Применение производной к исследованию функции
Цели: формировать умение определять характер монотонности и экстремума с применением производной, развивать навык чтения графиков функции и производной функции, отрабатывать навык решения заданий типа В8 и В14 ЕГЭ; воспитывать ответственность за результат своего труда.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Проверка домашней работы (взаимопроверка)
Устный опрос по теории:
Как определить характер монотонности с применением производной;
По какому алгоритму следует определять характер монотонности
Какие точки называются точками экстремума;
Как найти экстремум функции
Какая точка называется максимум (минимум) функции;
Как найти максимум (минимум функции)
Решение задач типа В8 ЕГЭ (ответы записывают в тетради, потом самопроверка по образцу)
№ 27505 На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
[pic]
№ 317647 На рисунке изображён график функции у = f(x) и девять точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции у = f(x) отрицательна?
[pic]
№ 317549 На рисунке изображён график функции у = f(x) и шесть точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции у = f(x) положительна?
[pic]
№ 6877 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-2; 11) . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
[pic]
№ 7801 На рисунке изображен график у = f `(x) — производной функции у = f(x), определенной на интервале (-7;14). Найдите количество точек максимума функции у = f(x), принадлежащих отрезку [-6; 9] .
[pic]
№ 7803 На рисунке изображен график у = f `(x) — производной функции у = f(x), определенной на интервале (-18;6). Найдите количество точек минимума функции у = f(x), принадлежащих отрезку [-13; 1] .
[pic]
№ 8053 На рисунке изображен график у = f`(x) — производной функции у = f(x), определенной на интервале (-1;13). Найдите промежутки возрастания функции у = f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
[pic]
№ 27490 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-2; 12) . Найдите сумму точек экстремума функции у = f(x).
[pic]
Индивидуальные задания (во время устной работы)
№ 866(в), 867 (б), 868(в)
III. Работа по теме урока.
Все задания можно разбить на две группы.
1-я группа. Работа с графиками функций и графиками их производных с целью нахождения точек экстремума: № 30.17 – 30.20 (№873 - №876)
2-я группа. Нахождение точек экстремума функций по алгоритму.
№ 30.28 (в) (№ 884(а))
№ 30.29 (б). (№885(б))
Необходимо следить за тем, чтобы на первых порах учащиеся вели подробные записи, строго следуя алгоритму.
Решение:
№ 30.29 (б).
[pic]
1) [pic]
2) [pic]
[pic]
х = 0, х = –1, х = 4
3) [pic]
4) [pic]
х = –1, х = 4 – точки минимума,
х = 0 – точка максимума.
Ответ: [pic]
2. № 30.30 (б). (886(б))
Решение:
[pic]
х = 0 – точка разрыва функции.
1) [pic]
2) [pic]
[pic]
3) [pic]
4) [pic]
х = –3 – точка максимума;
х = 3 – точка минимума
Ответ: [pic]
3. № 30.31 (а). (№887 (а))
Решение:
[pic]
Найдем область определения функции: х ≥ 2.
1) [pic]
2) [pic]
[pic]
[pic]
х = 3
3) [pic]
4) [pic]
х = 3– точка минимума.
Ответ: [pic]
4. № 30.32 (б). (№888(б))
Решение:
[pic]
1) [pic]
2) [pic]
[pic]
[pic]
С учетом промежутка [pic] получим точки [pic] и [pic]
3) [pic]
4) [pic]
х = [pic] – точка минимума х = [pic] – точка максимума
Ответ: [pic]
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какая точка называется точкой минимума (максимума) функции?
– Что можно сказать о производной в точке экстремума функции?
– Верно ли, что если в какой-то точке производная равна нулю, то эта точка является точкой экстремума функции?
– Сформулируйте достаточное условие экстремума.
– Сформулируйте алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы.
– Могут ли быть экстремумы у функции вида [pic] в точках, обращающих знаменатель в нуль?
Домашнее задание: (группа 1): № 30.28 (г), № 30.29 (г), № 30.30 (а) (884(г), 885(г), 886(б))
(группа2): № 30.31 (б), № 30.32 (а) ( 887(б), 888(а)). [link] Номера заданий даны по разным годам издания (2009, 2005)
