[link] .
Система состоит из набора легко запоминающихся шаблонов, которые позволяют любому быстро производить арифметические подсчёты.
Самые важные алгоритмы были алгоритмы для умножения, деления и сложения. Дополнительно, метод включает несколько специальных методов для умножения маленьких чисел между 5 и 13
Метод Трахтенберга .
Умножение на 12
Правило: чтобы умножить на 12:
Начни с правостоящей цифры, удвой каждую цифру и прибавь её соседа. (Под соседом подразумевается цифра справа.)
Это даёт одну цифру результата. Если ответ содержит больше одной цифры, просто переносим 1 или 2 в следующий регистр.
Пример: 316 × 12 = 3 792:
В этом примере:
последняя цифра 6 не имеет соседей.
6 — сосед единице — 1.
единица — 1 соседка тройке — 3.
тройка — 3 соседка двум добавленным слева нулям.
второй добавленный ноль сосед первому.
6 × 2 = 12 (2 переносим 1)
1 × 2 + 6 + 1 = 9
3 × 2 + 1 = 7
0 × 2 + 3 = 3
0 × 2 + 0 = 0
Умножение и деление на степень пятёрки и степень двойки
Задача 1. Умножение и деление на 5
Трудно не согласиться с тем, что разделить произвольное число на 2 в уме легче, чем умножить его на 5. Нельзя ли воспользоваться этим обстоятельством, чтобы облегчить умножение чисел на 5? Что вы можете предложить вместо деления на 5?
Решение. Вместо умножения числаа на 5 можно, и это действительно проще, разделить его на 2 и умножить на 10, поскольку . Например, ,
Аналогично вместо деления числаа на 5 можно, наоборот, умножить его на 2 и разделить на 10, поскольку .
Например,
Задача 2. Умножение и деление на степень пятёрки
Аналогично умножению или делению на 5 можно сравнительно легко в уме умножать или делить числа на 25 и на 125. Как именно?
Решение. Так как , то справедливы формулы
и .
Пользуясь этими формулами, получаем
Что же касается умножения и деления на 125, то здесь аналогично получаем формулы и .
Например,
Задача 3. Способ удвоения
При умножении чисел на степень двойки иногда используется способ, суть которого можно продемонстрировать на следующем примере:
.
Как видоизменить этот способ для умножения на число, близкое к степени двойки, скажем на 14 или 35?
Решение. При последовательном умножении числа на возрастающие степени двойки, т. е. при последовательном удвоении, можно фиксировать те числа, сумма или разность которых даёт искомое произведение. Так, умножение числа 139 на можно провести следующим образом:
.
Аналогично умножение на можно провести так:
.
Деление на степень двойки можно провести в такой же последовательности, как умножение, но, естественно, с заменой операции умножения операцией деления, например,
.
Умножение и деление на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75 с помощью обыкновенных дробей
Задача 1. С помощью обыкновенных дробей
Предложите способы быстрого умножения на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75, использующие представление десятичных дробей в виде обыкновенных.
Решение. Учитывая равенства мы можем умножение произвольного числаа на 2,5 заменить делением удесятерённого числа на 4, умножение на 1,25 – прибавлением четверти числа или делением удесятерённого числа на 8, умножением на 1,5 – прибавлением половины числа, умножение на 0,75 – вычитанием четверти числа. Следовательно, справедливы формулы:
Задача 2. Умножение на 15 и на 75
Используя решение предыдущей задачи, предложите способы быстрого умножения на 15 и 75.
Решение. Так как и то справедливы формулы: и
Например,
Задача 3. Деление на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75.
Предложите способы быстрого деления на 2,5, на 1,25, на 1,5 и на 0,75 с помощью обыкновенных дробей.
Решение.
Например,
Приёмы быстрого счёта с дробями
Пример 1. Вычислить
Заметим, что и т. д. Следовательно,
Пример 2. Вычислить
Так как то
3.5. Умножение и деление на числа, близкие к «круглым»
Задача 1. Умножение на 9 с помощью пальцев
Этот способ настолько прост, что его может освоить любой ребёнок, знакомый лишь с элементарным счётом. Пусть нужно умножить 7 на 9. Положив обе руки на стол, приподнимаем седьмой палец, считая слева направо. Тогда количество пальцев слева от поднятого укажет цифру десятков (в нашем случае 6), а количество пальцев справа от поднятого укажет цифру единиц (равную 3), т. е. искомое произведение будет равно 63.
Объясните, почему предложенный способ даёт правильный ответ при умножении любого однозначного числа на 9.
Решение. При умножении однозначного числа а на 9 предложенным способом мы получаем, что слева от а-го (поднятого) пальца находится а-1 пальцев, а справа 10-а пальцев, т. е. искомое произведение равно
10(а-1)+(10-а)=10 а-10+10-а=9 а, что и требовалось объяснить.
Задача 2. Вычитание вместо умножения
Умножение некоторого числа на 9 можно свести к вычитанию двух чисел. Подумайте, каких. Предложите аналогичный способ умножения чисел на 99, на 999, на числа, близкие к числам 10, 100, 1000 и т. д.
Решение. Так как 9 а = 10 а – а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число а. Например, при а = 584 имеем .
Аналогично вместо умножения числаа на 99 или 999 можно умножить его на 100 или 1000 соответственно, а потом отнять само число а, т. е.
99 а = 100 а – а, 999 а = 1000 а – а и т. д.
Например,
В общем случае умножения на числа, близкие к степени десятки, поступаем аналогично. Например,
Задача 3. Умножение на 11
Докажите, что для умножения двузначного числа на 11, достаточно между цифрой десятков и цифрой единиц данного числа вписать число, равное сумме цифр этого числа. Например, пользуясь указанным способом, находим произведения , где ;
, где .
Решение. Пусть данное двузначное число имеет вид 10 а + b. Правильность предложенного способа вытекает из следующих равенств:
Например, ,
,
,
.
Задача 4. Быстрое деление
Деление числа 63475 на 999 было произведено следующим образом:
,
откуда частное равно 63, а остаток 538. Используя аналогичные преобразования, разделите число 63475 с остатком на 99, на 98, на 102.
Решение. Так как
, то частное от деления данного числа на 99 равно 641, а остаток 16. Так как ,
то частное от деления данного числа на 98 равно 647, а остаток 69. Так как ,
то частное от деления на 102 равно 622, а остаток 31.
3.6. Применение основных свойств действий
Для успешного проведения вычислительных операций необходимы прочные знания элементарных свойств действий над числами. Эти свойства желательно уметь описывать словами, записывать в виде формул и видеть их в вычислительных преобразованиях.
Переместительные свойства сложения и умножения:
Сочетательные свойства сложения и умножения:
Распределительное свойство умножения относительно сложения:
Свойства нуля и единицы:
Система счёта Ликарь Ивана:
При умножении обыкновенной дроби на натуральное число, равное произведению числителя и знаменателя данной дроби, в результате получаем квадрат числителя.
Примеры:
2/5*10=22=4; 3/7*21=32=9; 9/4*36=92=81; 13/6*78=132=169.
При сложении двух дробей с одинаковыми числителями в результате получаем дробь, числитель которой равен произведению суммы знаменателей и числителя, а знаменатель равен произведению знаменателей.
Примеры:
1/2+1/3=(2+3)*1 / 2*3=5/6
1/9+1/6=(9+6)*1 / 9*6=15/54=5/18
3/4+3/7=(4+7)*3 / 4*7=33/28=1
4/9+4/13=(9+13)*4 / 9*13=88/117
Разность двух последовательных квадратов натуральных чисел равна сумме их оснований.
Примеры:
22-12=2+1=3; 32-22=3+2=5
Данное правило позволяет возводить числа в квадрат без таблиц и калькулятора.
Например, 392=?
Решение: 402=1600
402-392=40+39=79
392=1600-79=1521
212=?
Решение:202=400
212-202=21+20=41
212=400+41=441
При умножении дроби на квадрат её знаменателя получается в результате произведение числителя и знаменателя.
Примеры: 2/9 * 81=18; 10/19 * 361=190.
Наши эксперименты
Эксперимент 1.( Помогал проводить учителям математики Абдуллиной А.И. и Ликарь С.Н.)
6а, 9 б,в классов. Участвовало: по10 человек от класса.
Даны были 4 примера умножения на 11, 111 и 1111.
Сначала ученики выполнили эти примеры, не зная правил,
Затратили на это 7-8 минут.
Используя правило, они потратили на аналогичные примеры 3-4 минуты.
Эксперимент 2. (проводила Ликарь С.Н.)
Ученик 8 а класса Пермяков Андрей, который находится на домашнем обучении, узнав о способах умножения на 11, 111 и на 1111, на каждом занятии готов решать примеры, в которых они используются, несмотря на то, что владеет слабыми вычислительными навыками.
Заключение
Владея интересными приёмами счёта можно выполнять многие арифметические действия в уме. Это, в свою очередь, развивает человеческую память, которая необходима ему для получения образования и вообще в жизни. Кроме этого, наше исследование показало, что знание интересных приёмов вычислений, позволяет выполнить то или иное действие гораздо быстрей, не прибегая к длинным записям в столбик и калькулятору. Открывая удивительный мир чисел, знакомясь с их некоторыми особенностями, мы постигаем их тайну…
В дальнейшем моя цель: и дальше постигать удивительный мир чисел, работа со степенями, формулами, делать свои открытия. Также результатом моей работы стала памятка интересных приемов вычислений (издание второе).
Список литературы:
Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/
ОлехникС. Н., НестеренкоЮ. В., ПотаповМ. К. «Старинные занимательные
задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
– 160 с.
Перельман Я.И.Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941
— 12 с.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.Русанова,1994--205с.
Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.
Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.
8. Книга Э Катлер и Р. Мак – Шейн «Система быстрого счета по Трахтенбергу»,
изд-во «Просвещение», г. Москва, 1967 г.
9. Интернет-ресурсы. 1 сентября.
14
