учащихся с представлением целых и вещественных чисел в памяти ЭВМ.

Учащиеся должны знать / понимать:

представление целых положительных и отрицательных чисел в памяти ЭВМ;

правила получения прямого, обратного и дополнительного кода как положительного, так и отрицательного целого числа;

представление дробных вещественных чисел;

назначение мантиссы и порядка при размещении вещественных чисел в памяти компьютера;

от чего зависит точность и диапазон представления вещественного числа.

сложение, вычитание целых чисел в компьютере;

Учащиеся должны уметь:

записать прямой, обратный и дополнительный коды как положительного, так и отрицательного целого числа;

определять десятичные эквиваленты чисел, записанных в прямом, обратном и дополнительном кодах.

выполнять нормализацию вещественных чисел

Представление целых чисел

Целые числа являются простейшими числовыми данными, с которыми оперируют ЭВМ. Для целых чисел существуют два представления: беззнаковое (только для неотрицательных целых чисел) и со знаком. Очевидно, что отрицательные числа можно представлять только в знаковом виде. Целые числа в компьютере хранятся в формате с фиксированной запятой.

Для беззнакового представления все разряды ячейки отводятся под представление самого числа. Для представления со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно:

2ⁿ - 1

1 байт: 111111112 = 25510

2 байта: 11111111111111112 = 6553510

Прямой код числа

Представление числа в привычной форме «знак»-«величина», при которой старший разряд ячейки отводится под знак, а остальные разряды ячейки - под запись числа в двоичной системе, называется прямым кодом двоичного числа.

Например, прямой код двоичных чисел 10012 и -10012 для 8-разрядной ячейки равен 00001001 и 10001001 соответственно.

Положительные числа в ЭВМ всегда представляются с помощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Прямой код отрицательного числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа лишь содержимым знакового разряда. Но отрицательные целые числа не представляются в ЭВМ с помощью прямого кода, для их представления используют так называемый дополнительный код.

Дополнительный код числа

Дополнительный код положительного числа равен прямому коду этого числа.

Дополнительный код отрицательного числа т равен

2^к - |т|, где к — количество разрядов в ячейке.

Заметим, что в компьютерной k-разрядной арифметике 2^k=0, так как двоичная запись этого числа состоит из одной единицы и к нулей, а в ячейку из к разрядов может уместиться только к цифр, в данном случае они все нули. Таким образом, дополнительный код отрицательного числа — это дополнение |т| до 2^k(или до нуля в k-разрядной арифметике: 2^к-|т| + |т|=0).

Как уже было сказано, при представлении неотрицательных чисел в беззнаковом формате все разряды ячейки отводятся под само число. Например, запись числа 243 = 111100112 в одном байте при беззнаковом представлении будет выглядеть следующим образом:

1

1

1

0

0 | 1

1

При представлении целых чисел со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, и под собственно число остается на один разряд меньше. Поэтому, если приведенное выше состояние ячейки рассматривать как запись целого числа со знаком, то для компьютера в этой ячейке записано число -13 (так как 243 + 13 = 256 = 2⁸).

Но если это же отрицательное число записать в ячейку из 16-ти разрядов, то содержимое ячейки будет следующим:

Из приведенных примеров видно, что вид представления отрицательного числа зависит от разрядности ячейки, в которую записывается число.

Дополнительный код используется для упрощения выполнения арифметических операций. Если бы вычислительная машина работала с прямыми кодами положительных и отрицательных чисел, то при выполнении арифметических операций следовало бы выполнять ряд дополнительных действий. Например, при сложении нужно было бы проверять знаки обоих операндов и определять знак результата. Если знаки одинаковые, то вычисляется сумма операндов и ей присваивается тот же знак. Если знаки разные, то из из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и результату присваивается знак большего числа. То есть при таком представлении чисел (в виде только прямого кода) операция сложения реализуется через достаточно сложный алгоритм. Если же отрицательные числа представлять в виде дополнительного кода, то операция сложения, в том числе и чисел разного знака, сводится к их поразрядному сложению.

Для компьютерного представления целых чисел обычно используется один, два или четыре байта, т.е. ячейка памяти будет состоять из восьми, шестнадцати или 32 разрядов соответственно.

Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа

Для получения дополнительного k-разрядного кода отрицательного числа необходимо

1) модуль числа представить прямым кодом в к двоичных разрядах;

2. значения всех бит инвертировать: все нули заменить на единицы, а единицы на нули (таким образом получается к-разрядный обратный код исходного числа);

3. к полученному обратному коду, трактуемому как к-разрядное неотрицательное двоичное число, прибавить единицу.

Пример. Получим восьмиразрядный дополнительный код числа -52:

00110100 — число |-52| = 52 в прямом коде

11001011 — число -52 в обратном коде

11001100 — число -52 в дополнительном коде

При различных значениях к вид отрицательного числа в дополнительном коде также будет различным.

Представление вещественных чисел

При представлении чисел с фиксированной запятой все разряды ячейки, кроме знакового разряда, если он есть, служат для изображения разрядов числа. Причем каждому разряду ячейки соответствует всегда один и тот же разряд числа. Именно поэтому такое представление получило название с фиксированной запятой, так как фиксируется место запятой перед определенным разрядом (для целых чисел запятая находится после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки). Такая система упрощает выполнение арифметических действий, но сильно ограничивает диапазон чисел, которые можно записать в ячейку при таком представлении.

Для представления вещественных чисел в современных компьютерах принят способ представления с плавающей запятой. Этот способ представления опирается на нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел.

Как и для целых чисел, при представлении действительных чисел в компьютере используется чаще всего двоичная система счисления, следовательно, предварительно десятичное число должно быть переведено в двоичную систему. Однако мы сталкиваемся и с нормализованными десятичными числами, например, при работе с калькуляторами.

Нормализованная запись числа

Нормализованная запись отличного от нуля действи-Л»I тельного числа — это запись вида а = ± m * Р^q, где q — целое число (положительное, отрицательное, или ноль), а m — правильная Р-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, т.е. 1/Р<= m <1. При этом m называется мантиссой числа, q — порядком числа.

Пример. Приведем примеры нормализации числа;

1. 3,1415926 = 0,31415926 * 10¹;

2. 1000 = 0,1 * 10⁴;

3. 0,123456789 = 0,123456789 * 10⁰ (запятую передвигать не нужно);

4) 0,00001078 = 0,1078 * 8^-4 (порядок записан в десятичной системе);

5) 1000,00012 = 0,100000012 * 2⁴ (порядок записан в десятичной системе).

Заметим, что число нуль не может быть записано в нормализованной форме так, как она была определена. Поэтому относительно нормализованной записи нуля приходится прибегать к особым соглашениям.

Условимся, что запись нуля является нормализованной, если и мантисса и порядок равны нулю, т.е. 0 = 0,0 х 10°.

Представление чисел с плавающей запятой

При представлении чисел с плавающей запятой часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные разряды — для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы.

Например, можно представить себе такое распределение разрядов ячейки памяти:

Задания для самостоятельного решения

1. Преобразуйте десятичное число 888,888, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой.

2. Запишите число 2001,2001 тремя различными способами в форме с плавающей запятой.

3. Запишите следующие числа в форме с плавающей запятой и нормализованной мантиссой:

а)217,934; в) 10,0101; б)75321; г)200450.

4. Запишите следующие числа в естественной форме:

а)0,380456 х 10²; в).1100000 *10^-5;

б)0,200000 х 10^-5; г) .7892101 х 10⁵.

5. Сравните следующие числа:

а)318,4785 х 10⁹ и 3,184785 х 10¹¹;
б)218,4785 х 10^-3 и 1847,85 х 10^-4;
в)0,1101 х 2¹⁰ и 101x2 ^-11;
г)11011 х 2^-100 и 1,1101 х 10^-1

6. Представьте вещественное число А в нормализованной форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления:

А=0,005089;

А=1234,0456.

7. Для представления вещественного числа используется 2-байтовая ячейка памяти. В 1-м байте содержится знак числа и порядок, во втором байте - мантисса. Определить минимальное и максимальное по абсолютной величине числа, точно представимые в таком компьютере.

Урок 11. Контрольная работа по теме «Представление числовой информации в компьютере»

1. Система счисления – это:

   1. Совокупность правил записи чисел с помощью символов некоторого алфавита;

   2. Бесконечная последовательность цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

   3. Совокупность цифр I, V, X, L, C, D, M;

   4. Множество натуральных чисел и знаков арифметических действий.

2. В позиционной системе счисления значение каждого знака в числе зависит:

   1. От значения числа;

   2. От значений соседних знаков;

   3. От позиции, которую занимает знак в записи числа;

   4. Значение каждого знака в числе не зависит от значения знака в старшем разряде;

   5. От значения суммы соседних знаков.

3. Переведите в десятичную систему счисления следующие числа:

   1. FA16

   2. 100102

   3. 30125

   4. 1078

4. Переведите числа из десятичной системы счисления в указанную:

5. Число 110101112 соответствует числу в восьмеричной системе счисления:

   1. 4968

   2. 1258

   3. 768

   4. 3278

   5. 998

6. Укажите самое большое число:

   1. 15613

   2. 15616

   3. 15610

   4. 15612

   5. 1568

7. Какое число уменьшится в 8 раз при перенесении запятой влево на три знака:

   1. 3002,058

   2. 20000156

   3. 2,2240124

   4. 100000010

   5. 10100112

8. Сколько байт потребуется для хранения чисел:

   1. 65879

   2. 65,879

   3. 6587,9

   4. -645879

9. Укажите самое маленькое число:

   1. 1358

   2. 1001111012

   3. АВС16

   4. 1221123

10. Выполните арифметические действия в указанной системе счисления:

    1. 1345+2115=

    2. АС0816 – 647А16 =

    3. 110012 – 101102 =

    4. 1203 + 2203 =

11. Выполнить арифметические операции:

а) Выполнить арифметические операции в 2-й СС:

1) 11102 + 10012 2) 11102 – 10012 3) 11102 * 10012 4) 11102 / 112

б) Выполнить арифметические операции в 8-й СС:

1) 678 + 238 = 1128 2) 678 – 238 = 448 3) 678 * 238 = 20258 4) 748 / 248 = 38

в) Выполнить арифметические операции в 16-й СС:

1) AF16 + 9716 2) AF16 – 9716 3) AF16 * 9716 = 673916 4) 5A16 / 1E16 = 316

12. Сложить числа 5Е16 и 128. Сумму представить в десятичной системе счисления.

13. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

а) 748, 1100102, 7010, 3816;

б) 6E16, 1428, 11010012, 10010;

в) 7778, 1011111112, 2FF16, 50010;

г) 10010, 11000002, 6016, 1418.

14) Вычислите значения выражений:

а) 2568 + 10110,12 + 608 + 1210 - 1F16;

б) 1AD16 - 1001011002 + 10102 + 2178.

в)1345+2115=

г)АС0816 – 647А16 =

д) 110012 – 101102 =

е)1203 + 2203 =

ж) FA16 + 100102

14. 15) Число 110101112 соответствует числу в восьмеричной системе счисления:

1. 1. 30125 +78

   2. 4968

   3. 1258

   4. 768

   5. 3278

   6. 998

1. 7. 16) Укажите самое большое число:

6. 1. 15613

   2. 15616

   3. 15610

   4. 15612

   5. 1568

17. Укажите самое маленькое число:

17. 1. 1358

    2. 1001111012

    3. АВС16

    4. 1221123

17. Для представления вещественного числа отводится 8 байт. Порядок занимает 11 бит. Сколько значащих цифр будет содержать двоичная мантисса?

18. Записать внутреннее представление числа А в форме с плавающей точкой в 4-байтовой ячейке:

8. А=250,1875;

9. А=-123,125.

17. Записать внутреннее представление числа А в форме с плавающей точкой в 4-байтовой ячейке:

10. А=250,1875; А= -123,125.