Урок № 3

Тема уроку « Похідна функції її геометричний та фізичний зміст»

Мета уроку:

• домогтися засвоєння означення похідної;

• сформувати значення похідної під час обґрунтування формул для обчислення похідних деяких функцій;

• сформувати поняття похідної в точці, операція диференціювання

• загальна схема знаходження похідної в заданій точці;

• сформувати геометричний та фізичний зміст похідної;

• сформувати вміння знаходити кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці,знайти швидкість зміни величини в точці.

• розвивати логічне мислення ; навички контролю, самоконтролю та взаємоконтролю; спонукати до творчої діяльності.

• виховувати любов до рідної мови та предмету; працьовитість, відчуття колективізму та відповідальності; вміння самостійно приймати рішення.

Тип уроку : засвоєння нових знань і вмінь

Методи навчання : пізнавально-практичні

Предметні зв’язки: геометрія, фізика, астрономія.

Матеріальне забезпечення уроку:

- таблиці, комп`ютер, мультимедійний проектор;

- картки-завдання ;

- додатки до теми «похідна та її застосування»

Хід уроку

І. Організаційний момент.

а) Перевірка відсутніх.

б) Перевірка готовності до уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Вибірково перевіряємо виконання домашнього завдання в учнів які потребують додаткової педагогічної уваги за матеріалом вивчених тем проводимо тестування

№ 2

[pic] =

[pic]

[pic]

№ 9

[pic]

[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] .

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Фронтальне опитування:

1.Дайте означення границі функції в точці.

2. Дайте означення функції неперервної на проміжку?

3. Сформулюйте властивості границі функції.

4. Сформулюйте означення дотичної до кола.

5.Запишіть рівняння прямої.

6.Що таке кутовий коефіцієнт прямої? Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:

а) яка є бісектрисою І і ІІІ координатних кутів;

б) яка є бісектрисою ІІ і ІV координатних кутів;

в) паралельна осі абсцис?

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності на уроці повідомлення теми мети уроку

ІV.Вивчення нового матеріалу.

План вивчення теми

1. Означення похідної функції в точці хо .

2. Яка функція називається диференційованою в точці? на проміжку?

3. Схема знаходження похідної функції f(x) за означенням .

4. Використання означення під час обґрунтування формул для обчислення похідних деяких функцій.

5. Зв'язок між диференційованістю та неперервністю функцій.

6. Геометричний зміст похідної. Кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці

7. Фізичний зміст похідної. Швидкість та прискорення прямолінійного руху.

Пояснення нового матеріалу: Конспект учня.

Функцію, яка має похідну в точці хо, називають диферен­ційованою в цій точці.

Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням

Для знаходження похідної функції у=f(x) за означенням можна користуватися схемою

1 . Знайти приріст функції [pic] який відповідає приросту аргумента [pic]

2.Знайти відношення [pic]

3. Зясувати ,до якої границі прямує відношення [pic] при [pic] х [pic] 0. Це і буде похідна.

[pic]

Сприймання і усвідомлення геометричного змісту похідної, рівняння дотичної.

Н [pic] а попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходжен­ня кутового коефіцієнта дотичної. Порівнюючи одержані резуль­тати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(x) в точці xo до­рівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою xo : f'(xo) = k = tg α (рис. 27)

Розглянемо функцію у = f(x). Її гра­фік зображено на рис. 27.

У точці М(xo;yo) проведено дотичну до кривої у=f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(xo;yo) дотику і рівняння у = f(x) кри­вої. Дотична — це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд:

у = kx + b. Оскільки k = f'(xo), тому рівняння дотичної має вигляд:

у = f'(xo)x + b.

(1)

Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(xo;yo) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:

уо = f '(хo) · хo + b, звідси b = уo – f '(xo) · xo.

Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одер­жимо:

у = f '(xo) ·x + уо – f '(xo) · xo y – yо = f '(xо )(x – xo)·

Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(xo; уo) має вигляд:

y – yо = f '(xo)(x – xo).

(2)

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці xo можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння дотичної: y – yо = f '(xo)(x – xo).

2. Знаходимо уo = f(xo)·

3. Знаходимо значення f '(x) у точці xo: f '(xo).

4. Підставляємо значення xo, yo і f '(xo) y рівняння y – yо = f '(xo)(x – xo). .

Сприймання і усвідомлення механічного змісту похідної.

На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямо­лінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):

v(t) = s'(t).

V. Формування вмінь та навичок при розв’язуванні задач по вивченому матеріалу.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(x) = Зх² + 2 в точці хо.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = 3(хо + Δx)² + 2 - 3 [pic] - 2 =

= 3 [pic] + бхоΔx+ 3Δx² + 2 - 3 [pic] - 2 = 6хоΔх+ 3Δx² = Δx(6xο + 3Δx).

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

[pic] .

Знайдемо похідну даної функції в точці х0:

f '(хo) = [pic] = [pic] = 6хо + 3 · 0 = 6хо.

Відповідь: 6хо.

Приклад 2. Знайдіть похідну функції f(x) = kx + b (k і b постійні) у точці xo.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = k(xo + Δx) + b - kxo - b = kxo + kΔx - kxo = kΔx.

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

[pic]

Отже, f '(хo) = [pic] = [pic] = k, або (kx + b)' = k.

Відповідь: k.

Приклад 3. Розглянемо функцію у == хⁿ, де n [pic] N.

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргументу х. і надамо йому приросту [pic] x, тоді:

1) [pic] y = (xo+ [pic] x)ⁿ - [pic] ,

2) [pic] [pic]

[pic] [pic] … + [pic] .

(Скористалися фор­мулою

[pic] .

3) f'(xo) [pic] + [pic] + [pic] +…+ [pic] .

Звідси (xⁿ)' =nx^{n - 1}, де n [pic] N .

а) Розв’язування задач:

№ 1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функ­ції f, якщо:

а) f(x) = х² + 1 в точці 1; б) f(x) = х³ в точці 1;

в) f(x) = [pic] в точці 1; г) f(x) = [pic] в точці 1.

Відповідь: а) 2; б) 3; в) -1; г) [pic] .

№ 2. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:

a) f(x) = 2х + 3; б) f(x) = х² + х;

в) f(x) = 5х² + 6х; г) f(x) = 3х² + 5х + 6.

Відповідь: а) 2; б) 2х + 1; в) 10х + 6; г) 6х + 5.

№ 3. За допомогою формули (kx + b)' = k, знайдіть похідні функції:

a) f(x) = 3х + 4; б) f(x) = 6х - 1;

в) f(x) = 10; г) f(x) = 5х.

Відповідь: а) 3; б) 6; в) 0; г) 5.

№ 4. Точка рухається по закону s(t) = 1 + 2t² (м). Знайдіть швид­кість руху точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: 4 [pic] .

№ 5. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

a) s(t) = 3t + 1; б) s(t) = 3 – 2t; в) s(t)= [pic] t²·, г)s(t) = 3t².

Відповідь: а) 3; б) -2; в) 5t; г) 6t.

№6. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t³ — 3t (s — шлях в метрах, t — час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:

а) в момент часу t; б) в момент t = 2 с.

Відповідь: а) (6t² – 3) [pic] ; б) 21 [pic] .

№7. Рух точки відбувається за законом s(t) = t² – 4t + 6. У який момент часу швидкість руху дорівнює: а) 0; б) 10?

Відповідь: а) t = 2; б) t = 7.

№8. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х² - 4х в точці xo = 1. Виконайте схематичний рисунок.

Розв'язання

1. y - yо = f '(xo)(x – xo) — рівняння шуканої дотичної.

2. уo= 1² – 4·1 = 1 – 4 = - 3.

3. [pic] [pic] [pic] .

4. Підставляємо значення xo = 1, yo = –3, f'(xo) = –2 у рівняння дотичної: y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х (рис. 28).

№ 9. Який кут (гострий чи тупий) утворює з додатним напрямом осі ОХ дотична до графіка функції: а) у = х² + 2х в точці x = 1; б) у = х² + 2х в точці x = -27

Відповідь: а) гострий; б) тупий.

№ 10. Запишіть рівняння дотичної до параболи у = 3х² - 2 у точці:

а) xo = -2; б) xo = 0; в) xo = 1.

Відповіді: а) у = - 12х - 14; б) у = -2; в) у = 6х - 5.

Історична довідка

Знак Δх запровадив 1755 року Л.Ейлер. Цей знак утворено з грецької букви « дельта», оскільки латиною слово differentia – різниця , відмінність,починається з букви d.

Термін « похідна» (французьке derive`e) увів 1797 року французький математик Ж.Лагранж (1736-1813). Він запровадив символ f ^І(x). Інакше позначення для похідної dx запропонував в 1675 році Г.Лейбніц, якого справедливо вважають творцем сучасної символіки математичного

аналізу

VІ. Підведення підсумків уроку.

а) Дайте відповіді на запитання

1. Що називається похідною функції в точці хо .

2.Яка функція називається диференційованою в точці? на проміжку?

3.Схема знаходження похідної функції f(x) за означенням .

4.Геометричний зміст похідної. Кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці

5.Фізичний зміст похідної. Швидкість та прискорення прямолінійного руху.

б)Коментування діяльності учнів на уроці, виставляння оцінок

VІІ. Домашнє завдання.

Розділ 2. п.7 вивчити конспект

Самостійна робота с.77