Применение производной к исследованию функций

Карта - информатор

Тема: Применение производной к исследованию функций.

1. Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции:

Если [pic] на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Если [pic] на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

2. Экстремумы функции:

а) Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными.

б) Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а, в), [pic] и [pic]

Тогда:

1. 1. если при переходе через стационарную точку [pic] функции [pic] ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. [pic] справа от точки [pic] и [pic] слева от точки [pic] , то [pic] - точка максимума функции [pic] .

   2. если при переходе через стационарную точку [pic] функции [pic] ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то [pic] - точка минимума функции [pic] .

в) Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

г) Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема,

называют критическими точками этой функции.

3. Применение производной к построению графиков функций.

План исследования функции:

1. найти область определения функции;

2. найти производную;

3. найти стационарные точки ( решить уравнение [pic] );

4. найти промежутки возрастания и убывания;

5. найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования записать в виде таблицы. Используя таблицу построить график. Для более точного построения найти еще несколько точек графика.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [pic] нужно:

1) найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа [pic] и [pic] .

2) найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу [pic] ;

3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры: 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции [pic]

Решение: [pic] решая неравенство [pic] находим интервал возрастания, т.е. [pic] [pic] [pic] . Решая неравенство [pic] находим интервал убывания, т.е. [pic] [pic] [pic] . Ответ: возрастает на промежутке [pic] ; убывает на промежутке . [pic] .

2. Найти стационарные точки функции [pic]

Решение: Найти производную: [pic] Найти стационарные точки, т.е.решить уравнение [pic] [pic] [pic] [pic] ; методом интервалов

можно установить, что [pic] при [pic] [pic] при [pic] и при [pic]

При переходе через точку [pic] производная меняет знак с «минуса» на «плюс», точка [pic] - точка минимума, при переходе через точку [pic] производная не меняет знак, точка [pic] не является точкой экстремума.

4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции [pic] на отрезке [pic]

Решение: 1. [pic] [pic]

2. [pic] 3. Стационарные точки: [pic] [pic] [pic] [pic] , [pic] 4.Интервалу [pic] принадлежит одна точка х = 1. [pic]

5. Из чисел 0; 2; -2 наибольшее 2, наименьшее -2.