Семинар для учителей математики по теме:
«Решение задач с параметрами»
План проведения семинара:
Занятие №1. Знакомство с параметрами. Простейшие задачи с параметрами. Квадратичная функция в задачах с параметрами.
Занятие №2. Графические методы решения задач с параметрами. Метод сечений. Рассмотрение решения задачи пробного ЕГЭ 2015 года.
Занятие №3. Графические методы решения задач с параметрами. Решение задач ЕГЭ 2015года.
ГБОУ Школа №1208 ЮВАО г. Москвы.
Данный семинар посвящён решению задач с параметрами. Умение решать такие задачи
Считается признаком отличного знания математики. Некоторые при подготовке к экзаменам боятся даже браться за эти задачи, думая, что у них всё равно ничего не получится. Вместе с тем часто для решения задач с параметром нужно просто использовать свой здравый смысл, и решение окажется простым и понятным!
Цель данного семинара состоит как раз в том, чтобы помочь желающим научиться решать задачи с параметрами.
Рассмотрим несколько простейших примеров.
Пример №1.
При всех а решить неравенство
[pic] ≤ 0.
Решение. При любом фиксированном значении а это обычное рациональное неравенство. Поэтому к нему можно применить метод интервалов. Для этого надо расположить на числовой оси числа а и а+1, которые обращают числитель и знаменатель в нуль. Ясно, что при всех а а+1 больше, чем а. Поэтому получается расположение точек, как показано на рисунке.
[pic]
Ответ: [pic] х [pic] при любом а.
Рассмотрим ещё один пример.
Пример №2.
При всех а решить неравенство
[pic] >0.
Решение. Как и выше, будем применять метод интервалов. Однако, здесь возникает небольшая трудность- мы не знаем как расположены числа 1 и а. Ведь а может быть больше 1, меньше 1 или равно 1. Это означает, что нам следует рассмотреть эти три случая.
Пусть а<1. Тогда получаем следующее расположение точек
[pic]
Метод интервалов даёт часть ответа: если а<1, то х [pic] (- [pic] ;а) [pic] (1:+ [pic] ).
Пусть а=1. Тогда получим неравенство [pic] >0, при х [pic] 1 равносильное верному неравенству 1>0. Его решение – вся область определения неравенства, т.е. х [pic] (- [pic] :1) [pic] (1;+ [pic] ).
Пусть а>1. Тогда точки расположены, как показано на рисунке
[pic]
Метод интервалов даёт частичный ответ: если а>1, то х [pic] (- [pic] ;1) [pic] (а;+ [pic] ).
Объединим части ответа и получим окончательный результат.
Ответ. Если а<1, то х [pic] (- [pic] ;а) [pic] (1:+ [pic] ); если а=1, то х [pic] (- [pic] :1) [pic] (1;+ [pic] ); если а>1, то х [pic] (- [pic] ;1) [pic] (а; + [pic] ).
Пример№3.
При всех а решить неравенство
[pic] >1.
Решение. Преобразуем неравенство к виду [pic] <0.
При а>0 это неравенство равносильно неравенству х+а<0 и его решения х [pic] (- [pic] ;-а).
При а=0 получаем неравенство [pic] <0, 0<0, у которого нет решений.
При а<0 это неравенство равносильно неравенству х+а>0, имеющему решения х [pic] (-а;+ [pic] ).
Ответ. Если а<0, то х [pic] (-а;+ [pic] ); если а=0, то решений нет; если а>0, то х [pic] (- [pic] ;-а).
Рассмотренные примеры позволяют увидеть, что решение, казалось бы, одинаковых примеров имеет существенные различия.
Для успешного обучения учеников решению задач подобного типа необходимо:
решать уравнения и неравенства всех типов;
уметь строить графики всех элементарных функций;
уметь исследовать функцию и строить графики с помощью производной;
знать основные теоремы курса средней школы (теорему Виета и др.);
уметь применять различные способы решения для одной задачи.
