2-семестр Функциональный анализ. Магистратура
Составитель доцент Р.М.Тургунбаев
1. Укажите не верное утверждение.
*Если отображение F имеет слабую производную, то оно имеет и сильную производную и эти производные совпадают.
Если слабая производная [pic] отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.
Если отображение [pic] дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.
Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть сам этот оператор.
2. Укажите не верное утверждение.
*Если F(x) непрерывный оператор, то его производная есть сам этот оператор.
Если слабая производная [pic] отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.
Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, и они совпадают.
Если отображение [pic] дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.
3. Пусть на Гильбертовом пространстве H задан ограниченный оператор [pic] . Укажите какие условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы оператор P был проектором 1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ; 4) [pic]
*1 и 2
1 и 3
только 1
1 и 4
4. Пусть на Гильбертовом пространстве H задан ограниченный оператор [pic] . Укажите какое условие является необходимым для того, чтобы оператор P был проектором:
* [pic]
P2=0
[pic]
[pic]
5. Укажите не верное утверждение. Если E банахово пространство и T:EE ограниченный линейный оператор, то
* [pic]
sp(T) замкнутое множество
sp(T) компактное множество
sp(T) не пустое множество
6. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], где [pic] .
*{0}
{1}
[0,1]
7. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], где [pic] .
*[0,1]
{0}
{1}
8. Найти спектр оператора A: C[0,1]C[0,1], где [pic] .
*{0;1}
{0}
{1}
[0,1]
9. Укажите не верное утверждения для сильной производной.
*Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть постоянное число.
Если F(x)=y0=const, то F’(x) [pic] 0 (нулевой оператор).
Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть сам этот оператор.
Сильная производная единственна.
10. Укажите не верное утверждение.
*Если F(x) непрерывный линейный оператор, то его производная есть число.
Если слабая производная [pic] отображения F существует в некоторой U окрестности точки x0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от x, непрерывную в точке x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.
Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, и они совпадают.
Если отображение [pic] дифференцируемо в точке x, то оно обладает единственной сильной производной.
11. Если E и F банаховы пространства, [pic] ограниченный линейный оператор, то
A)* [pic] .
B) [pic]
C) [pic]
D) [pic]
12. Если Т оператор в гильбертовым пространстве H, то сопряженный оператор определяется следующим равенством.
A)* [pic]
B) [pic]
C) [pic]
D) [pic]
13. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции [pic] ?
A)* [pic] и [pic] - эрмитовы операторы;
B) [pic] ;
C) [pic] ;
D) [pic] ;
14. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции [pic] ?
A)* [pic] ;
B) [pic] ;
C) [pic] ;
D) [pic] - положительный оператор
15. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство верно для инволюции [pic] ?
A)* [pic] - положительный оператор
B) [pic] ;
C) [pic] ;
D) [pic] и [pic] - Эрмитовы операторы;
16. Пусть Н комплексное гильбертово пространство. Какое свойство не верно для инволюции [pic] ?
A)* [pic] ;
B) если существует [pic] , то [pic] .
C) [pic] единичный оператор;
D) [pic] - положительный оператор
17. Укажите верное утверждение. Линейный оператор T отображает [pic] в [pic] и выражается матрицей [pic] .
A) * тогда оператор T* выражается матрицей [pic] .
B) тогда оператор T* выражается матрицей [pic] .
C) тогда оператор T* выражается матрицей [pic] .
D) тогда оператор T* выражается матрицей [pic] .
18. Укажите верное утверждение. Линейный оператор T отображает [pic] в [pic] и выражается матрицей [pic] . для того чтобы оператор T был эрмитовым необходимо и достаточноб чтобы выполнялось равенство
A) * [pic]
B) [pic]
C) [pic]
D) [pic]
19. Пусть [pic] комплексное Гильбертово пространство и [pic] оператор Фредгольма. Найти сопряженный оператор.
A)* [pic]
B) [pic]
C) [pic]
D) [pic]
20. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите производную Фреше функционала F(x)=||x||2.
A) * [pic]
B) [pic]
C) [pic]
D) не существует
21. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите дифференциал функционала F(x)=||x||.
A)* (y,h)/||y||, y0, при y=0 не существует
B) (y,h)|, y0, при y=0 не существует
C) (y,h)/||y||
D) (y,h)
22. Пусть H гильбертово пространство над полем действительных чисел. Найдите дифференциал функционала F(x)=||x||2.
A) * [pic]
B) [pic]
C) [pic]
D) не существует
23. Напишите уравнение Эйлера функционала [pic]
A)* y+y’’=0
B)y-y’’=0
C)y’’-y=0
D)2y-y’’=0
24. Напишите уравнение Эйлера функционала [pic]
A)* [pic]
B) [pic]
C) [pic]
D) [pic]
25. Найдите экстремаль функционала [pic]
A)* y=x
B) y=-x
C) y=2x
D) не существует
26. Найдите экстремаль функционала [pic]
A)* [pic]
B) [pic]
C) [pic]
D) [pic]
27. Укажите верное утверждение. Пусть H комплексное гильбертово пространство, T самосопряженный оператор. Тогда собственные числа оператора Т
A)* вещественные числа.
B) положительные числа.
C) отрицательные числа.
D) комплексные числа.
28. Укажите верное утверждение. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор [pic] . Тогда
A)* точечный спектр пустое множество, непрерывный спектр [0,1]
B) точечный спектр [0,1], непрерывный спектр пустое множество
C) точечный спектр пустое множество, непрерывный спектр {0,1}
D) точечный спектр {0,1}, непрерывный спектр пустое множество
29. Укажите не верное утверждение
A)* Всякий проектор в гильбертовом пространстве компактен
B) Непрерывный линейный оператор переводящий банахово пространство Е в некоторое его конечномерное подпространство компактен
C) В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен
D) Оператор, сопряженный компактному компактен.
30. Какое утверждение не верно?
A)* В бесконечномерном пространстве Е компактный оператор имеет ограниченый обратный.
B) Если T компактный оператор, В –ограниченный, то операторы TB и BT компактны
C) Если {Tn}-последовательность компактных операторов в банаховом пространстве Е, сходящаяся по норме к некоторому оператору T, то опреатор T компактен.
D) Оператор, сопряженный компактному компактен
31. Укажите не верное утверждение.
A)* Производная непрерывного линейного оператора есть постоянное число.
B) Если F и G диференцируемы в некоторой точке [pic] , то [pic]
C) Agar F дифференцируема в некоторой точке [pic] , то [pic] .
D) Производная непрерывного линейного оператора есть сам этот оператор.
32. Укажите не верное утверждение.
A)* Если отображение F имеет слабую производную, то оно имеет и сильную, причем сильная и слабая производные совпадают.
B) Если отображение [pic] дифференцируема в некоторой точке x, оно имеет единственную сильную производную
C) Если F(x)=y0=const, то F’(x) [pic] 0
D) Если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают
33. Укажите не верное утверждение
A) * В конечномерном пространстве точечный спектр линейного оператора пуст
B) В конечномерном пространстве число собственных чисел линейного оператора не боле [pic]
C) В конечномерном пространстве непрерывный спектр линейного оператора пуст
D) В конечномерном пространстве спектр линейного оператора состоит только из собственных чисел
34. Пусть E, F банаховы пространства и [pic] линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия
A)* Множество [pic] всюду плотно в F.
B) множество [pic] замкнуто
C) множество [pic] открыто
D) множество [pic] компактно
35. Пусть E, F банаховы пространства и [pic] линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия: для некоторого C>0 и произвольного [pic] выполняется
A)* [pic] .
B) [pic]
C) [pic]
D) [pic]
36. Пусть E, F банаховы пространства и [pic] линейный оператор. Для того чтобы оператор Т обладал ограниченным обратным оператором необходимо выполнения следующего условия
A)*для некоторого C>0 и произвольного [pic] выполняется [pic] .
B) для некоторого C>0 и некоторого [pic] выполняется [pic]
C) для произвольного C>0 и произвольного [pic] выполняется [pic]
D) для произвольного C>0 и некоторого [pic] выполняется [pic]
37. Пусть Е банахово пространство, I-тождественный оператор в Е, [pic] ограниченный оператор. Тогда для того чтобы выполнялось соотношение [pic]
A) *достаточно, что [pic]
B) достаточно, что [pic]
C) достаточно, что [pic]
D) достаточно, что [pic]
38. Пусть Е банахово пространство, I-тождественный оператор в Е, [pic] ограниченный оператор. Тогда для того чтобы существовал [pic]
A) *достаточно, что [pic]
B) достаточно, что [pic]
C) достаточно, что [pic]
D) достаточно, что [pic]
39. Найти экстремали функционала.
А) * вариационная задача не имеет смысла
B) [pic]
C) [pic]
D) [pic]
40. Исследовать на экстремум функционал 470с.11 а
А) * минимум при у=0
B) Минимум при у=1
C) Максимум при у=0
D) Максимум при у=1
