Сабақтың тақырыбы: Функцияның туындысы.
Сабақтың мақсаты:
Білімділік мақсаты: Бағдарлама талаптарына сай оқушыларға жаңа материалдарды түсіндіру, оқушыларды туынды ұғымымен таныстыру, шығу тарихымен хабардар ету, мысалдар келтіру арқылы есептер шығаруды үйрету.
Дамытушылық мақсаты: Оқушыларды дамыту мақсатында жұмыс жүргізу, жұмыстану қабілеттерін дамыту, өз бетімен есеп шығаруды үйрету, жаңа материалды меңгеруде қажетті білім, білік, іскерлік дағдыларын қалыптастыру.
Тәрбиелік мақсаты: Жаңа материалды түсіндіре отырып, отанға, өз ұлтына деген сүйіспеншілікке, жоғары адамгершілік қасиеттеріне тәрбиелеу, болашақта жақсы тұлға болып қалыптасуына жағдай жасау.
Сабақтың түрі: Дәстүрлі сабақ. Жаңа материалды меңгерту кезеңі.
Сабақтың әдісі: Ұжыммен және жеке.
Сабақтың көрнекілігі: Интерактивті тақта, слайдтар.
Сабақ жоспары: І.Ұйымдастыру.
ІІ. «Ұшқыр ойдан- ұтымды жауап »
(үй тапсырмасын тексеру)
ІІІ. Жаңа сабақ.
ІV.Жаңа сабақты бекіту.
V. «Кім жылдам ?»- деңгейлік есептер.
VІ. Үйге тапсырма.
VІІ. Қорытындылау . Бағалау.
Сабақтың барысы:
І. Ұйымдастыру кезеңі: а) Оқушылармен амандасу;
ә) Сабаққа дайындау;
б) Оқушыларды түгендеу;
в) Кезекшімен жұмыс;
г) Назарын, зейінін сабаққа аударту.
ІІ.Ұшқыр ойдан- ұтымды жауап. (слайд)
1.Функция дегеніміз не?
2.Функцияның тарихы қалай?
3.Функция қалай белгіленеді?
4.Функция неше түрмен берілуі мүмкін?
ІІІ. Негізгі бөлім: Жаңа тақырыпты түсіндіру кезеңі.
Функцияның туындысы
Туынды және оның функцияларын қарастыратын математиканың негізгі бөлімі – дифференциалдық есептеу деп аталады. Айырманы көрсететеін [pic] түріндегі өсімше туындыларымен жұмыс істегенде елеулі орын алады. Сондықтан да жаңа есептеу cakculis differentialis (қазақша айырмаларды есептеу деп аударылады) атауында латынша differentia (айырма) түбірінің көрініс табуы орынды, бұл атау 12 ғасырдың аяғында физиканың, механиканың, математиканың кейбір есептерін шешу қажеттілігінен пайда болды. Әсіресе түзу сызықты бірқалыпты қозғалыстың жылдамдығын және жазықтыққа жүргізілген жанама қисығын есептеу қажеттілігінен туындады.
Функцияның туындысына келтірілетін есептер.
Туындының механикалық мағынасы. Қандай да бір М материалдық нүкте түзу сызықтың бойымен қозғалатын болсын. Онда [pic] уақытының әрбір мәніне М материалдық нүктесінің жүріп өткен жолының ұзындығын сәйкес қоялық. Сонда бұл сәйкестік бірмәнді болғандықтан, белгілі бір функцияны анықтайды, яғни жүрген жол S-ті [pic] уақытқа тәуелді функция ретінде қарастыруға болады:
[pic]
Осыдан [pic] функционалдық тәуелділікті біле отырып, М материалдық нүктесінің [pic] уақытта қаншалықты жол жүргенін табуға болады (1-сурет). [pic] функциясы М материалдық нүктесінің қозғалыс заңдылығын береді. Егер М материалдық нүкте бірқалыпты қозғалыста болса, яғни ол бірдей уақыт аралықтарында ұзындықтары бірдей жол жүріп өтетін болса, онда бұл қозғалыстың жылдамдығы тұрақты болады. Ал егер дене бірқалыпты емес қозғалыста болса, онда оның жылдамдығы тұрақты емес. Сондықтан мұндай қозғалыстар ретінде лездік жылдамдығын қарастырады. Бұл ұғымды қарастырудың алдында дененің белгілі бір уақыт аралығындағы орташа жылдамдығы ұғымын қарастырайық.
Анықтама: Айталық, [pic] заңымен қозғалсын. Егер [pic] , [pic] болса, онда
[pic]
өрнегін [pic] -ден [pic] -ге дейінгі уақыт аралығындағы қозғалыстың орташа жылдамдығы деп атаймыз.
[pic] нүктесінде уақытқа [pic] өсімшесін беріп, [pic] мен [pic] уақыттары аралығындағы дененің орташа жылдамдығын табайық:
[pic]
Онда дененің [pic] уақытындағы лездік жылдамдығы [pic] деп, оның [pic] мен [pic] уақыттары аралығындағы дененің орташа жылдамдығының [pic] ұмтылғандағы шегін айтамыз:
[pic]
немесе [pic] болатынын ескерсек,
[pic]
теңдігін аламыз, яғни [pic] уақытындағы дененің лездік жылдамдығы [pic] функциясының [pic] нүктесіндегі өсімшесінің уақыт өсімшесіне қатынасының [pic] ұмтылғандағы шегімен анықталады.
Анықтама: Айталық, [pic] функциясы [pic] нүктесінің маңында анықталсын. Онда, егер [pic] қатынасының [pic] ұмтылғандағы шегі бар болатын болса, онда бұл шекті [pic] функциясының [pic] нүктесіндегі туындысы деп атайды. Оны былай белгілейді: [pic] .
Сонымен,
[pic]
Жалпы, «Туынды» термині derive деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы, оны 1797 ж. Ж. Лагранж (1736-1813) енгізген, қазіргі кездегі [pic] белгілеулерін де сол еңгізгенді. Ал, И. Ньютон функцияның туындысын флюксия деп, ал функцияның өзін флюента деп атаған. Г. Лейбниц дифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны [pic] түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі әдебиетте де жиі кездеседі. Лейбниц [pic] символын [pic] функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған.
Егер [pic] ( [pic] белгілеуін еңгізсек, онда (4) анықтаманы былай жазуға болады:
[pic]
Ал [pic] Функция өсімшесі екенін ескерсек, онда функция туындысының анықтамасын былай жазамыз:
[pic]
Егер [pic] функциясы (а;b) аралығының (мұнда [pic] болуы да мүмкін) әрбір нүктесінде туындысы бар болса, онда бұл функцияны [pic] аралығында дифференциалданады деп атаймыз. Жалпы, функцияның берілген нүктедегі туындысын анықтау процесін функцияны дифференциалдау деп атайды. Сонымен, егер [pic] болса, онда (1) теңдікпен [pic] аралығында функция анықталатындығы түсінікті. Бұл [pic] функциясын берілген [pic] функциясының [pic] аралығындағы туындысы деп атайды.
1 – мысал: [pic] функциясының туындысын табу керек.
Шешуі: [pic] Сонда [pic]
2 – мысал: [pic] функциясының туындысын табу керек.
Шешуі: [pic]
Осыдан [pic]
Сонымен, [pic]
ІV.Өтілген материалдарды бекіту, пысықтау сұрақтары: (слайд)
1)Туынды тарихы?
2)«Туынды» терминін алғаш рет кім ашты?
Оқулықтан: №407, №408, №411, №417 – 420.
407. [pic] функциясының [pic] нүктесіндегі өсімшесін табыңдар:
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
408. [pic] функциясының [pic] нүктесіндегі [pic] пен [pic] - ті табыңдар:
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
411. Материалдық нүкте [pic] заңдылығымен түзу сызық бойымен қозғалады. 1) [pic] бастапқы кездегі; 2) [pic] уақыт мезетіндегі қозғалыстың лездік жылдамдығын табыңдар.
V. «Кім жылдам?»- деңгейлік есептер. (интерактивті тақта арқылы)
Оқулықтан: №412. 1) [pic] заңдылықтарымен түзу сызықты қозғалыста болатын материалдық нүктенің [pic] уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығын табыңдар.
413. [pic] сек болғанда материалдық нүкте [pic] заңдылығымен түзу сызықты қозғалыста болады. 1) [pic] сек; 2) [pic] сек уақыттарындағы нүктенің лездік жылдамдығын табыңдар.
414. [pic]
415. [pic]
421. [pic] заңдылығымен түзу сызықты қозғалыста болатын дененің [pic] уақыт мезетіндігі лездік жылдамдығын табыңдар.
1) [pic]
VІ.Үйге тапсырма: (слайд)
№410, №416, №422.
VІІ. Қорытындылау кезеңі: оқушылардың жаңа сабақтан алған білімдерін сұрақ қою арқылы анықтау. Белсенділік танытқан, есеп шығарған оқушыларға олардың білім деңгейіне сай баға қою.
Сұрақтар:
Туынды дегеніміз не?
Туындыны қалай белгілейді?
Лездік жылдамдық қалай анықталады?
Туындының механикалық мағынасы қандай?
Туындының белгілеулерін кімдер еңгізді?
