Бутко Сергей Васильевич-учитель математики высшей категории К.Г.У. Вечерняя средняя общеобразовательная школа при Е.С. учреждение 164\3 г Петропавловска Сев.Каз.обл.
Занимательные логические задачи
Особое место в математике занимают задачи, решение которых развивает логическое мышление, что способствует успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.
Решение многих логических задач связано с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым числом элементов, между которыми требуется установить соответствие. При решении таких задач удобно использовать различные таблицы и графики.
Решение логических задач с использованием таблиц
Задача 1. Три друга — Алеша, Боря и Витя — учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один — на трамвае, один — на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!». Кто на чем ездит домой?
Решение. При решении задачи удобно пользоваться таблицей:
Автобус
Троллейбус
Трамвай
Алеша
Боря
Витя
Договоримся отмечать в таблице результат, полученный в ходе логических рассуждений, знаком «+» положительный, а знаком «-» отрицательный. Видим, что в задаче речь идет о двух множествах: множестве имен и множестве видов транспорта, на котором ребята едут домой. Обращаем внимание на то, что между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие, то есть каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества, а двум различным элементам первого множества соответствуют два различных элемента второго множества. В каждом столбце — только один «+», в каждой строке — только один знак «+». Поэтому, если в какой-то из клеток появляется знак «+», то все остальные клетки в данной строке и в данном столбце заполняем знаками «-».
Выделяем ключевые условия.
Алеша провожает друга до остановки автобуса.
Крик из троллейбуса: «Боря, ты забыл тетрадку»
. Анализируя каждое из условий, заполняем таблицу.
Из условия (1) делаем вывод о том, что Алеша не ездит на автобусе — ставим знак «-» в ячейку <автобус — Алеша>. Из условия (2) делаем вывод о том, что в троллейбусе едет не Боря —ставим знак «-» в ячейку <троллейбус — Боря>.
Из (1) и (2) — в троллейбусе едет не Алеша (он провожает друга до остановки автобуса). Ставим знак « - »в ячейку <троллейбус — Алеша>.
В каждой строке или столбце обязательно есть знак «+». Из таблицы видим, что в первой строке два знака « - », значит, в ячейке <трамвай – Алеша > ставим знак « + ».
В столбике <трамвай> может быть только один знак «+» (соответствие однозначное), поэтому ячейки <трамвай – Боря» и <трамвай -Витя»заполняем знаками «-»:
Таблица принимает вид:
Автобус
Троллейбус
Трамвай
Алёша
─
─
+
Боря
+
─
─
Витя
─
+
─
Задача 2. Каникулы в школе птиц и зверей началась большим карнавалом. Медведь, волк, лиса и заяц явились в маскарадных костюмах волка, медведя, лисы и зайца. На балу зверь в маскарадном костюме зайца выиграл в лотерее банку меда и остался этим очень недоволен. Известно также, что медведь не любит лису и никогда не берет в лапы картинок, где она нарисована. Зверь в маскарадном костюме лисы выиграл в лотерее пучок моркови, но это тоже не доставило ему никакой радости. Не могли бы вы сказать, какой маскарадный костюм смастерил себе каждый из зверей?
Решение. По смыслу задачи все звери переоделись, поэтому сразу заполняем клетки, расположенные по диагонали знаками «-».
Костюмы
медведя
лисы
волка
зайца
Медведь
─
Лиса
─
Волк
─
Заяц
─
Выделяем ключевые условия.
Зверь в костюме зайца выиграл банку меда и был этим недоволен.
Медведь не берет в руки картинки с изображением лисы.
Зверь в костюме лисы выиграл пучок моркови и был этим недоволен.
Из условия (1) следует, что в костюме зайца был не медведь (медведи любят мед). Ставим знак «-> в ячейку <костюм зайца — медведь>. Из условия (2) следует, что медведь не надел бы костюма лисы. Ставим знак «-» в ячейку < костюм лисы -медведь>
В первой строке все клетки, кроме одной, заполнены знаком «-». Соответствие взаимно однозначное. Поэтому последнюю клетку заполняем знаком «+». Все клетки, которые находятся ниже знака «+», заполняем знаками «-».
Из условия (3) — зверь в костюме лисы не любит морковь, значит, это не заяц. Ставим знак «—» в ячейку <костюм лисы — заяц>.
В столбце <костюм лисы> все клетки заполнены знаками «-», значит, последнюю клетку заполняем знаком «+», а пустые клетки в строке <Волк> знаками «-».
В строке <3аяц> все клетки кроме одной заполнены знаками «-», значит, последнюю заполняем знаком «+». В столбце <костюм медведя> может быть только один знак «+», поэтому оставшуюся пустую ячейку здесь заполняем знаком «-».
В строке <Лиса> все клетки кроме одной заполнены знаками «—». В последней ставим знак « + ».
Костюмы
медведя
лисы
волка
зайца
Медведь
─
─
+
─
Лиса
─
─
─
+
Волк
─
+
─
─
Заяц
+
─
─
─
Все знаки расставлены. Можем сделать вывод: медведь — в костюме волка, лиса — в костюме зайца, волк — в костюме лисы, заяц — в костюме медведя.
Задача 3. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что:
(1)вода и молоко не в бутылке;
(2)сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;
(3) в банке не лимонад и не вода;
(4) стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.
В каком сосуде находится каждая из жидкостей?
Решение. Из условия (1) ясно, что вода и молоко не
в бутылке, значит, ставим знак «-» в соответствующие ячейки. Из условия (2) — сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, значит, в кувшине не лимонад и не квас. Из условия (3) — лимонад и вода не в банке. Из условия (4) — в стакане и банке не молоко. В результате таблица принимает вид:
Лимонад
Вода
Молоко
Квас
Бутылка
─(1)
─(1)
Стакан
─(4)
Кувшин
─(2)
─(2)
Банка
─(3)
─(3)
─(4)
Замечаем, что в столбце <молоко> все клетки кроме одной заполнены знаками «-», поэтому последнюю клетку заполняем знаком «+» (помним, что в каждой строке и в каждом столбце должен быть только один знак «+», так как соответствие однозначное). Аналогично, в строке <банка>.
Теперь легко заполнить пустую клетку в строке <бутылка> и клетку под ней. Осталась одна пустая клетка в строке <стакан>. Очевидно, что в нее нужно поставить знак «+».
Итак, лимонад — в бутылке, вода — в стакане, молоко — в кувшине, квас — в банке.
Задача 4. В небольшом районном городе живут пять друзей: Иванов, Петренко, Сидорчук, Гришин и Капустин. Профессии у них разные: один из них маляр, другой — мельник, третий — плотник, четвертый — почтальон, а пятый — парикмахер. Петренко и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти. Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, на которой работает их товарищ. Петренко и Капустин живут в одном доме с почтальоном. Сидорчук был недавно в ЗАГСе одним из свидетелей, когда Петренко и дочь парикмахера сочетались законным браком. Иванов и Петренко каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром. Гришин и Капустин по субботам обязательно встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Почтальон предпочитает бриться сам. Кто есть кто?
Решение. Выделим ключевые условия.
Петренко и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти.
Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, на которой работает их товарищ.
Петренко и Капустин живут в одном доме с почтальоном.
Сидорчук был недавно в ЗАГСе одним из свидетелей, когда Петренко и дочь парикмахера сочетались законным браком.
Иванов и Петренко каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром.
Гришин и Капустин по субботам обязательно встречаются в парикмахерской, где работает их друг.
Почтальон предпочитает бриться сам.
Из условия (1): Петренко и Гришин — не маляры. Из условия (2): Иванов и Гришин — не мельники. Из условия (3): Петренко и Капустин не почтальоны. Из условия (4): Петренко и Сидодчук - не парикмахеры. Из условия (5): Иванов и Петренко — не плотники и не маляры. Из условия (6) Гришин и Капустин — не парикмахеры. Из условий (7) и (6): Гришин и Капустин — не парикмахеры. Выясняем, что в задаче речь идет о взаимно однозначном соответствии. Теперь заполняем таблицу.
Фамилии Профессии
маляр
плотник
мельник
почтальон
парикмахер
Иванов
─(5)
─(5)
─(2)
Петренко
─(1)
─(5)
─(3)
─(4)
Сидорчук
─(4)
Гришин
─(1)
─(2)
─(6)
Капустин
─(3)
─(6)
Делаем вывод: Иванов — парикмахер. Пегренко ─мельник, Сидорчук — почтальон, Гришин — плотник, Капустин — маляр.
Задача 5. Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой — брюнет, третий — рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей.
Решение. Выделим ключевые условия:
(1) брюнет сказал Белокурову... (значит Белоку-
ров не брюнет);
(2) цвет волос не соответствует фамилии.
Соответствие взаимно однозначное.
Рассуждения аналогичны рассуждениям в задачах1-4.
7
