ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………..………………………………………………………………… 3
1. Золотое сечение …………………………………………………..….......
4
1.1 Геометрическое понятие золотого сечения ………………….………
6
1.2 Золотое сечение в искусстве………………………………….……….
7
1.3 Золотое сечение в древней архитектуре....…………………………...
9
1.4 Золотое сечение и спирали…………………………………………….
13
1.5 Золотое сечение в современной архитектуре…………………………
14
1.6. Золотое сечение у живых существ……………………………………
18
Заключение…………………………………………………………………………..
22
Библиографический список………………………………………………
23
ВВЕДЕНИЕ
Теперь более чем когда-либо все в нашем мире основано на числах. Некоторые из них даже имеют собственные имена, например, число пи (π), число е.
Среди всех этих замечательных чисел одно является особенно интересным: 1,6180339887... Оказывается, что это число очаровало намного больше блестящих умов, чем π и е вместе взятые. Список имен, данных этому числу, довольно длинен и показывает, с каким благоговением к нему относились: золотое число, трансцендентное сечение, божественное число, божественное сечение... Основное его название - золотое сечение. Оно обозначается греческой буквой Ф (фи) и играет в математике выдающуюся роль, обладая удивительными свойствами и неожиданными связями с творениями природы и человека. Мы постараемся узнать о нескольких уникальных примерах невероятного мира золотого сечения.
Золотое сечение применяется в науке и искусстве на протяжении всей истории человечества, а также играет важную роль в морфологии (науке о формах) животных и растений. Золотое сечение начинается на страницах евклидовых «Начал» — величайшего научного бестселлера всех времен и народов и продолжает применяться во Флоренции в эпоху Возрождения, где создавал шедевры искусства ее самый знаменитый сын — Леонардо да Винчи.
Одним из чудесных свойств золотого сечения является его неисчерпаемая способность порождать изысканные формы: от треугольников до двадцатигранных тел, называемых икосаэдрами. Но, несмотря на почетное имя, это число встречается даже в повседневных геометрических объектах, таких как кредитные карты и пятиконечная звезда. Форма кредитных карт представляет собой пример так называемого «золотого» прямоугольника, стороны которого находятся в «золотом» отношении. Так что «золотые» прямоугольники повсеместно распространены. Все они тесно связаны с золотым сечением и часто встречаются в структуре зданий, мозаиках и даже в настольных играх.
Но самым удивительным фактом является связь между золотым сечением и абстрактными идеями красоты и совершенства, которыми так увлечено человечество. Мы постараемся узнать как Леонардо да Винчи, Ле Корбюзье и другие легендарные личности, были очарованы красотой золотого сечения. Если отвлечься от творений рук человеческих и посмотреть на окружающую нас природу, то и там мы обнаружим золотое сечение. Развитие многих живых существ следует законам, установленным этим числом, и даже фракталы — красивые структуры, недавно открытые математиками, — связаны с золотым сечением.
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Чувствам человека приятны объекты, обладающие правильными пропорциями.
Святой Фома Аквинский (1225—1274)
Что общего имеют такие, казалось бы, не связанные друг с другом природные явления, как расположение семян подсолнечника, элегантная спираль раковины улитки и форма Млечного Пути? Какой универсальный геометрический принцип скрыт в работах великих художников и архитекторов от Витрувия до Ле Корбюзье, от Леонардо да Винчи до Сальвадора Дали? Как бы это невероятно ни звучало, ответом на эти вопросы является просто число - известное на протяжении многих веков, которое постоянно появляется в различных творениях природы и искусства. Это число, как уже говорилось, имеет несколько имен - «божественное сечение», «золотое сечение» и «золотое число». Записать это число практически невозможно, не потому, что оно слишком большое, — оно чуть больше единицы — а потому, что оно состоит из бесконечного ряда цифр, которые никогда не образуют повторяющуюся группу. Поэтому нам придется использовать математическую формулу для записи золотого сечения:
=1,6180339887…
Как же это математическое выражение было получено? Стоит признать, что, по крайней мере на первый взгляд, «божественное сечение» не выглядит особенно впечатляющим. Наметанный глаз, однако, сразу заметит что-то подозрительное, раз появился квадратный корень из пяти. Этот корень обладает рядом свойств, которые дали этому числу, как и многим другим подобным, странное название «иррациональных». Иррациональные числа — это особые числа [1].
Золотое сечение является иррациональным числом, которое обозначается греческой буквой фи (Ф). Оно было открыто древними греками, и его документированная история начинается с одной из самых известных и много раз переиздаваемых книг всех времен и народов «Начал» Евклида Александрийского (325-265 гг. до н.э.), написанной около 300 г. до н. э.
Шедевр Евклида является первым научным бестселлером в истории. Ученый преследовал две цели, когда писал эту работу. С одной стороны, он хотел собрать все математические результаты того времени и составить энциклопедию, которая служила бы учебником. С другой стороны, он хотел разработать определенную методологию доказательств и построить новую математическую теорию, основанную на аксиомах (утверждениях, принимаемых без доказательств) и законах дедукции. Успех «Начал» бесспорен, эта книга оказала значительное влияние на развитие всех областей математики. Поскольку математика является обязательным предметом всех систем образования во всех странах мира, каждый человек на Земле, ходивший в школу, так или иначе познакомился с «Началами» через тексты учебников математики. «Начала» состоят из 13 книг. Первые шесть посвящены элементарной геометрии, книги с седьмой по десятую — вопросам чисел, а с одиннадцатой по тринадцатую — стереометрии. Шестая книга содержит текст, с которого началась история золотого сечения: «Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить ее на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему». Или, выражаясь более кратко: «Целое относится к большей части, как большая часть к меньшей». Первый английский перевод работ Евклида был сделан в 1570 г. Генри Биллингсли, ставшим вскоре лорд-мэром Лондона.
Крайнее и среднее отношение, которое прозвучало так ненавязчиво, что его нетрудно упустить из вида, является тем самым числом, которое впоследствии стало известно как золотое сечение и которому в 1509 г. Лука Пачоли посвятил целый трактат под названием «О божественной пропорции». Современное обозначение золотого сечения Ф (фи), появилось значительно позже, в начале XX века, когда американец Марк Барр предложил использовать первую букву имени Фидий, архитектора Парфенона в Афинах.
Зная историю золотого сечения и его определение как иррационального числа, скажем о его математических свойствах. Прежде всего, посчитаем значение числа Ф. Разделим отрезок на две части (рисунок 1), тогда он будет разделен в крайнем и среднем отношении в терминах Евклида, иначе говоря, в «золотом» отношении, если , (золотая пропорция).
[pic]
Рисунок 1
Если дроби равны, то равны и соответствующие произведения по правилу «крест-накрест». Это приводит к квадратному уравнению, которое эквивалентно квадратному уравнению: . У этого уравнения есть два решения, запишем лишь положительное: =1,6180339887...
Это и есть золотое сечение, которое обозначается Ф (фи). Так как решение уравнения является отношением между длинами частей отрезка, то оно не зависит от длины самого отрезка. Другими словами, значение золотого сечения не зависит от первоначальной длины.
Так как выражение содержит квадратный корень, число Ф будет иррациональным числом. Это значит, что мы не можем записать его в виде конечного десятичного числа. Более того, бесконечная строка десятичных знаков не содержит периодически повторяющихся групп цифр. Число Ф, таким образом, является непериодическим десятичным числом, которое невозможно вычислить до конца. Более точное вычисление числа Ф не имеет смысла, потому что оно особенно важно в геометрическом виде, а не в числовом. Достаточно сказать, что Ф = 1,618033988749894, потому что 15 знаков после запятой вполне достаточно для любых возможных расчетов [1].
Геометрическое понятие золотого сечения.
Если подойти к золотому сечению геометрически, чтобы найти его предполагаемое божественное свойство, нужно построить прямоугольник, одна сторона которого в 1,618 раз длиннее другой; получится прямоугольник, в котором соотношение сторон представляет собой золотое сечение (точнее, его приблизительное значение). Вот что у нас получится (рисунок 2):
[pic]
Рисунок 2
Прямоугольник с таким соотношением сторон называется «золотым». На первый взгляд он может показаться нам обычным прямоугольником. Тем не менее, если проделать простой эксперимент с двумя кредитными картами, тоже получим «золотой прямоугольник». Положим одну из них горизонтально, а другую вертикально так, чтобы их нижние стороны находились на одной линии (рисунок 3):
[pic]
Рисунок 3
Если в горизонтальной карте мы проведем диагональную линию и продолжим ее, то увидим, что она пройдет в точности через правый верхний угол вертикальной карты — приятная неожиданность. Проделав этот эксперимент с двумя книгами одинакового размера, а именно с учебниками или книгами карманного формата, мы получили тот же результат. Это свойство является характерным для двух «золотых» прямоугольников одинакового размера. Многие повседневные прямоугольные объекты созданы с таким соотношением размеров. Случайность? Может быть. Или, возможно, такие прямоугольники и другие геометрические формы, использующие золотое сечение, по каким-то причинам особенно приятны глазу [2].
Золотое сечение в искусстве.
Если рассмотреть картину «Мона Лиза» или, как еще ее называют, «Джоконда» (рисунок 4) – самую загадочную улыбку в истории искусства, то можно увидеть, что ее портрет тоже построен на золотом сечении. Исследования показали: ее лицо и в целом, и в деталях обрамлено элегантной последовательностью «золотых» прямоугольников разных размеров. Это получится если наложить несколько «золотых» прямоугольников на изображение лица прекрасной девушки. Думал ли Леонардо да Винчи о золотом сечении, работая над своим шедевром? Это кажется маловероятным. Однако мы можем быть вполне уверены, что флорентийский гений придавал большое значение связи между эстетикой и математикой. Леонардо да Винчи продолжил изучение перспективы, эта тема при его жизни была очень популярна.
[pic]
Рисунок 4
Великий гений говорил: «Перспектива есть руль живописи». Хотя нет прямых свидетельств того, что Леонардо использовал золотое сечение, композиции его работ, таких как «Тайная Вечеря» (рисунок 5), содержат поразительное множество золотых пропорций, особенно «золотые» прямоугольники.
[pic]
Рисунок 5
В «Тайной Вечере» «золотые» прямоугольники определяют как размеры картины, так и положение Христа и Его учеников. Также можно заметить, что стены комнаты и окна на заднем плане следуют правилу золотого сечения. Леонардо, конечно, не единственный художник, в чьих работах встречается золотое сечение как в виде отношения двух сторон прямоугольника, так и в более сложных геометрических формах. В экстраординарной работе «Тайная вечеря» Сальвадора Дали золотое сечение тоже играет важную роль. Мало того, что полотно картины имеет размеры 268 на 167 сантиметров (почти идеальный «золотой» прямоугольник), так еще в центре картины изображен монументальный додекаэдр [4]. Эта фигура является одним из правильных многогранников, которые можно вписать в сферу, и тесно связана с золотым сечением. На картине «Купальщики в Аньере» Жоржа Сёра некоторые из элементов картины также могут быть вписаны в «золотые» прямоугольники (Рисунок 6).
[pic]
Рисунок 6
Золотое сечение в древней архитектуре.
Золотое сечение встречается в архитектуре со времен древних египтян, хотя мы не можем с уверенностью сказать, что такие пропорции использовались умышленно. Например, высота и основание Великой Пирамиды имеют непосредственное отношение к Ф (рисунок 7).
[pic]
Рисунок 7
Триумфальные арки Древнего Рима тоже содержат золотое сечение, как и ликийские гробницы, и храмы древнего города Миры (ныне город Демре в Турции). Другие цивилизации, далекие от классической культуры, похоже, тоже ценили золотые пропорции. Рядом с озером Титикака, недалеко от Ла-Паса, столицы Боливии, находятся Врата Солнца (рисунок 8) — каменная арка доинковской эпохи с пропорциями, которые полностью диктуются золотым сечением[4].
[pic]
Рисунок 8
Если посмотреть на схему выше указанного архитектурного шедевра (рисунок 9), то мы также увидим множество «золотых» прямоугольников.
[pic]
Рисунок 9
Из всех архитектурных творений древнего мира лучше других эффект золотого сечения иллюстрирует именно Парфенон (рисунок 10), который находится в Афинах. Современное название золотого сечения фи происходит от имени Фидия, творца этого древнего чуда (как уже говорилось ранее).
[pic]
Рисунок 10
Конечно, крайнее и среднее отношение часто использовалось в греческой культуре, но точные измерения в наше время выявили на удивление много неточностей, вызвавших подозрение многих экспертов. Может быть, людям лишь хотелось увидеть золотое сечение в пропорциях Парфенона, в то время как его строители использовали совсем другие соотношения? Оказывается можно насчитать 666 шагов по лестнице или 666 дюймов между какими-то двумя точками, что можно объявить это знаком дьявола. Точно так же, проделав соответствующие измерения в любом здании, мы почти всегда можем найти Ф как отношение каких-то размеров, хотя архитектор даже не думал об этом [1].
Мы можем, однако, подтвердить преднамеренное использование золотого сечения в средние века, потому что эти случаи часто были задокументированы. Правильный пятиугольник или пятиугольная звезда часто встречаются в этот период. Классическими примерами являются впечатляющие оконные розы готических соборов.
Благодаря переводам работ Витрувия архитекторы-теоретики эпохи Возрождения в стремлении к красоте снова обратились к идеям гармоничных пропорций. Лука Пачоли (итальянский математик) ставит человека в центр всего сущего: «Мы будем говорить в первую очередь о пропорциях человеческого тела, так как все измерения так или иначе диктуются человеческим телом, и рука Всемогущего указывает все виды пропорций, открывающие нам самые сокровенные тайны природы», чтобы затем использовать человека в качестве эталона пропорций. По этой причине древние архитекторы, учитывая правильные пропорции человеческого тела, создавали все свои работы, и особенно священные храмы, в соответствии с пропорциями тела человека, потому что в нем они обнаружили две основные фигуры, без которых невозможно ничего сотворить, а именно круг и квадрат.
В «Десяти книгах о зодчестве» эрудит Леон Баттиста Альберти (1404—1472) утверждал, что красота заключается в гармонии частей друг с другом и с целым. Альберти говорил, что красота «является абсолютным значением эстетического организма, которое посредством математических расчетов и взаимосвязи пропорций или, как писал Платон в трактате «Тимей», с помощью пифагорейских средних, вызывает в душе человека внутреннюю радость, рождая гармонию между человеком и Вселенной».
Тесная связь между пропорциями и гармонией в области музыки вдохновила на поиск подобных связей в структурных элементах зданий. Возможно, эта идея впервые появилась у Андреа Палладио (1508—1580), венецианского архитектора, работавшего в стиле маньеризма и оказавшего большое влияние на неоклассицизм. В работе «Десять книг о зодчестве» Альберти писал, что пропорции звуков являются гармонией для ушей, а пропорции размеров гармонией для глаз: «Такие гармонии производят очень приятное впечатление, хотя никто не знает, почему, за исключением тех, кто изучает причины вещей».
Италия эпохи Возрождения была не единственным местом, где золотое сечение использовалось при строительстве зданий. Университет Саламанки (рисунок 11) — первое учебное заведение в Европе, известное под названием «университет» — является самым старым университетом в Испании (основан в 1218 г.). Его фасад был перестроен в
[pic]
Рисунок 11
XV веке в стиле платереско, который был характерен для эпохи испанского Возрождения и является смешением мавританского стиля и фламандской готики. Золотое сечение лежит в основе пропорций этого здания, например - фасад его содержит большой «золотой» прямоугольник [1].
Золотое сечение и спирали.
Самым удивительным образом Ф (фи) проявляется в спиралях. Предположим, у нас есть «золотой» прямоугольник, от которого мы отсекаем квадраты, получая все меньшие «золотые» прямоугольники (рисунок 12).
[pic]
1
Рисунок 12
[link] (дата обращения 02.02.2015)
27
