Школьный этап всероссийской олимпиады школьников в 2016-2017 учебном году
Задания олимпиады по математике
6 класс
1. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Расставьте их так, чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника (рис. 1) была равна 20
2. Поставь вместо букв такие цифры, чтобы равенство оказалось верным (одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).
3. Девочка покупает карандаши и ручки. На имеющиеся деньги, она может купить 12 карандашей или 6 ручек. Но она захотела купить одинаковое количество карандашей и ручек. Сколько?
4. Из 27 монет одна фальшивая. Фальшивая монета легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
5. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегда лгут. К группе из четырёх островитян вы обратились с вопросом: «Сколько рыцарей среди вас?» На этот вопрос они дали такие ответы. Первый: «Все мы лжецы», второй: «Среди нас один лжец», третий: «Среди нас два лжеца», четвёртый: «Я ни разу не солгал и сейчас не лгу». Сможете ли вы определить, кем являлся четвёртый абориген? (рыцарь)
Ответы и решения
2. А=1, В=9, О=0
3. Ответ 4 комплекта
Примечание: учащиеся 6 класса могут эту задачу решить в частях
Вариант решения: Пусть карандаш стоит 1 денежную единицу, тогда ручка стоит 2 денежные единицы. 1 комплект = 3 денежным единицам. Т.к карандашей 12, то денежных единиц 12, значит 12:3=4 комплекта.
4. Разделим все монеты на 3 кучки по 9 монет.
1. Взвесим две любые кучки. Во время этого первого взвешивания определим кучку, в которой находится фальшивая монета. Если взвешиваемые кучки по весу равны, то фальшивая монета находится в третьей кучке, в противном случае поддельная монета окажется в той кучке, которая окажется легче.
2. Из подозрительной кучки в 9 монет возьмем две любые тройки монет и взвесим их. Если выбранные произвольно группы из трех монет окажутся равными по весу, то фальшивая монета будет в третьей, невзвешиваемой тройке, в противном случае поддельная монета в той кучке из 3 монет, которая окажется легче.
3. Возьмем из подозрительной тройки монет две любые и взвесим. Та монета, которая поднимется на весах, и будет фальшивой. Если выбранные монеты окажутся одинакового веса, то поддельной будет третья монета.
Таким образом, из 27 монет с помощью трех взвешиваний всегда можно найти одну более тяжелую монету.
5. Первый не может быть рыцарем. (Если бы он был рыцарем, то говорил бы правду; но он говорит, что все лжецы, в том числе и он сам.) Значит первый — лжец. Если второй — рыцарь, то он говорит правду, и, поскольку первый — лжец, то второй, третий и четвертый — рыцари. Но слова третьего противоречат словам второго, значит, они не могут быть рыцарями одновременно. Поэтому второй — тоже лжец. Если третий — лжец, то четвёртый — рыцарь (если он тоже лжец, то первый сказал правду, что неверно). Если же третий — рыцарь, то лжецов двое. Нам известно, что первый и второй — лжецы, а значит, четвёртый и в этом случае — рыцарь.
Критерии оценивания
Правильность (ошибочность) решения 7
Полное верное решение.
6-7
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6
4
Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2-3
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
1
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.
