Тема: Алгебраические способы решения мудрых старинных задач.
Цели: закрепить знания и умения геометрической прогрессии, применять знания геометрической прогрессии при решении старинных задач, через которые мы учимся быть добрыми, щедрыми, заботливыми.
Организационный момент.
Здравствуйте ребята! Здравствуйте наши гости! Давайте, ребята начнём урок с обмена хорошего настроения. Подарим улыбку друг другу и подарим улыбку нашим гостям. Пусть сегодня у всех будет хорошее настроение.
Эпиграф: Когда по склонам вечной суеты
Бежать от неудач устанешь люто,
Направь шаги Тропою Доброты
И радость помоги найти кому – то.
И. Романов.
Начать наш необычный урок, я хочу словами:
«Делать людям добро – добреть самому».
Как вы ребята понимаете эти слова? Надо быть хорошим человеком, делать то, что нравится, оставлять добрый след.
Сегодня мы с вами закрепим геометрическую прогрессию и по решаем старинные задачи – посмотрим чему учат эти задачи.
Актуализация знаний и умений учащихся:
1) Дать определение геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число
2) Что нужно знать, чтобы задать геометрическую прогрессию?
Достаточно указать в1 и знаменатель q.
1
Раздать карточки слабым учащимся
3) «Кто быстрее»
По периметру класса развешаны карточки с формулами. По команде «Вперёд» - учащиеся должны найти формулы, относящиеся к геометрической прогрессии.
Подводится итог, правильно или нет, собраны формулы.
Применение практическое.
1) Найдите q и в1 геометрической прогрессии, если в5 = 64; в3 = 4
в5:в3 = (в1 * q4):(в1 *q2) = q2; 64:4=16; q2=16; q=4;
в3=в1*q2; 4 = в1 * 16;
в1 = 4 / 16 = 1 /4
2) Для геометрической прогрессии вn = 4 * 2n – 1. Найдите в2 и в5
в2 = 4 * 22-1 = 4 * 2 =8; в5 = 4 * 25-1 = 4 * 24 = 4 * 16 = 64
3) Известно в2 = 1, в4 = 9. Найдите в3, в1.
в4:в2 = (в1 * q3):(в1 * q) = q2; 9:1 = 9; q2 = 9; q = 3;
в2 = в1 * q; в1 = 1 / 3; в3 = в1 * q2 = 1/3 * 9 = 3.
Y. Сообщение учащегося «числа Фибоначчи»
Мы мало знаем о великих математиках, учёных. Которые внесли большую лепту в развитие математики. Оля Качина познакомит нас с сообщением «числа Фибоначчи», кто это за учёный и что он сделал для математики.
YI. Решение задач.
В стариной «Арифметике» Магницкого (которой в 2003г. Исполнилось 300 лет) приведена следующая задача:
1) Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря:
- Нет мне расчета, покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
2
Тогда продавец предложил другие условия:
- Если, по – твоему, цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в подкове шесть. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 копейки, за второй 1/2 копейки, за третий 1 копейку и т. д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей. Так ли это?
Составим последовательность из 24 чисел:
1/4; 1/2; 1; 2; 22; 23;…;221.
Данная последовательность является геометрической прогрессией.
В1 = 1/4; в2 = 1/2; q = 2
Чтобы узнать заплаченную цену, надо найти сумму чисел.
[pic]
Вывод: скупой платит дважды. Жадность, алчность сыграли злую шутку с покупателем.
3
Зарядка для глаз: вдаль «т» и себе на нос…
2) «легенда о создателе шахмат»:
По преданию, индийский принц Серам восхищённый игрой, призвал к себе её создателя, учёного Сету, и сказал:
- Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твоё желание.
Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 зерно, на вторую 2 зерна, на третью 4 зерна и т. д.
Смог ли принц Серам выполнить желание Сеты?
Решение:
1; 2; 4; …
В1 = 1; в2 = 2; q = 2. Всё ли вам нравится? Нет ли здесь подвоха? «Найди ошибку»
[pic]
(18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона
73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 зерен)
Ответ: больше триллиона тонн
Вывод: не обещай того, что не сможешь выполнить. Не будь заносчивым, самоуверенным. Бедный, но умный.
3) Задача на убывающую геометрическую прогрессию.
Дан квадрат, сторона которого равна 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д.
4
Найти сумму площадей всех квадратов.
Решение:
Ясно, что площадь каждого следующего квадрата равна половине площади предыдущего. Значит, последовательность площадей квадратов является геометрической прогрессией.
Первый член, которой равен 16, второй член равен 8, знаменатель равен 1/2.
Найдём сумму этой геометрической прогрессии
[pic]
Ответ: сумма геометрической прогрессии равна 32 см2.
YII. Диктант.
Вариант 1. Вариант 2.
1. У геометрической прогрессии первый член равен 8, второй член 4. Найти знаменатель q.
1. У геометрической прогрессии первый член равен 9, второй член 3. Найти знаменатель q
2. У геометрической прогрессии первый член равен 9, второй член 3. Найти b3
2. У геометрической прогрессии первый член равен 8, второй член 4. Найти b3
3. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии, если её первый член равен 1, а знаменатель q = -2.
3. Найдите шестой член геометрической прогрессии, если её первый член равен 1, а знаменатель q = -2.
Ответ:
Вариант 1. Вариант 2.
1. b1=8, b2=4
q=4/8=1/2
1. b1=9, b2=3
q=3/9=1/3
2. b1=9, b2=3, b3=?
q=3/9=1/3
b3=b1*q2=9*(1/3)2=1
2. b1=8, b2=4, b3=?
q=4/8=1/2 b3=b1*q2=8*(1/2)2=2
3. b1=1, q=-2, b4=?
b4=b1*q3 =1*(-2)3=-8
3. b1=1, q=-2, b6=?
b6=b1*q5 =1*(-2)5=-32
YIII. Итог урока:
Сегодня мы увидели, как в жизненных ситуациях, всегда оставаться порядочными людьми: добрыми, правдивыми, искренними …
Любая старинная задача учит не только математике, но и смыслу жизни.
Понравился урок? Как настроение? Кому за урок скажем спасибо?
Я вас тоже благодарю.
Спасибо всем!
6
