Программа
элективного курса
по алгебре
«Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля»
ИвановаВ.И.
учитель математики
МОУ СОШ №14
с. Орловки
Буденновского района
Пояснительная записка.
Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-ых классов посвящен задачам с модулем (абсолютной величины), которые представляют для учащихся сложности в логическом и психологическом плане.
В основной школе тема не изучается. Некоторые аспекты темы рассматриваются при решении линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств. Поэтому трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. А важные свойства, необходимые для решения задач, вообще отсутствуют. Но именно решение задач с модулем открывает перед учащимися большое число эвристических примеров общего характера, применяемых на любом математическом материале. Кроме того, задачи с модулем стали неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов (подобные задания также присутствуют в разделах В и С текстов ЕГЭ).
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных знаний. Создает целостное представление о задачах с модулем, формирует осознанный подход к решению задач с модулем. Необходимо уделить большое внимание психологическому аспекту решения задач, чтобы учащиеся перестали «бояться» модуля в задачах. В ходе изучения курса учащиеся знакомятся с подходами к решению основных типов задач с модулями. Организация работы на занятиях отличается от уроков: ученику необходимо давать время на размышления, учить рассуждать, выдвигать гипотезу. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения. Одной группе учащихся полезно дать возможность самим рассмотреть различные случаи, в другой группе учитель может сузить требования и рассмотреть конкретный алгоритм решения задачи.
Программа содержит три блока, связанные единой идеей. Учитель, в зависимости от уровня математической подготовки группы, может использовать все блоки или один из них.
Первый блок знакомит учащихся с основными понятиями «модуль», «задача с модулем», систематизирует ранее полученные знания о решении линейных уравнений и неравенств. По итогам изучения этого блока можно составить схему, в которой рассмотрены основные случаи, возникающие при решении линейных уравнений и неравенств с модулем.
Цель второго блока- рассмотрение квадратных уравнений и неравенств с модулем, опираясь на способы решения квадратных уравнений и неравенств, изучаемые в курсе алгебры 8-го и 9-го классов.
Третий блок позволяет показать практическое значение курса для построения графиков функций.
На изучение трех блоков отводится 15 часов, на определение успешности усвоения материала-2 часа.
Учебно-тематический план
5
Составление схемы
2.
Квадратные уравнения и неравенства с модулем: количество корней квадратного уравнения, решение квадратного уравнения с модулем, решение квадратного неравенства с модулем.
6
Зачет,
контрольная работа
3.
Построение графиков функций: график линейной функции и его расположение на координатной плоскости, график квадратной функции и его расположение на координатной плоскости.
4
Собеседование
4.
Проверка усвоения знаний.
2
Содержание программы
Тема 1. Линейные уравнения и неравенства с модулем.
Учащимся сообщается цель и значение курса, формируется понятие «модуль», «задача с модулем», рассматриваются основные способы решения линейных уравнений и неравенств с модулем. Лучшему осмыслению учебного материала способствует составление схемы, в которой рассмотрены основные типы задач.
Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства с модулем.
Программа общеобразовательных школ рассматривает различные способы решения квадратных уравнений и неравенств, определение количества корней квадратного уравнения. У учащихся имеется некоторый минимум знаний, позволяющий при рассмотрении данной темы обобщить и систематизировать способы решения квадратных уравнений и неравенств с модулем.
Тема 3. Построение графиков функции.
Учащиеся умеют строит график линейной и квадратичной функции, знают свойства рассматриваемых функций. Опираясь на имеющие знания, необходимо рассмотреть различные случаи расположения графиков функций указанного вида, построение на плоскости множеств точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям и неравенствам, содержащим знак модуля.
Проверку усвоения знаний учащимися можно провести в виде контрольной работы, зачета или другой формы по выбору учителя.
Литература
Ш.А. Алимов и др. Учебно-методический комплект для 7, 8, 9 кл. М: Просвещение, 2003г.
Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра. Учебно-методический комплект для 7, 8, 9 кл. М: Просвещение, 2003г.
А.Г. Мордкович. Учебно-методический комплект для 7, 8, 9 кл. М: Мнемоза, 2002г.
Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра: Дополнительные главы к учебнику 8 и 9 кл. М: Просвещение, 2002г.
М.И. Шабунин. Математика для поступающих в вузы.
Уравнения и системы уравнений, М: Аквариум, 1997г,стр.36-43.
6. М.И. Шабунин. Математика для поступающих в вузы.
Неравенства и системы неравенства. М: Аквариум, 1997г,стр.196-206.
7. И.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности в курсе алгебра 7-
9 кл. М: Просвещение, 1991г. Литература
8. Л.В. Кузнецова и др. Сборник задания для проведения письменного
экзамена по алгебре в 9 кл. М: Дрофа, 2004г.
9. Г.В. Дорофеев и др. Сборник заданий для подготовки и проведения
письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам
анализа (курс В) за курс средней школы. М: Дрофа, 2004г.
10.СимоновА.Я. Системы тренировочных задач и упражнений по
математике, стр.36-38,49-51.
Материалы для оказания помощи учащимся в проведении учебной практики.
Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля,надо
освободиться от знака модуля, используя его определение:
│х│={х,если х≥0,
-х,если х‹0.
На практике это делается так:
1)находят критические точки, т. е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2)разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
3)на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.
Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.
Пример1.Решить уравнение│х+3│=2х-1.
Решение.
Критическая точка находится после решения уравнения х+3=0, х=-3
1) При х‹-3 получаем уравнение –х-3=2х-1, откуда х=-2/3. Но найденное значение не входит в рассматриваемый промежуток.
2) При х≥-3 получаем уравнение х+3=2х-1, откуда х=4. Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.
Ответ:4.
Пример2.Решить уравнение│х+2│+│х+3│=х.
Решение.
Найдём критические точки:
х+2=0 или х+3=0;
х=-2 или х=-3.
Решаем задачу на каждом промежутке:
1) х‹-3, -х-2-х-3=х
-3х=5
х=-5/3(не входит в рассматриваемый промежуток).
2)-3≤х‹-2, -х-2+х+3=х
х=1(не входит в рассматриваемый промежуток)
3)х≥-2, х+2+х+3=х
х=-5(не входит в рассматриваемый промежуток)
Ответ: решений нет.
Пример3.Решить уравнение│х+5│-│х-3│=8
Решение.
Найдём критические точки:
х+5=0 или х-3=0;
х=-5 или х=3.
1) х‹-5, -х-5-(-х+3)=8,
-х-5+х-3=8
-8=8ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.
2) -5≤х‹3, х+5-(-х-3)=8
х+5+х+3=8( не входит в рассматриваемый промежуток)
2х=6
х=3 ( не входит в рассматриваемый промежуток)
3)х≥3, х+5-(х-3)=8,
х+5-х+3=8
8=8 верно.Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.
Ответ: [3; +∞).
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, находится аналогично решению уравнений подобного рода.
Рассмотрим это на примерах.
Пример 1. Решить неравенство│х+4│≥1
Решение.
Критическая точка находится решением уравнения х+4=0, х=-4.
1)Рассмотрим промежуток х‹-4.На нем исходное неравенство принимает вид
-х-4≥1.Решая это неравенство, найдём х≤-5.Так как х‹-4 и х≤-5, решением исходного неравенства будет промежуток х≤-5.
2) Рассмотрим промежуток х›-4.На нём исходное неравенство будет иметь видх+, откуда х+4≥1, откуда х≥-3. Так как х›-4 и х≥-3,то решением исходного неравенства будет промежуток х≥-3
3) Учитывая случаи 1) и 2) ,окончательно имеем х≤-5 и х≥-3.
Ответ: х≤-5 и х≥-3.
Пример 2. Решить неравенство│х-3│‹1.
Решение.
Найдём критическую точку х-3=0, т.е. х=3.
1)Рассмотрим промежуток х‹3.В этом случае имеем
{ х‹3, откуда{ х‹3,
-х+3‹1, х›2.
Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток(2;3).
2) Рассмотрим промежуток х≥3.В этом случае имеем
{ х≥3, { х≥3,
х-3‹1, или х‹4.
Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток[3;4).
3)Рассмотрим вместе эти промежутки. Решением неравенства будет промежуток(2;4).
Ответ: (2;4).
Пример 3.Решить неравенство│2х-1│-│х-2│≥4.
Решение.
Критическими точками являются х-1/2 и х=2.
1)Рассмотрим промежуток х‹1/2. На нём исходное неравенство имеет вид
-2х+1-(-х+2) ≥4, откуда х≤-5. Следовательно, на этом промежутке решением неравенства будет промежуток х≤-5.
2) Рассмотрим промежуток 1/2≤х‹2. На нём исходное неравенство имеет вид
(2х-1)-(-х+2) ≥4, откуда х≥7/3. Таким образом, исходное неравенство на этом промежутке не имеет решения.
3) Рассмотрим промежуток х›2. На нём исходное неравенство имеет вид
(2х-1)-(х-2) ≥4, откуда х≥3.
4)Объединение полученных решений х≤-5 и х≥3 будет решением исходного неравенства.
Ответ:-∞ ‹х≤-5 и 3≤х‹+∞.
Построение графиков функций.
1.Построить график функции у=│f(х) │.
По определению имеем:
│f(х) │={ f(х),если f(х) ≥0
- f(х),если f(х) ‹0.
Поэтому график функции у=│f(х) │совпадает с графиком функции f(х) на тех промежутках,где f(х) ≥0,а на тех промежутках, где f(х) ‹0, график функции у=│f(х) │получается из графика функции у=f(х) спомощью симметрии относительно оси Ох.
2. Построить график функции у=f(│х│) .
Если х≥0, то│х│=х, поэтому f(│х│) =f(х),т.е. при х≥0 графики функций у=f(│х│) и у=f(х) совпадают.Функция у=f(│х│) является чётной, так как│х│-чётная функция; поэтому её график при х ‹0 симметричен относительно оси Оу графику этой функции.Другими словами, для построения графика функции у=f(│х│) надо построить график функции у=f(х), затем оставить только его часть, лежащую справа от оси Оу, и отобразить эту часть симметрично той же оси.
3. Построить график функции у=f(-│х│) .
Функция f(-│х│) также является чётной.Чтобы построить график функции
f(-│х│), оставим часть графика функции у=f(х), лежащую слева от оси Оу и отобразим эту часть симметрично относительно той же оси.
4. Построить график функции│ у│=f(х) .
Чтобы по известному графику функции у=f(х) множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению│ у│=f(х),надо взять ту часть графика у=f(х) ,которая расположена над осью Ох, и добавить к ней её симметричное отбражение относительно оси Ох.
5. Построить график функции│у │=│f(х) │.
Построим график функции у=f(х).Тогда, осуществляя уже известные преобразования графиков, построим сначала график функции у=│f(х) │,а затем –множество точек, координаты которых удовлетворяют условию
│у │=│f(х) │.
Тестовый материал уровневого контроля знаний.
Отметьте номер правильного ответа
1)Произведение корней уравнения х2-12=│х│ равно
а)-16 б)144 в)-12 г)-9 д)-144
2)Сумма корней уравнения │х+1│=2│х-2│ равна
а)4 б)5 в)-2 г)6 д)7
3)Решение неравенства │х2-2,5│‹1,5 имеет вид
а) (-2;-1);(1;2) б) (-2;-1) в) (1;2) г)(-2;2) д) (-2;0);(0;2)
4)Если х€(-4;4), то множеством значений функции у=│х2-9│ является промежуток
а)[0;7] б) [7;9] в)(7;9] г)[0;9] д)(0;9)
5) Наименьшее решение неравенства │х2-6х-6│≤3х принадлежит
промежутку
а)[7;+∞) б)Ǿ в)(- ∞;-1) г)[-1;6] д) (6;7)
Б)Напишите правильный ответ.
1)Найдите сумму корней уравнения х2-4х+2=(│5х-4│)/3
2)Решите неравенство │х2-5,5│‹4,5
С)Найдите наибольшее натуральное значение параметра с, при котором решение││2х+4│-7│-13≤2с2 удовлетворяет условию х
Методическое обеспечение элективного курса по алгебре «Задачи с модулем»
Линейные уравнения с модулем
Условие Ответ
│ х │=3 3;-3
│ х +4│=0 -4
│ х +4│=2х 4
│ 2х+1│=2х решений нет
│ 2х-3│=х 1;3
│ х-5│=3 2;8
│ х+5│=-3 решений нет
│ х+1│=-3х -0,25
│ 2х+1│=х решений нет
│ х │=│2х-5│ 5/3;5
│х+3│=2х-1 4
│х+2│+│х+3│=х решений нет
│ х+5│-│х-3│=8 [3;+∞)
│ х+5│=│10+х│ -7;5
│х+3│+│ 2х-1│=8 -10/3;2
│3х+1│+х=9 -5;2
│5-х│=2(2х-5) 3
│х-3│+2│х+1│=4 -1
│5-2х│+│х+3│=2-3х (-∞;-3]
│5-х│+│х-1│=10 -2
│4-х│+│х-2│=2 [2;4]
│х-2│+│ х+5│=3 -3
│-х+2 =2х+1 1/3
│х-3│=│ х+1│ 1
│2х+3│=│2х-5│ ½
(1-2х)/(3-│х-1│)=1 -1/3
│х-│4-х││-2х=4 0
│3х-8│-│3х-2│=6 (-∞;2/3)
│х│+│7-х│+2│х-2│=4 решений нет
│ х-1│=-х+2 2
│ х-1│=х+2 -1/2
│ х-1│=5 -4;6
│х+1│=2,5 -3,5;1,5
2│ х-1│=3 -0,5;2,5
│3х+2│=4 -2;2/3
│-3-2х│=1 -2;-1
│х-2│+│х+8│=10 [-8;2]
│4-х│+│5+х│=19 -10;9
│-2х-1│+2│-х+3│=7 [-1,5;3]
│х-3│=5 -2;8
│х+4│+1=0 решений нет
│3х+2│-4=0 -2;2/3
│(3-х)/(х-1) │=1 2
││2х-5│-3│=2 0;2;3;5
│х+5│=3 -8;-2
│4-3х│-2=0 2/3;2
││х-2│-3│=1 -2;0;4;6
││3х+6│+1│=5 -10/3;-2/3
│х-4│=3 1;7
│х+2│=7 5;-9
│х-2│+│х+3│=7 -4;3
│х-5│-│х-2│=3 [2; +∞)
3│х-1│-2│х-2│+│х+3│=2 [-3;1]
│х│+3│х+2│=2│х+1│ -2
│2х+4│+│х-3│=х+7 [-2;3]
│х+3│+│3х-2│=4х+1 [2/3;+ ∞)
2 │х+1│+│х│=х+2 [-1;0)
│х-3│+3│х+1│=4х [3; +∞)
2/ │х-2│+1=│х/(х-2) │ (2; +∞)
│х-1│=3-│х│ -1;2
│х-3│+2│х+1│=4 -1
│ х-4│ =5-2х 1
│ х-1│ +│ х-2│ +│ х-3│ =2 2
│ 5х+3│ =1 -4/5;-2/5
│ 2х+5│ +│ 2х-3│ =8 - 2,5≤х≤1,5
│2х-3│ =5 4;-1
│ х-3│ =│ х│ -3 х≥3
2│ х+6│ -│ х│ +│ х-6│ =18 -12; [0;6]
│х+1│=3 -4;2
│х-1│-│х-2│=1 х≥2
│ х│ -2│ х+1│ +3│ х+2│ =0 -1;4
│ 3х-4│ =0,5 7/6;3/2
│ 2х+1│ -│ 3-х│=│ х-4│ 3/2
│ (2х-1)(х+2)-1│ ≤4 х≤-9/2;х≥-7/6
│ 2х-1│ +х=3 -2;4/3
│ 1-х│ +2=│ 3-х│ х≤1
│ х-1│ +│ 1-2х│ =2│ х│ 2;2/5
│ х│ -│ х+2│ =0 -1
│ х│ -2│ х+1│ +3│ х+2│ =0 -2
│ 2х-3│ -│ 5х+4│ =0 -1/7;-7/3
2│ 3х+1│ -5│ 2-х│ =4│ х+8│ -7 -7;4
│ │ 3-2х│ -1│ =2│ х│ ½
│ х+1│ =│ 3-2х│ 2/3;4
Линейные неравенства с модулем
Условие Ответ
│ х+4│ ≥1 х≤-5;х≥-3
│ х-3│ ‹1 2‹х‹4
│ 2х-1│ -│ х-2│ ≥4 -∞ ‹х≤-5; [3;+ ∞)
│ х+1 │ ‹ │ х-3│ х ‹ 1 ( 2х-1)( │х+1│-│х-3│) ‹ 0 1/2 ‹ х ‹ 1
│ х+1│ +│ х-3│›6 х‹-2;х ›4
│х+2│ ›│х-4│ х ›1
│2х+ 3│ ‹│2х-5│ х ‹ ½
(х-2)( │х+5│-│х-1│) ‹0 -2‹х‹2
│х+3│+│х-1│›5 х ‹ -7/2; х ›3/2
│х-2│≤4 [-2;6]
│х+3│ ≥ 1,5 (-∞ ;-4,5] ; [-1,5; +∞)
3│ х-2│ ‹ 5 (1/3;11/3)
│2х+1│›3 (-∞ ;-2] ; [1; +∞)
│ -4-3х│ ‹ 1 (-5/3;1)
│ 1-х│ +│ 2-х│›1 (-∞ ;+ ∞)
│1-х│+│-х-3│ ≤4 [-3;1]
│1+3х│+│1-3х│ ‹ 4 (-∞ ;0] ; [2/3; +∞)
│3х+1│ ‹ 2х+3 (-4/5;2)
│ 5х-1│›3-х (-∞ ;-0,5) ; (2/3; +∞)
│ 2х+5 │›3-5х (8/3; +∞)
│ -х-3│›13+х (-8; +∞)
1≤ │ 3х-2 │ ≤2 0≤х ≤1/3; 1≤х ≤4/3
│(3х+1)(х+3)-1│ ‹ 3 х›-5/3
│(х+2)-1│ ‹2│(х-1)-1│ х ‹-5; -1 ‹х ‹1; х›1
Решить неравенство и указать наименьшее положительное решение для каждого из них.
Условие Ответ
│х│ ‹3 1
│х-3│‹2 2
│х+2│›-2 (-∞ ;+ ∞)
│х-7│ ≤0 7
│3х-2,5 │ ≤2 1
│х│›1 2
│х+1│› 1 1
│х+3│‹ -1 решений нет
│х-2│(х-1) ›0 3
│5-2х│› 1 1
Квадратные уравнения с модулем
Условие Ответ
│х+2 │=2/(3-х) (1-√33)/2;(1+√17)/2
│х2-1 │+х=5 -3;2
│х2+х │+3х-5=0 -5;1
│(х+1)/(х-1) │=1 0
х2+ │х-2 │-10=0 3; (1-√33)/2; (1+√33)/2
│х2+4х+2│=(5х+16)/3 -1/3;1
│х-6│=│х2-5х+9│ 1;3
5/(3-│х-1│)=│х│+2 3;-3;-2+√5
│х2-4х│=5 -1;5
│х-4,2│(х-4,2)=-1 3,2
х2 +2х-3=3│х+1│ 3;-5
│х2-х-1│+│х2-х-3│=6 (1-√21)/2; (1+√21)/2
│х2+х│+│х+2│=х2-2 х ≤-2
х2-4х-4=2│х-2│ -2;6
│х2+х+1│+│х2+х-3│=6 -(1+√17)/2; (√17-1)/ 2
│х3-3х2+х│=х-х3 0;2/3
│х2-х│+│х+1│=х2-2х-1 х ≤-1
√(х-1)+ │х-2│=│х-3│ 2
(3х2+2-│2х+3│)/(│х│-1)=0 -1/3
х2 -5│х│+6=0 -3;-2;2;3
2│х2+2х-5│=х-1 1,5; (-5+√113)/4
│7х2-х-3│+ │7х2-х-5│=4 -6/7;(1-√57)/14;( 1+√57)/14
│6х2-7х+2│=2-х 0;1
│2х2-х-1│=2х2+х+1 -1;0
│х3-х-1│= х3-х2+1 -0,5;0;1;2
│х2-2х-1│=2 -1;1;3
│х2+3х-4│=6 -5;2;-1;-2
4/│х2-4│+1=│х2/(х2-4) │ (-∞ ;-2) ; (2; +∞)
│х/(х-1) │+ │х │= │х2/(х-1) │ (1; +∞)
│ х2+2х│ +│ 2-х│=│ х2-х│ ( √5-1 )/2
х2 -2│ х│ -8 ≥0 х ≥4;х≤-4
│ х2-1│ =│ х│ -1 1;-1
│ х2-2х│-3=0 3;-1
│2х-х2-8 │ =х2-1 7/6;3/2
│2х-х2-3 │ =2 1
│х2-9 │+ │х-2 │=5 -3;2;(-1+√65)/2
│х2-6х+7│=1/3(5х-9) 3;6
│х2-8х+5│=│х2-5│ 0;5/4;4
6-5│х│=-х2 -3;-2;2;3
(х2-5х+6)2-5│х2-5х+6│+6=0 1;4;(5+√13)/2; (5-√13)/2
Квадратные неравенства с модулем
Условие Ответ
Решить неравенства и указать наименьшие целые положительные решения для каждого из них.
│2х2-9х+15│ ≥2 1
х2 - │5х+6│›0 7
│3+х│ ≥х 1
│х-9│ ≤0 9
1/х ≥1/3 1
│х2+5х│‹6 решений нет
│х3-1│(х-9) ‹0 2
│х│+│х+3│‹5 решений нет
│х-2│+│х+2│ ≤4 1
│ 2х-1│+│х-3│≤4 1
│2х2+х-3│+│2х2+х-10│≤7 [-2,5;-1,5] ; [1;2]
Решите неравенства
│х2+4х+3│›х+3 х ‹-3;-3 ‹х ‹-2;х›0
2х2-│х-1│≥0 х≥1; х ≤-1
│ (х2-5х+4)(х2-4)-1│≤1 х≥2,5; 0≤х≤1,6
│х2-6х+8│‹4-х 1‹х‹3
х2-6│х│-7 ≤0 -7≤х≤7
│ (х-6)(х2-5х+9)-1│›1 1‹х‹3
│х2+3х│+х2-2≥0 х ≤-2/3; х≥1/2
х2+8│х│+7≥0 (-∞ ;+ ∞)
│х2-3│+2х+1≥0 х≤-1-√3; х≥1-√5
х2-4│х│-12≥0 х≥6; х ≤-6
│х2-5х│ ‹6 -1‹х‹2; 3‹х‹6
х2-7│х│+12≤0 3 ≤х≤4; -4≤х≤-3
│(х2-2х+1)(х-3)-1│›1 х‹-1; 2‹х‹3; х›3
│х3-1│≤х2+х+1 [0;2]
х2-3│х│+2≤0 [1;2]; [-2;-1]
│(х+2)-1│ ‹2│(х-1)-1│ х‹-5; -1‹х‹1; х›1
│х2-х-8│≤х 22/3 ≤х≤4
х2 -7│х│-30 ≥0 х≥10; х ≤-10
│(х-1-х2)(х2-3х+4)-1│≤1 х ≤2/3
│х2-2х-8│‹2х (-∞ ;2√2 ); (2+2√3; +∞)
х2-2 │х│‹3 (-3;3)
х2+6х-4│х+3│-12 ≥0 (-∞ ;10] ; [4; +∞)
(│х-3│)/(х2-5х+6) ≥0 [1,5; 2)
Построение графиков функции
3│Постройте графики:
*у=│х2-2х-3│
*у=х2-2│х│-3
*f(-│х│)= х2+2│х│-3
*│у│=х2
*│у│=х2+1
*│у│=х2-2х-3
*│у│=│х2-2х-3│
*у=│х2-2│х│-3│
*у=(│х+1│+1)(х-3)
у={((х+1)+1)(х-3)=(х+2)(х-3),если х ≥-1
(-(х+1)+1)(х-3)=-х(х-3),если х‹-1
*у=│х-1│(│х│-1)
если х‹0, то у=(-х+1)(-х-1),т.е.у=х2-1
если 0≤х‹1,то у=(-х+1)(х-1), т.е.у=-(х-1)2
если х≥1,то у=(х-1)(х-1), т.е. у=(х-1)2
*у=х3/│х3│-х2
у={-х2-1,если х‹0
-х2+1,если х›0
*у=│6х-5-х2│
* у=6│х│-5-х2
*│ у│=6х-5-х2
*│у│=│6х-5-х2│
* у=│6│х│-5-х2│
*у=((х-1)(1-х2))/ │х+1│
*у=((х2+3)(х-1))/ │х-1│
*у=(│х-2│(х2-4х+6))/(х-2)
Задачи с модулем
Условие Ответ
Упростите выражение
*(а2-4)/( │а│+2) при а€[0; +∞) а-2
при а€(-∞;0) -(а+2)
*(а2-│а│+1-а)( │а-1│) при а€(-∞;0) (а2+1)(1-а)
при а€[0; 1) 1-а
при а€(1; +∞) а-1
*(│х2-1│+3х2+3)/(2х2+1)+( │х+1│)/(х+1) при х €(-∞;-1) 1
при х €(-1;1) (4х2+5)/(2х2+1)
при х€[1; +∞) 3
*(│х3-1)+ │х+1│)/(х3+х) при х €(-∞;-1) 1
при х €[-1;0) ;(0;1) (2+х-х2)/(х3+х)
при х€[1; +∞) 1
*(m│m-3│)/((m2-m-6) │m│) при m€(-∞;-2) ; (-2;0); [3; +∞) 1/(m+2)
при m€(0;3) 1/(m+2)
* │(│х-2│+4)/(х-2) │(х2-4) при х€(-∞;2) х2-4х-12
при х€(2; +∞) (х+2)2
*( │х+3│)/(х2-9) при х€(-∞;-3) 1/(3-х)
при х€(-3; +∞) 1/(х-3)
*(│х││х-1│)/(х2-х+1-│х│) при х€(-∞;0) (х2-х)(х2+х)
при х€[0; 1) х/(1-х)
при х€(1; +∞) х(х-1)
*(││х-1│-1││х│)/(х2-1) при х€(-∞;-1) х/(х-1)
при х€(-1;0) х/(1-х)
при х€[0; 1) -х(х+1)
при х€(1; +∞) х(х+1)
*(х2-1+│х+1│)/(│х│(х-2)) при х€(-∞;-1) _(х+1)/х
при х€[-1; 0) (х+1)/(2-х)
при х€(0;2) ; (2 +∞) (х+1)/(х-2)
Какая из данных функций чётная, а какая нечётная?
*f(x)= (│х-4│/(х+1))/( │х+4│(х-1)) чётная
*f(x)=x│x│+2х-2-х нечётная
*f(x)=(x+5)(x-3)-(x-5)(x+3) нечётная
*f(x)= │3-x│+2│x│+√(x2+6x+9) чётная
Программа предусматривает использование фронтальной, индивидуальной, групповой форм работы обучающихся. Фронтальная форма предусматривает подачу материала всему коллективу учеников. Индивидуальная форма предполагает самостоятельную работу обучающихся. В программе приоритетное место отводится индивидуальной работе. Групповая работа позволяет ориентировать учеников на создание так называемых «творческих» пар или подгрупп с учетом их возраста и опыта исследовательской деятельности.
В процессе обучения предусматриваются следующие формы учебных занятий: типовое занятие (сочетающее в себе объяснение и практическое упражнение), собеседование, консультация, дискуссия, практическое упражнение под руководством педагога по закреплению определенных навыков, самостоятельное исследование, защита исследования.
Процесс обучения предусматривает следующие виды контроля:
вводный, который проводится перед началом работы и предназначен для закрепления знаний, умений и навыков по пройденным темам;
текущий, проводимый в ходе учебного занятия и закрепляющий знания по данной теме. Он позволяет обучающимся усвоить последовательность исследовательских операций;
итоговый, проводимый после завершения всей учебной программы.
Программа данного элективного курса включена в сборник программ элективных кукрсов по математике в предпрофильном обучении учащихся (на основе опыта работы учителей математики ставропольского края)
