Познавательные и исследовательские задачи по математике для учащихся 5-6 классов (Дидактический материал)
2.1.Геометрические задачи с элементами исследования
Задача 1. Даны при прямые. На каждой прямой - две точки. Сколько всего точек?
Ответ:3,4, 5 или 6.
Решение:
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Задача 2 а) Начерти две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую ,пересекающую каждую из этих прямых, и не проходящую через точку пересечения . Сколько точек попарного пересечения прямых у вас получилось?
Решение:
[pic]
б) В некотором городе три попарно пересекающиеся улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Сколько всего светофоров в городе? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? Если прокладка улиц будет продолжена таким же образом, можно ли сказать , сколько будет светофоров в городе с шестью улицами? С п улицами?
Решение:
[pic] [pic]
Ответ: 3,6, 15, п*(п-1)/2
Задача 3: на сколько частей можно разрезать круг тремя прямолинейными разрезами? А если разрезов четыре, пять, n?
Рекомендации к решению: Составьте таблицу: в первой колонке – число разрезов, во второй – наименьшее число частей, в третьей – наибольшее. Найдите закономерности во второй и в третьей строчках. ( число частей при проведении новой прямой увеличивается на столько, на сколько частей делят эту прямую проведенные ранее прямые.)
Задача 4: а) Постройте окружность и проведите её диаметр АВ, постройте угол АСВ с вершиной С , лежащей на окружности. Каким ( острым, прямым или тупым) является этот угол? Постройте и измерьте ещё два угла с вершинами на окружности, « опирающиеся» на диаметр. Какой вывод можно сделать?
б) Начертите в тетради окружность. Проведите отрезок АВ с концами на окружности, не являющийся диаметром. Отметьте на окружности точки С, Д. и Е так, чтобы угол АВС был прямым, угол АВД – острым, угол АВЕ - тупым.
Решение:
[pic] [pic]
Задача 5: а) Сколько углов, равных 60 градусам и имеющих общую вершину и общие с соседями стороны, можно построить?
б) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.
в) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?
[pic] [pic]
в) много.
Задача 6:Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так:
найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, их на 3 меньше, чем вершин;
умножить это число на число вершин;
разделить результат на 2 ( объясните почему);
Сколько диагоналей у семиугольника? Десятиугольника? Сто угольника? У какого многоугольника 9 диагоналей?
[pic] [pic] Решение:
1) (7-3)*7:2= 14
2) (10-3)* 10:2= 35
3) ( 100-3)*100:2= 4850 4) шестиугольник имеет 9 диагоналей (6-3)* 6:2=9
Задача7: Начертите в тетради квадрт, прямоугльик. треугольник, отметьте точки, которые равноудалены от всех вершин данных фигур.
[pic]
2) На рисунке изображены три домика. Покажите, где надо выкопать колодец, чтобы он находился на равном расстоянии от каждого. Ответ обоснуйте.
[pic] [pic]
Ответ: точка пресечения серединных перпендикуляров равноудалена от сторон треугольника.
3)Три друга: Иванов, Петров, Сидоров решили построить колодец так, чтобы он располагался на одинаковом расстоянии от домов Иванова и Сидорова, но ближе к дому Петрова. Как это сделать?
[pic] Ответ: колодец может располагаться на отрезке ОП.
(При решении испоьзовать свойства серединного перпендикляра).
Задача 8: 1) Начерти квадрат и треугольник. Для каждой фигуры укажите точку, равноудалённую от всех её сторон. Объясните, как вы рассуждали.
2)Подумайте, может ли точка, не лежащая на биссектрисе, быть равноудалённой от сторон угла.
3) Маша и Саша решили путешествовать автостопом. В один из дней своего путешествия они оказались в треугольнике, образованного тремя дорогами, и тут у них разгорелся спор – в какую сторону ехать и по какой дороге. В конце концов, они решили поехать по той дороге, по которой пойдёт первая машина. Покажите, где они должны стоять, чтобы находиться на одинаковом расстоянии от каждой из трёх дорог. Ответ обоснуйте.
[pic] При решении использовать свойства биссектрисы угла.
Задача 9:Построить несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найти их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1.
1. «Прямые» квадраты:
[pic]
Их площадь найти легко: это квадраты длин их сторон, а стороны равны целому числу клеток. Площади прямых квадратов – это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.
2. «Косые» квадраты
[pic]
Как найти площадь «косого» квадрата?
[pic]
Решение:
Впишем наш «косой» квадрат в «прямой» (рис. 1).
Чтобы найти площадь S «косого» квадрата, надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые.
А теперь передвинем прямоугольные треугольники внутри большого квадрата так, чтобы получилось два «прямых» квадрата, как показано на рис. 2.
Площадь одного квадрата равна a2, а второго ─ b2. Сумма их площадей как раз равна площади «косого» квадрата, потому что это площадь большого «прямого» квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников.
Значит,
S=a2+b2.
Если сторону «косого» квадрата обозначить через c, то его площадь S=c2. Поэтому c2=a2+b2. Так мы пришли к теореме Пифагора для закрашенных прямоугольных треугольников.
Какими же числами может выражаться площадь «косого» квадрата с вершинами в узлах сетки? Это такие числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. Например,
26=1+25
13=4+9
50=25+25.
А, например, квадрата с вершинами в узлах сетки и площадью, равной 31, не существует, потому что
31=1+30=4+27=16+15=25+6,
т.е. 31 не разбивается на сумму двух квадратов целых чисел.
.2. Экспериментируем с числами
Задача 9: Числа, которые можно представить в виде данных схем, Пифагор назвал треугольными.
[pic]
Заполните таблицу треугольных чисел:
2)В каком порядке идут чётные и нечётные числа в последовательности треугольных чисел?
3)Чётными или нечётными являются треугольные числа17,18,19.20 ?
[pic]
Решение:
Задача10 : 1) Проверьте равенство:1+3=, 1+3+5=, 1+3+5+7=
Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел. В чём состоит этот приём? Запишите следующее равенство и проверьте себя с помощью вычислений.
2) Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:
а) сумму первых десяти нечётных чисел:
б) сумму всех нечётных чисел от1 до 99.
Решение: 1) 1+3+5+7+9=
25=25
2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19==100
3)1+3+5+7+…+99==2025
1+3+5+7+9
11+13+15+17+19
…
5* 9=45
Задача 11:
1) Как известно простое число имеет два делителя. А сколько делителей имеет квадрат простого числа? Куб простого числа? Четвёртая степень простого числа? Выясните это на конкретных примерах.
Как вы думаете, сколько делителей имеет пятая степень простого числа? Шестая степень? Десятая степень?
Перечислите все делители числа 3125, числа 64 ( подсказка: 3125=,64=)
Решение:
1) 3*1 - два делителя
3*3 *1 - три делителя
2) пятая степень простого числа имеет 6 делителей,
шестая степень-7делителей
3) 3125=5*5*5*5*5 делители: 1, 5, 25, 125,625, 3125
64= 2*2*2*2*2*2 делители: 1,2,4,8,16, 32,64
2.3 Комбинаторные задачи
Задача12 1) Какие двузначные коды можно составить, используя только цифры 2 и 7 ?
2)Составьте все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0,1,2. Сколько получится чисел, если каждую цифру использовать только один раз?
Задача13. 1) Сколькими способами можно составить из двух полицейских, если на дежурство вышли трое: Быстров, Свистунов, Удалов?
2)Из четырёх игр: шашки, лото, конструктор, эрудит – надо выбрать две. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?
3)Саша выбрал в библиотеке пять книг, но взять можно только две. Сколько вариантов выбора двух книг из пяти есть у Саши?
Решение: 1) БС, СУ, БУ ( при решении использовать отрезки на прямой).
[pic]
2.4 Текстовые задачи
Задача 14. 1) (старинная задача) На дворе бегают куры и поросята. У них всего 20 голов и 52 ноги. Сколько всего кур и сколько поросят?
2)По тропинке вдоль кустов
Шло одиннадцать хвостов,
Сосчитать я также смог,
Что шагало тридцать ног.
Это вместе шли куда-то
Петухи и поросята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было петухов?
И узнать я был бы рад,
Сколько было поросят?
3)Составьте аналогичную задачу, и реши её.
Решение: 1) 2*20=40 ног у 20 животных, если считать по 2.
2) 52-40=12
3) 12:2= 6 поросят
4)20-6= 14 кур
Пример составленной задачи:
Авторы: Беляева Елизавета, Агафонова Мария - ученицы 5 класса «В» МБОУ СОШ №31
На сосне.
На сосне, что возле клёна,
Громко каркают вороны!
А внизу на сочной травке
зайцы прыгают в канавке.
Если вместе их собрать,
то нетрудно сосчитать
семь голов и двадцать ног.
Я сказал всё то, что смог,
А вот ты скажи ка мне
сколько птиц на той сосне?
Решение: будем считать, что у каждого экземпляра по 2 ноги, тогда у 7 животных — 14 ног,
6 оставшихся ног приходится на зайцев, значит зайцев- 3, ворон 4.
