П Р И Л О Ж Е Н И Е
Нестандартные задачи – это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Хотя, общих правил для решения нестандартных задач нет и нет каких-то точных правил использования операций по сведению решений нестандартных задач к решению стандартных, однако многие выдающиеся математики и педагоги нашли ряд общих указаний – рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач. Эти указания обычно называют эвристическими правилами (приемами) или, короче, эвристиками. Слово «эвристика» греческого происхождения и означает «искусство нахождения истины».
ИНВЕРСИЯ
Под ИНВЕРСИЕЙ понимают перестановку или расположение членов выражения в особом порядке, нарушающем заданный так называемый прямой порядок, с целью получения нового выражения тождественно равного данному и более удобного для выполнения последующих преобразований.
6 класс
а) Упростить выражение
0,57у + 42,39у + 49,43у + 6,02у + 8,61у;
б) Вычислить сумму
1 +3 + 5 + … + 99 + 101 - 2 - 4 - … -98 -100;
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … +99;
99 + 95 + 91 + … + 7 + 3 – 1 – 5 -… 89 – 93 - 97;
в) Найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1.
г) Найти сумму всех делителей числа 72.
7 класс
а) Найти значение выражения
х4 +0,39х3 – 0,61х2 -2х – 0,22 при х=0,61
б) Постройте график уравнения
у2 –ху2 – ху +х3 = 0
в) Доказать, что выражение [pic] при любом натуральном n есть целое число.
8 класс
а) доказать неравенство
х8 – х5 + х2 – х + 1 > 0
б) Делится ли на 3 сумма
1 + 2 + 22 + … + 22008 + 22009 ?
в) Докажите, что все числа вида 1007, 10017, 100117, … делятся на 53.
МЕТОД МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
Эвристика, предполагающая последовательное сведение заданного в условии задачи объекта к требуемому за счет построения цепочки моделей. Каждая из этих моделей получается в результате незначительной, т. е. сохраняющей основные качественные характеристики самого объекта, деформации одного из компонентов или предыдущей модели.
7 класс
а) Доказать неравенство
[pic]
б) Что больше 1·2 ·3 · … · 20 или 1 + 2 + 3 + … + 1000000?
в) Сравнить
635 и 810; 156 и 712; 3111 и 1714;
8 класс
а) Докажите, что любое четырехзначное число больше произведения его цифр;
б) Докажите неравенство
[pic]
[pic]
ПЕРЕБОР
Сущность этого приема заключается в проведении определенным образом организованного разбора и анализа всех (или специально выбранных) случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче. При этом если разбираются все возможные случаи, то говорят о полном переборе, а если их часть, то о сокращенном переборе. Существует два вида полного перебора: рассмотрение каждого случая в отдельности и групповой анализ возможных решений. Первым видом перебора удобно пользоваться, когда число возможных вариантов решения невелико и разбор всех случаев практически осуществим.
5 класс
а) В двузначном числе в два раза больше единиц, чем десятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами. Найдите это число.
б) Среди трехзначных чисел, выражающих количество изделий, изготовленных каждой из соревнующихся бригад, нет одинаковых, но в каждом из них сумма цифр равна 4. Какое наибольшее число бригад могло быть? Сколько изделий изготовила каждая бригада?
в) удар + удар = драка;
г) Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно?
д) Из 22 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади.
6 класс
а) Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в книге?
б) Какими цифрами можно заполнить «кроссворд»
СОН
ОКО
НОС
Если по всем горизонталям и вертикалям стоят точные квадраты?
в) Найти все дроби с однозначными знаменателями, каждая из которых больше [pic] , но меньше [pic] .
7 класс
а) Восстановить запись
[pic]
б) Доказать, что число 7х + 3 не является квадратом целого числа ни при каком целом значении х.
в) Можно ли число 2006 представить в виде разности квадратов двух целых чисел?
8 класс
а) Выписаны подряд все натуральные числа 123456789101112 … . Какая цифра будет на 2009 месте?
б) РЕШИ + ЕСЛИ = СИЛЕН; Известно, что наибольшая цифра в числе СИЛЕН равна 5.
9 класс
а) Восстановите цифры в примере ВОРОН + СТАЯ = ЛЕТЕЛА, если разные буквы обозначают разные цифры и число СТО делится на 139.
б) В ряд выписаны пять целых чисел, любые два соседних из которых отличаются друг от друга не более чем на 1. Найдите все наборы таких чисел, сумма квадратов которых равна 8324. (Наборы, отличающиеся только порядком расположения чисел, считать одинаковыми).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО «ОТ ПРОТИВНОГО».
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО «ПО КОНТРАПОЗИЦИИ»
Доказать справедливость утверждения « если А. то В» ( А [pic] В «от противного» - это значит, вместо утверждения А [pic] В доказать одно из следующих равносильных ему утверждений:
а) из предположения истинности А и ложности В вывести какое-нибудь противоречие: два взаимоисключающих друг друга высказывания;
б) из предположения истинности А и ложности В вывести, что А ложно;
в) из предположения истинности А и ложности В вывести, что В истинно.
Доказательство «по контрапозиции» поводят в том случае, когда доказательство прямого утверждения несопоставимо по сложности с доказательством утверждения, противоположного обратному. Суть приема состоит в следующем: для доказательства справедливости утверждения А [pic] В предполагают истинным высказывание [pic] и пытаются вывести отсюда справедливость высказывания [pic] .
Если это удается, т. е. доказано утверждение В [pic] А, противоположное обратному , то исходное утверждение А [pic] В также считается доказанным.
5 класс
а) Витя сказал своему другу Коле: «Я придумал пример на деление, в котором делимое, делитель, частное и остаток оканчиваются соответственно на 1, 3, 5 и 7». Подумав, Коля ответил: «Что-то ты путаешь». Прав ли Коля?
б) Девять чисел записаны в виде таблицы из трех строк и трех столбцов. Складывая числа первой строки, ученик получил сумму 818, числа второй строки дали в сумме, по его подсчетам 819, а третьей строки - 917. Проделав те же вычисления для столбцов, ученик получил суммы 185, 722 и 648. Правильны ли его вычисления?
6 класс
а) Даны 173 числа, каждое из которых равно 1 или 11. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы суммы чисел, входящих в каждую группу, были бы равны?
б) Существует ли квадрат, у которого длина стороны - целое число, а площадь равна 201201201201?
7 класс
а) Доказать, что уравнение 8х + 7у = -3 не имеет натуральных решений.
б) Доказать, что если n - натуральное число, большее 1, то число [pic] не может быть квадратом натурального числа.
8 класс
а) Доказать, что число 3 не является дискриминантом квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0 ни при каких целых а, b и с.
б) Доказать, что не существуют такие две дроби, сумма и произведение которых были бы целыми числами.
в) Докажите, что уравнение 3х2 – 4у2 = 13 не имеет целых решений.
г) Две стороны треугольника равны 49 см и 99 см, а угол между ними 59 градусов. Каким является этот треугольник?
д) Можно ли разрезать разносторонний треугольник на два равных треугольника?
е) В клетках квадратной таблицы 10 х 10 стоят ненулевые цифры. В каждой строке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлено 10-значное число. Могло ли оказаться, что из 20 чисел ровно одно не делится на 3?
ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ
Это эвристический прием, используемый для формоизменения текста задачи. Суть его заключается в следующем. Если в выражение, равенство или неравенство входят переменные или выражения с определенной областью значений, то можно заменить одну или несколько переменных (выражений) выражениями, имеющими ту же область значений.
6 класс
Вычислить:
а) [pic]
б) [pic]
Сравнить:
а) [pic]
б) [pic]
7класс
а) Разложить на множители:
(х2 – 1 + х)(х2 – 1 + 3х) + х2
б) Является ли простым числом число [pic] ?
в) Найти множество целых чисел, на которые можно сократить выражение
[pic] , где n - целое
8 класс
а) Решить уравнение
2(х2 + х + 1)2 – 7(х – 1)2 = 13(х3 – 1);
б) Разложить на множители
(х2 – 2 – 3х)(х2 – 2 + 9х) + 8х2
в) Постойте треугольник по трем медианам.
г) Сравните числа без помощи калькуляторов и таблиц:
1) [pic] 2) [pic]
д) Что больше:
[pic] ?
е) На гипотенузе ВС прямоугольного треугольника АВС (угол А-прямой) построен квадрат ВСДК, в котором Р – точка пересечения диагоналей. Докажите, что луч АР – биссектриса угла А.
ИНВАРИАНТОВ МЕТОД
Инвариант – величина, которая не изменяется в результате некоторых операций (например, разрезание и перестановка частей фигур не меняет суммарной площади).
Суть этого эвристического метода заключается в выявлении основного инвариантного фактора, определяющего стратегию поиска решения задачи. Такая эвристика применяется в тех случаях, когда необходимо выяснить, можно ли с помощью заданных в условии задачи операций перейти от одних объектов к другим, при этом в качестве инвариантного фактора выступает обычно некая количественная или структурная характеристика этих объектов (например, четность или раскраска).
6 класс
а) Учитель написал на листке бумаги число 10. 15 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?
б) 2006 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли можно их расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять только 2 людей, стоящих через одного?
7 класс
а) В последовательности 19752 … каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырех цифр, Встретятся ли в этой последовательности набор цифр 1234 или 7485?
б) На столе лежат две кучки конфет, в первой -12 конфет, а во второй -13. Двое играют в такую игру: за ход разрешается либо съесть 2 конфеты из одной кучки, либо переложить 1 конфету из первой кучки во вторую. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Докажите, что при данных условиях начинающий всегда проигрывает.
8 класс
а) В телевизионном спортивном состязании «Веселые старты» участвуют команды двух школ. Соревнование состоит из нескольких конкурсов. За победу в конкурсе команда получает 3 очка, за ничью -2 очка, за поражение -1 очко. С каким счетом могли и с каким не могли закончиться соревнования: 23:20, 17:17, 24:16, 17:15?
б) Квадрат 5 х 5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.
в) На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вписать вместо них цифру, отличную от стертых ( вместо 0 и 1- цифру 2, вместо 1 и 2 – 0, вместо 0 и 2 – 1). Докажите, что если в результате таких операций на доске останется одно число, то оно не зависит от порядка, в котором производились стирания.
г) В вершинах куба записаны числа 2,0,0,3,1,9,5,7.За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра одно и тоже целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах?
д) Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по 1, если ни одна из этих цифр не равна 9; либо, вычтя из соседних двух цифр по 1, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить 2007?
ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Особенность этого приема состоит в переходе к равносильной задаче, чаще всего алгоритмической, путем перевода текста исходной задачи на другой язык (например, с естественного на символический) или нахождения новой интерпретации заданных условий в рамках одного и того же языка.
5 класс
а) За кухонный гарнитур заплатили сначала 4160 рублей, а затем еще половину стоимости этого гарнитура. Сколько стоит кухонный гарнитур?
б) Определить ребро куба, объем которого в м3 и площадь поверхности в м2 выражается одним числом.
6 класс
а) Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через 2 дня и т. д., седьмой – через 6 дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все 7 рыбаков снова соберутся вместе на озере?
б) После того как пешеход прошел 1 км и половину оставшегося пути, ему осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?
7 класс
а) График функции у = kx проходит через точку М(6;-14). Как, не вычисляя коэффициента k, определить, проходит ли этот график через точку В(-9;21)?
б) Нагруженные осел и мул идут очень медленно. Осел жалуется на непосильную ношу, а мул отвечает: «Что ты жалуешься? Если я возьму один твой мешок, то моя ноша станет в 2 раза тяжелее твоей. А если ты возьмешь один мой мешок, то наши ноши будут равны». Поскольку мешков несли осел и мул?
8 класс
а) Сколько решений имеет система
[pic]
б) Найти множество значений функции
[pic]
в) При делении числа 2·3=6 на 4 получается в остатке 2, при делении числа 3·4=12 на 5 вновь получаем в остатке 2. Верно ли, что остаток от деления произведения двух последовательных чисел на число, следующее за ними, всегда равен 2?
г) Число 392 разделили на натуральное число а и от частного отняли а, с полученной разностью проделали то же самое и с новым результатом поделали то же самое. В результате получилось число а. Чему равно а?
д) На шахматном турнире два участника выбыли из игры после пятого тура, и по этой причине в турнире игралось лишь 38 партий. Сыграли ли эти два шахматиста партию друг с другом?
РАССМОТРЕНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
Любой частный случай рассматриваемой проблемной ситуации является своеобразной, чаще всего упрощенной, моделью. Наличие отношения частичного подобия между такой моделью и основной задачей позволяет использовать способ планомерного просмотра некоторой совокупности этих моделей – частных случаев – в качестве приема поиска решения исходной задачи. Рассмотрение крайних случаев является особым случаем приема рассмотрения частных случаев. Смысл его в том, чтобы на основе изучения поведения исследуемого объекта в крайних или предельных случаях, исходя из наибольших и наименьших значений, выявить область поиска решения задачи.
6 класс
а) Вова утверждал, что в этом году будет месяц с пятью воскресеньями и пятью средами. Прав ли он?
б) Произведение нескольких последовательных нечетных чисел оканчивается цифрой 9. Сколько в этом произведении множителей?
в) Из чисел от 1 до 252 выбросили все числа, делящиеся на 2, но не делящиеся на 5, и все числа, делящиеся на 5, но не делящиеся на 2. Сколько осталось чисел?
г) Из цифр 1, 2, 3, 4 составили два четырехзначных числа с различными цифрами. Докажите, что ни одно из них не делится на другое.
7 класс
а) Имеется прямоугольная пластинка весом в 10 г. Какими способами можно разрезать ее на 3 части с целым числом граммов каждая, чтобы с их помощью можно было взвесить любой предмет от 1 до 10 г?
б) Решить уравнение
[pic]
8 класс
а) Изобразить на координатной плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению
(х2 + 2х + 4)(у2 – 6у + 11) = 6
б) При каких значениях a неравенство
х3 – х2 – ах + 1> 0
выполняется для всех х > 0.
ПРИЕМ ПОЛУЧЕНИЯ СЛЕДСТВИЙ
Состоит в том, что раскрытие содержания исходных данных дает возможность получить некоторые выводы, а из полученных результатов – новые выводы и т. д. Нередко таким способом удается найти решение предложенной задачи.
5 класс
а) Сколько всего прапрабабушек и прапрадедушек было у всех Ваших прапрабабушек и прапрадедушек?
б) Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равны делимое, делитель, частное.
6 класс
а) Если четверть 20 равна 4, то сколько будет треть от 10?
б) Найти наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой 4 и обладающее тем свойством, что при перестановке этой цифры на первое место оно увеличивается в 4 раза.
7 класс
а) Найти третью от конца цифру в произведении всех натуральных чисел от 1 до 10.
б) Верно ли, что числа вида (а – 2b3 + 9)(5a + 2b3 – 8) при любых натуральных a и b всегда являются четными?
8 класс
а) Число a2 + 2a, где a – натуральное число, оканчивается цифрой 4. Найти предпоследнюю цифру этого числа.
б) Сумма двух чисел больше их произведения, но меньше их разности. Выяснить, положительны или отрицательны эти числа.
в) Верно ли, что числа вида (а – 2b3 + 9)(5а + 2b3 – 8) при любых натуральных а и в всегда являются четными?
г) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?
РАЗБИЕНИЕ « ЦЕЛОГО НА ЧАСТИ»
И РЕКОНСТРУКЦИЯ «ЦЕЛОГО ПО ЧАСТИ»
Разбиение «целого на части» - это достаточно универсальный эвристический прием, смысл которого заключается в том, чтобы найти такие «составляющие» данного объекта (выражения, фигуры), рассмотрение которых облегчает решение. Прием реконструкции « целого по части» используется для восстановления того или иного выражения по какой – либо его части, если это выражение совпадает с требуемым или ранее изученным.
7 класс
а) Найти быстро результат
[pic]
б) Доказать, что произведение
[pic]
в) Докажите, что
a3 + 3a2 + 8a при любом натуральном a делится на 6.
8 класс
а) Упростить
[pic]
б) Разложить на множители многочлен x3 + 11x – 12
в) Выяснить, при каких натуральных n число n4 + 4 является составным.
в) Клетки квадратной доски 2007 х 2007 раскрашены в белый и голубой цвета. У каждой белой клетки, не лежащей на стороне квадрата, среди восьми ее соседей ровно 5 окрашено в голубой цвет, а у каждой голубой клетки, не лежащей на стороне квадрата, - ровно 4 белых соседних клетки. Сколько всего белых клеток на этой доске?
г) Найти значения х и у, при которых выражение х2 – 2ху + 6у2 – 14x – 6у + 72
принимает наименьшее значение.
ПРИЕМ КОНКРЕТИЗАЦИИ.
КОНТРПРИМЕР И ПОДТВЕРЖДАЮЩИЙ ПРИМЕР.
Поскольку высказывания и равносильны, то для того чтобы убедиться в ложности высказывания вида, достаточно найти такое значение х из области Х, для которого свойство Р не выполняется. Такой способ рассуждений называется приведением контрпримера. (или опровергающего примера). В свою очередь, чтобы показать истинность утверждения, достаточно указать хотя бы одно значение х из области Х, для которого свойство Р выполняется. Это прием называется приведением подтверждающего примера.
5 класс
а) Верно ли, что если произведение двух натуральных чисел больше 100, то каждое число больше 10?
б) Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось 3 четырехугольника?
6 класс
а) Верно ли, что если к отрицательному числу прибавить его квадрат, то получится положительное число?
б) Известно, что число a меньше числа b. Могут ли быть равны модули этих чисел?
7 класс
а) Может ли квадрат разности двух чисел быть меньше разности их квадратов?
б) Является ли равенство [pic] тождеством ?
8 класс
а) Существует ли такое число x, для которого [pic] ?
б) Верно ли, что если [pic] , то c > 1 ?
в) Квадрат можно легко разрезать на 2 равных треугольника или 2 равных четырехугольника. А можно ли разрезать квадрат на 2 равных пятиугольника или 2 равных шестиугольника?
АНАЛОГИЯ. СРАВНЕНИЕ. ОБОБЩЕНИЕ.
Аналогия – это сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач.
5 класс
а) Найти слово, которое связано с третьим точно так же как первые два
УМЕНЬШАЕМОЕ – РАЗНОСТЬ, МНОЖИТЕЛЬ - ?
б) Исключить «лишнее» слово
ДЛИНА, ПЛОЩАДЬ, СЕКУНДА, МАССА
в) Продолжи ряд чисел
1, 3, 5, 7, …
1, 4, 7, 10, …
40, 38, 36, 34, …
1, 1, 2, 3, 5, 8, …
4, 13, 40, 121, …
г) Найдите правило нахождения числа, помещенного в окошке чердака. Вставьте число в свободное окошко.
86 36 ?
72 27 34 21 315 261
43 19 489
6 класс
а) Исключить «лишнее» слово
ЧЕТЫРЕ, ВОСЕМЬНАЦАТЬ, ПЯТЬ, СТО.
СЕМНАДЦАТЬ, ТРИ, СОРОК, ДВА.
б) Установить правило, по которому составлена таблица, и исключите «лишнее число»
[pic]
[pic]
[pic]
7 класс
а) Исключить лишнюю пару чисел на рисунке
(3; -5) (-2; 7)
[pic]
[pic]
(4; -2) (2; 4)
б) Исключить лишнее выражение 5аb, -3d·2c, 8х2 – xy + у, m3 .
