Лекция 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ
Первообразная и неопределённый интеграл
В этом параграфе рассмотрим задачу отыскания функции, для которой заданная функция является производной.
Определение. Функция называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции на промежутке , если
(4.1)
Пример. Функция является первообразной функции на всей числовой оси, т.к. .
Теорема. Две дифференцируемые на некотором промежутке функции и являются первообразными одной и той же функции тогда и только тогда, когда они отличаются на некоторую постоянную:
. (4.2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - первообразная для , т.е. .Тогда - также первообразная, поскольку .
Обратно: если и две первообразные одной и той же функции , т.е.и , то .
Следовательно, , или .
Определение. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределённым интегралом от и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.
Таким образом,
. (4.3)
Пример. .
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.
Свойства неопределённого интеграла.
Табличные интегралы
Неопределенный интеграл имеет следующие основные свойства:
2.1. 2.4.
2.2. где - постоянная величина
2.3. 2.5. .
Докажите эти свойства самостоятельно, или с помощью учебника.
Следующие интегралы от некоторых элементарных функций в дальнейшем будем называть табличными:
1. . 8. .
2. . 9. .
3. . 10. .
4. . 11. .
5. . 12. .
6. . 13. .
.
Справедливость этих формул проверяется непосредственным дифференциро-ванием.
Примеры. Найти интегралы:
а) ; б) ; в)
Решение.
а) (см. табл. № 4)
б) (см. табл. № 11)
в)
(см. табл. №2, №3).
1.3 Методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям
Метод замены переменной (метод подстановки) осуществляют следующим образом:
(4.4)
Замечания: 1) -функция, дифференцируемая на заданном промежутке;
2) после вычисления интеграла следует вернуться к исходной переменной.
Пример.
Теорема. Пусть – некоторая первообразная для , тогда
(4.5)
где , -некоторые числа,
Д о к а з а т е л ь с т в о.
.
Пример. .
Пусть и – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала
, или .
Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получим:
, или
. (4.6)
Формула (6) называется формулой интегрирования по частям.
Пример.
.
В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза. Кроме этого, на практике метод интегрирования по частям часто комбинируют с другими методами.
УПРАЖНЕНИЯ
1.2 1.3 1.4 ;
1.5 ; 1.6 ; 1.7 ; 1.8 ;
1.9 ; 1.10 ; 1.11 ; 1.12 ;
1.13 ; 1.14 ; 1.15 .
Лекция 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1 Понятие определенного интеграла. Геометрический и
экономический смысл
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок произвольным образом на частей: (см. рис.4.1)
Сумма вида
, (5.1)
где называется интегральной суммой функции на . Геометрически представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих прямоугольников (см. рис.4.1)
Определение. Предел суммы при условии, что число разбиений стремится к бесконечности, а наибольшая из разностей - к нулю, называется определенным интегралом функции в пределах от до , т.е.
(5.2)
Геометрически определенный интеграл (4.2) представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию a AB b, в которой площади частей, распложенных выше оси OX, берутся со знаком плюс, а площади частей, расположенных ниже оси OX, -со знаком минус.
Замечание. Не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования:
поскольку смена обозначений никак не влияет на поведение интегральной суммы (4.1)
При определении интеграла предполагалось, что a<b. По определению положим, что
. (5.3)
Пусть в a=b тогда получим
следовательно
(5.4)
К экономическому смыслу определенного интеграла приводит следующая задача.
Пусть которая описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции U произведенной за промежуток времени . Разобьем на промежутки времени точками:
0=
Величину объёма продукции ∆, произведенный за промежуток времени ∆ приближенно можно изменить в виде:
∆ ∆, где , i = 0, 1, 2,…,(n-1)
Тогда U∆.
При n и max ∆
∆.
Таким образом, если - производительность труда в момент времени t, то есть объём продукции, выпущенной за промежуток времени . Достаточные условия интегрируемости функции (существования определённого интеграла) формулирует следующая теорема.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [а, в], то она интегрируема на этом отрезке.
5.2 Свойства определённого интеграла
Будем рассматривать интегрируемые функции. Имеют место следующие свойства.
1. , где = const (5.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Разобьём отрезок интегрирования [a, в] на n частей точками:
a = ,,…,= в.
На каждом из отрезков разбиения ∆x выберем точку ξ(i=0,1,2,…,n-1).
Используя ассоциативный (распределительный) закон умножения чисел, имеем
Перейдя к пределу в обеих частях этого равенства при n и , получим (4.5).
2. (5.6)
Доказательство аналогично предыдущему (докажите самостоятельно).
Нетрудно видеть, что это свойство выполняется для любого числа слагаемых.
3. (5.7)
Действительно, пусть <<. Рассмотрим геометрический смысл этого свойства (см. рис.).Очевидно , но ,а . Тогда
Разберите самостоятельно другие варианты расположения точек .
4. Если на , где , то
. (5.8)
Это неравенство вытекает из аналогичного неравенства для интегральных сумм.
Следствие. Пусть на , где , где m и - некоторые числа. Тогда
(5.9)
5. Теорема о среднем. Если непрерывна на [a,b], где a<b, то найдется
такое
,что (4.10)
Геометрически (4.10) означает, что если f(x)- непрерывная функция на [a,b] то всегда найдется точка, что площадь криволинейной трапеции aABb равняется площади прямоугольника .
Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и -любая ее первообразная на . Тогда определенный интеграл от на равен приращению первообразной на этом отрезке:
(5.10)
Формула (4.12) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Примеры. 1.
2.
5.3. Геометрические приложения определенного интеграла
5.3.1. Вычисление площадей
В соответствии с геометрическим смыслом, определенный интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной линиями , , , . При этом, в зависимости от расположения графика перед интегралом должен стоять знак «плюс», или «минус» (см. рисунки 5.1-5.4).
. .
. .
Примеры.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ;.
Решение.
Сделаем чертеж (рис.5.5).
Из чертежа видно, что
.
Найдем границы интегрирования:
;.
(ед2.).
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ;.
Решение.
Сделаем чертеж (рис.5.6).
Найдем абсциссы точек C и B.
;
, ( не подходит).
.
Значит, , .
(ед.2).
3
