Филиал Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Трудовская школа» при ГБУЗ РК «КПБ №5»

Урок в 9 классе на тему:

«Сумма бесконечно убывающей

геометрической прогрессии»

[pic]

Павловская Светлана Фёдоровна,

учитель математики МБУО

«Трудовская школа» при ГБУЗ РК

«КПБ №5»

2016 год

[pic]

ЦЕЛИ УРОКА.

Образовательные цели:

закрепить навыки решения задач по нахождению суммы n первых членов геометрической прогрессии; ввести понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии; вывести формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сформировать умение в её применении.

Развивающие цели:

развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, сообразительность, речь учащихся.

Воспитательные цели:

повысить интерес к решению нестандартных задач, сформировать положительный мотив учения.

Образовательные технологи:

Тип урока: урок изучения и закрепления полученных знаний.

Оборудование: проектор, компьютер, экран, презентация, карточки с домашней контрольной работой.

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент (2 минуты): приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, определение личностных целей (приложение 1).

. Познакомить учащихся с порядком работы на уроке.

2. Математическая разминка (8 минут).

1. Сообщение исторического содержания (приложение 2).

2. Математический диктант.

[pic]

с) Фронтальный опрос:

1. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

2. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?

3. Какова формула n –го члена геометрической прогрессии?

4. Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии?

5. Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими.

3. Самостоятельная работа контролирующего характера (7 мин.). (Учащиеся выполняют работу по карточкам и сдают на проверку учителю)

Уровень 1.

1. b1 = -4, q = 2. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.

2. Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 2; 4; …

Уровень 2.

1. b1 = 8, q = 1/2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии.

2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии: 3; - 6; ….

3. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой: b2 = 2, b4 = 18, q > 0.

Уровень 3.

1. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b1 = 2 , q = .

2. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой: b2 = 6, b4 = 24, q > 0.

3. Докажите, что последовательность (bn) является геометрической прогрессией, и найдите сумму n первых ее членов, если bn = 32^n-1.

4. Изучение нового материала (8 мин.).

1. Устные упражнения:

Укажите знаменатель геометрической прогрессии сравните его модуль с 1:

1,

1; 0,1; 0,01; ……

25; - 5; 1; ……..

1; 0,25; ……….

Сделайте вывод. Предллагаю учащимся самостоятельно сформулировать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. (определение записывают в тетрадь)

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

а) Задача практического характера.

Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего.

Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 5 м?

(после практического решения задачи делается вывод, что не дойдёт). Возникает вопрос: «А какое расстояние он пройдёт?»

5. Актуализация знаний учащихся, подготовка к восприятию нового. Устные упражнения (8 мин).

Сообщение темы и цели урока.

В результате, мы получили последовательность шагов: образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

Применяя формулу суммы первых членов геометрической прогрессии

Получим: = = - 2( -1) = 2, т.к. 0, при n

б) Вывод формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →∞

6. Практическое применение нового материала (6 мин.). (приложения 2-3).

Задача №1 (самостоятельно на местах).

b1 = , b2 = , S - ?

q = : 1, то

S = = = Ответ:

Задача №2 (один учащийся у доски, остальные помогают и записывают в тетрадь).

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь

а = 0,(15) = =0,151515 в виде обыкновенной дроби.

Решение этой задачи знакомит учащихся с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

0,(15) = 0,15 + 0,0015 + 0,000015 + …………

0,15; 0,0015; ……- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

b1 = 0,15

b2 = 0,0015

S - ?

Решение:

q = = 0,0015 : 0,15 = 0,01

S = = : = = =

Ответ: 0,(15) =

7. Самостоятельная работа на закрепление материала с последующей проверкой (4 мин).

Уровень 1.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной. Ответ:

Уровень 2.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,(18) в виде обыкновенной. Ответ:

Уровень 3.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,4(6) в виде обыкновенной. Ответ:

8. Итог урока. Рефлексия (2 мин.)

1. С каким видом геометрической прогрессии мы познакомились на уроке?

2. Какую последовательность чисел можно назвать геометрической прогрессией?

3. Какую геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей?

4. Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

[pic]

Приложение 1.

[pic]

Приложение 2.

ДЛЯ ЧЕГО НУЖНА ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

И ИСТОРИЯ ЕЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на 7%, умноженному на 1,07. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 7%, т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на 1,07. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов – процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил 4 человек, те в свою очередь заразили еще по 4 человека, и таким образом вторая волна заражения – 16 человек, а те в свою очередь, заразили еще 4… и так далее…

Кстати, финансовая пирамида, та же МММ – это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.

Приложение 3.

[pic]

[pic]

Приложение 4.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Уровень 1.

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bn), если b1 = - 3, q = 2.

2. Первый член геометрической прогрессии (bn) равен 2, а знаменатель 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 24, 12, 6, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,(27).

Уровень 2.

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (bn), если b1 = 0,81, q = .

2. Второй член геометрической прогрессии (bn) равен 21 , а четвёртый равен 189. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии - 40, 20, - 10, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,5(6).

Уровень 3.

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bn), если b1 = 729, q = .

2. Третий член геометрической прогрессии (bn) равен 3,6, а пятый равен 32,4. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -54, 18, - 6, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,7(4).

10