Показательная функция, показательные уравнения и неравенства.
Определение: Функция, заданная формулой у = ах, где а>0 и а≠1, называется показательной функцией с основанием а.
Основные свойства показательной функции: 1) а0 = 1; 2) а –х = [pic] ; 3) а х а у=а х+ у; 4) [pic] ;
5) (аb)х = а х b х; 6) [pic] ; 7) (ах) у = а ху; 8) если а х=а у, то х=у;
9) при а>1 из условия, что а х > а у следует, что х > у;
при 0 < а < 1 из условия, что а х > а у следует, что х < у.
Показательные уравнения.
1) Простейшие а х=b, где а>0 и а≠1 Если b≤0, то корней нет, т.к. а х >0.
Если b >0, то х=loga b.
1) [pic]
или [pic] .
2) [pic]
2) а f(x)=a g(x) f(x)=g(x)
[pic]
3) А ах+ т+ В ах+ п=С.
Выносим общий множитель ах за скобки (за скобки можно выносить степень с наименьшим показателем).
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
4) А× а 2х + В× а х =С.
С помощью замены а х = t приводим уравнение к квадратному А× t 2+ В× t =С.
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
5) А× ах + В× а –х + С = 0.
С помощью замены а х = t приводим уравнение к квадратному А×t2+С×t +В=0.
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
6) Однородные показательные уравнения:
А× ах = В× bх – 1 степени;
А× а 2х+ В× ах bх+ С b2х=0 – 2 степени;
А× а пх+ В× ат х × b(п-т)х +С×bпх=0.
Решаем делением на bх; b2х; bпх соответственно, т.к. bх≠0, b2х≠0, bпх ≠0.
[pic] [pic]
[pic]
7) А × а f(x)=В × b g(x)
Логарифмируем обе части уравнения по одному и тому же основанию (в качестве основания логарифма можно взять, в том числе, а или b).
[pic]
8) M [pic] , где а2- b=1. С помощью замены [pic] или [pic] приводим к квадратному
[pic]
9) Уравнения, приводимые к алгебраическим уравнениям высших степеней.
[pic]
10) Уравнения, решаемые на основе свойств функций.
[pic] . Разделим обе части уравнения на 8х:
[pic] . Выражение, стоящее в левой части равенства, задаёт убывающую функцию (т.к. основание меньше 1), а выражение, стоящее в правой части равенства, задаёт возрастающую функцию (т.к. основание больше 1). Следовательно, если корень существует, то он один. Подбором получаем, что х=2
Получаем, что основными способами решения показательных уравнений являются:
Метод уравнивания показателей степеней.
Функционально-графический (основан на использовании графических иллюстраций или свойствах функций)
Метод логарифмирования.
Метод введения новой переменной.
Метод разложения на множители.
Комбинированный.
Показательные неравенства.
Простейшие показательные неравенства имеют вид ах > b или ах < b.
ах > b если b≤0, то х(-∞;+∞) ах < b если b≤0, то хÎØ
если b > 0, то ах > [pic] . если b > 0, то ах < [pic] .
Тогда при а > 1 х > logab, Тогда при а > 1 х < logab,
при 0 < а < 1 х < logab при 0 < а < 1 х < logab.
Основные методы решения показательных неравенств те же, что и для уравнений. Полученные при этом простейшие неравенства решаются на основе вышеизложенного.
Степенно-показательные уравнения
Степенно-показательными уравнениями называются уравнения вида [pic] .
При решении уравнений данного типа важно учитывать следующие условия:
основание степени не может быть отрицательным.
рассматриваются два случая решения:
а) основание степени положительно;
б) основание степени равно 1, показатели степени при этом определены.
Степенно-показательные уравнения можно решать по следующей схеме:
Уравнения вида [pic] :
[pic]
Уравнения вида [pic] :
[pic]
Данные уравнения можно также решать с помощью логарифмирования обеих частей уравнения по одному и тому же основанию и последующим разложением на множители:
[pic]
[pic]
