Жылдам есептеу тәсілдері
Математика ең алдымен оқушылардың дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады, шыңдай түседі. Американдық педагог – математик Д.Пойа былай деген: « Математиканы білу деген не? Бұл есептерді шығара білу, онда стандарттық есептерді ғана емес ойлаудың еркіндігін, сананың салауаттылығын, өз болмысты, тапқырлықты керек ететін есептерді шығару».
Математика өмірді сан арқылы бейнелейді. Адамзат баласы ең алғаш рет жазу-сызудан бұрын санауды үйренгені хақ. Осылайша, бертін келе адамдар қарапайым арифметикалық амалдарды қолдануды үйреніп, олардың негізгі қасиеттерін сараптап, тағы басқа да математикалық білімдерін дамыта түседі. Әуел баста адамдар саусақтармен амалдар қолданып, кейіннен есептеудің өзге де тәсілдерін ашқан. Сондай-ақ жылдам есептеу әдістеріне талдау жасап, оны келешек ұрпаққа таратып отырған.
Ал біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамға сапалы және терең білімнің, іскерліктің және жылдамдықтың болуын қажет етеді.
Бүгінгі күнде ғылыми технологияның дамуына байланысты адамзат баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда. Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана отырып, кез-келген күрделі есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады,тіпті калькуляторлардың өзі бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады. Сол себепті де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады. Осы жайды ескеріп, біз бұл ғылыми жұмыста логикалық ойлау қабілетін дамытатын шапшаң есептеудің кейбір әдістерін мейілінше қарастырдық.
Бұл жобаны қорғаудағы басты мақсат: жылдам есептеу әдістерін үйрене отырып, есептеуді ойша шешіп, есеп нәтижесін табуды жылдамдату және есептеу әдістері арқылы болашақта математика ғылымының дамуына өз үлесімізді қосу болып табылады.Шапшаң есептеу әдіс-тәсілдерін қолдану тапқырлыққа, зеректікке, логикалық ойлай білуге, амалдарды және күнделікті өмірде кездесетін әр адамға қажет қарапайым есептеулерді тез және тиімді жолдармен орындауға үйретіп, есептеу жұмысын оңайлатады.
Жобада кез-келген санның квадратын жылдам есептеу әдістері, сандарды 5, 25, 125-ке көбейту, 11-санына жылдам көбейту, көршілес сандарды көбейту,берілген санды 9, 99, 999 -ға көбейту сияқты әдіс -тәсілдері қарастырылған.
Осы жұмыспен айналысу барысында өзімізді қызықтырған кейбір мәселелерді сіздерге көрсеткіміз келеді.
1. Кез-келген санның квадратын шапшаң есептеу тәсілдері:
Қатар екі санның алдыңғысының квадраты белгілі болған жағдайда кейінгі санның квадраты алдыңғы санның квадратына алдыңғы сан мен сол санның өзін қосқанға тең болады.
101 санының квадратын табу үшін :
1012 =1002+101+100=10000+201=10201
яғни, (1)
(2)
қосындының квадраты заңдылығының b=1 болғандағы салдары болып табылады.
Жоғарыда келтірілген өрнек 102-109 сандары үшін былай жазылады:
1022=1002+(100+102) 2=10404
1032=1002+(100+103) 3=10609
1092=1002+(100+109) 9=11881
Демек, өрнекті былай түрлендіруге болады:
(3)
(4)
Енді аталған заңдылықтарды басқа да сандар үшін қолдану мүмкіншілігін іздестіріп көрелік. Айталық, бізге 91-109 сандарының квадратын 100 санын қолдана отырып табу қажет болды делік. 91-98 сандарының квадраттарын 100 саны арқылы табу үшін былай жазамыз:
982=1002-(100+98)2
972=1002 -(100+98)3
912=1002-(100+91)9
Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның квадратынан сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, айырғанға тең болады және керісінше, квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты сол санның квадратына сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, қосқанға тең.
Өрнектер мынадай жалпы түрге ие болады:
(5)
(6)
мұндағы, х- квадраты белгілі сан; - квадраты белгілі сан мен квадраты анықталатын сан айырымы; мысалы, 98 саны үшін 100-98=2
Мысалы, 17 санының квадратын табу үшін өрнекті былай жазуға болады:
172=202-(20+17)3=400-111=289
Яғни, 17 санының алдындағы квадраты оңай есептелетін сандардың ең жақыны 15, ал соңындағы сандардан 20-ны алу тиімдірек.
Сонымен, кез-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарын оңай және ұтымды түрде табуға болады екен.
Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз- ақ кез-келген саның квадратын еш қиналмай табатыны сөзсіз.
400-39=361
Ал 182, 282, 382, 482, ... ... 172, 272, 372, есептеп табу үшін
Мына сандардың квадраттарын табу барысында сандар арасындағы байланыстарды білу арқылы үлкен сандардың квадраттарын жаттап алуға болады екен, олар:
32 =9 112 =121
332 =1089 1112 =12321
3332 =110889 11112 =1234321
33332 =11108889 111112 =123454321
333332 =1111088889 1111112 =12345654321
92 =81 62 =36
992 =9801 662 =4356
9992 =998001 6662 =443556
99992 =99980001 66662 =44435556
999992 =9999800001 666662 =4444355556
Соңғы цифры 5 болатын сандарды шапшаң квадраттау әдісі
Соңғы 5 цифрын квадраттап, оның алдына келесі разрядтағы санды өзінен 1-ге артық санмен көбейтіп, 5-тің квадраты 25 санының алдына жазады.
152, 252, 352, 452, ... ..., 952 есептейік.
------------------------------------
305305=93025, а) 55=25 б) 30(30+1) = 930
23452= 5499025, өйткені 234 235 = 54900, 25 саны тіркеліп жазылады.
376852 = 14201592225, өйткені 3768 3769 = 142015922, оған 25 саны тіркеліп жазылады.
Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң
квадраттау әдісі
25 санына санның бірлік разрядындағы цифры қосылады, оның оң жағынан бірлік разрядтағы сан квадратталып тіркеліп жазылады, төрт таңбалы сан шығатындай тәртіп сақталады. Бұл әдіс мына тепе-теңдікке негізделген:
Мысалы: 5151=2601
5858 =3364 а) 25+8 =33 б) 88=64
Берілген санды 5-ке, 25, 50, 500-ге көбейту және бөлу
ға көбейтіп, шыққан санды 2-ге бөлу керек.
Мысалы: 645=320
1) 6410=640 2) 640:2=320
Мысалы: 987 15=14805
1) 98710 =9870 2) 9870:2=4935 3) 9870+4935=14805
Мысалы: 468215=70230
1) 468210=46820 2) 46820: 2 =234 10
3) 46820+23410 =70230
Мысалы: 8425=2100
1) 84100=8400. 2) 8400:4=2100
Мысалы: 74550=37250
1) 745100=74500 2) 74500:2=37250
Мысалы: 98250=24500
1) 981000=98000 2) 98000:4=24500
Мысалы: 86500=43000
1) 861000 =86000 2) 86000:2=43000.
5, 25, 125 сандарына шапшаң бөлу әдісі
Ол үшін сәйкесінше берілген санды 2-ге, 4-ке, 8-ге көбейтіп, 10-ға, 100-ге, 1000-ға бөлу керек.
Мысалы: 220: 5=:10=44
1300:25 =(13004):100=52
9250:125=(92508):1000=74
Кейде амалдар тәртібін ауыстыруға болады, әуелі 10, 100, 1000 сандарына бөліп, сосын 2, 4, 8 сандарына көбейтуді орындауға болады.
Ферроль әдісімен көбейту
Көбейтіндінің бірлігін алу үшін көбейткіштердің бірліктерін көбейтеді. Ондығын алу үшін біреуінің ондығын бірлігіне және керісінше көбейтіп, қосындыға ойға алған санды қосады, жүздігін алу үшін ондықтарын көбейтеді. Бұл әдіс мына теңдіктен шығады:
Осы әдіспен 10-нан 20-ға дейінгі екі орынды сандарды көбейтіп көрелік:
Мысалы: 1214 =168
1) 24 =8
2) 12+14=6
3) 11=1
Мысалы: 2738 = 1026
1) 78 = 56, 6-ны жазамыз, 5-ті ойға аламыз
2) 28+73+5 = 42, 2 жазылады, 4 ойға алынады
3) 23+4 = 10
Осылай үш орынды санды екі орынды санға да көбейтуге болады.
Мысалы: 12523 =2875
1) 35=15, 5 жазылады, 1 ойға алынады
2) 23+25+1=17, 7 жазылады, 1 ойда
3) 22+13+1=8, 8 жазылады
4) 21= 2, 2 жазылады, сонымен нәтиже: 12523=2875 болады.
11 санына көбейту және бөлу әдісі.
Есептеуді тездетудің өзгеше бір әдісі – санды 11-ге көбейту әдісімен
танысайық. Мысалы, 26-ны 11-ге көбейту керек болсын. Oл үшін әуелі 26
санын құрайтын 2 және 6 цифрларын қосып, 2 шыққан қосындыны 2 және 6 цифрларының арасына «сыналап» енгізіп жазамыз, сонда 286 саны пайда болады.
Cанды құрайтын цифрлардың қосындысы екі таңбалы сан болуы да мүмкін, алғашқы цифры 1 болмақ. Осы 1-ді санның ондық орында жазылған цифрына қосу керек те, цифрлардың арасына қосындының бірлік орындағы цифрын «сыналап» енгізу шарт. Мысалы, 75-ті 11-ге көбейткен кезде 75 санын құрайтын цифрларды қосып, (7+5=12) пайда болған нәтиженің алдыңғы цифрын 7-ге қосамыз. Сонда 85 саны, ал 2 цифрын жаңадан пайда болған 85 санының 8 бен 5 цифрларының арасына «сыналап» ендіріп жазсақ, 825 саны пайда болады.
Мысалы: 5411 = 594
1) 4-ті жазамыз.
2) 4+5 = 9 жазылады.
3) 5-ті жазамыз
Егер көрші цифрларының қосындысы 9-дан артық болса, бірлігі жазылып, ондығы ойға алынады, келесі қосындыға бір саны қосылады.
Мысалы: 5811 = 638
1) 8-ді жазамыз
2) 5+8 = 13 3-ті жазып, 1-ді ойға аламыз.
3) 5+1= 6, 6-ны жазамыз
Тек санның құрамындағы тақ орындағы цифрларының қосындысы мен оның жұп орындағы цифрларының қосындысының айырмасы 0-ге тең немесе 11-ге бөлінетін сандар ғана, тек сол сандар ғана 11-ге бөлінеді.
Мысалы: 43715265 саны 11-ге бөлінеді, өйткені,
(4+7+5+6)-(3+1+2+5)=22-11=11 саны 11-ге бөлінеді.
12922120 саны 11-ге бөлінбейді, өйткені
(1+9+2+2)-(2+2+1+0)=14-5=9 саны 11-ге бөлінбейді
Оңнан солға қарай тізбектей бірінші көбейткіштің соңғы цифрын жазу керек. Содан кейін цифрларының қосындысы, соңында көбейткіштің бірінші цифрын жазу керек.
Мысалы: 42111 = 4(4+2)(4+2) = 4662
68111 = 7548
1) 8-ді жазамыз
2) 6+8 = 14, 4-ті жазып, 1-ді ойға аламыз
3)6+8+1 = 15, 5-ті жазып, 1-ді ойға аламыз.
4) 6+1 = 7
34511 = 3795, өйткені 15 =5; 4+5 =9; 3+4 =7; 13=3.
abc 11 = (100a +10b +c)(10+1)= 1000а + 100(a +b) + 10(b+c)+c
989 111 = 109779, өйткені 19 =9; 8+9= 17, 7 жазылады 1 ойда; 9+8+9=26+1=27, 7 жазылады 2 ойда;
9+8=17+2=19, 9 жазылады 1 ойда; 19=9+1=10.
Cанды лезде 1001-ге көбейту
1001 – даңқы шыққан Шахеризада саны 7, 11 және 13 сандарына қалдықсыз бөлінеді немесе 1001=7 11 13 болады, бірақ бұл санның ерекшелігі бұл емес.
Кез- келген екі таңбалы санды 1001-ге көбейткенде, нәтиже сол санды екі рет тіркеп, арасына 0 санын тіркегендегі мәнге тең болады.
Мысалы: а) 471001=47047 б) 681001=68068.
----------------------
-------------------------
Үш таңбалы санды 1001-ге көбейткенде шығатын көбейтіндіні осы үш таңбалы санды екі рет қайталап жазғанға тең. Яғни, есептеу барысында жоғарыдағы ережені пайдаланып, есептің нәтижесін әп-сәтте табуға болады.
Мысалы: а) 873 1001=873873 б) 236 1001=236236
1001 санын төрт таңбалы санға көбейтелік:
56281001=5633628 саны шығады.
Бұдан байқағанымыз: 56281000+5628=5628000+5628=5633628 шығады.
Дәл осылай санды түрлендіру арқылы есепті шешуді жеңілдетуге болады.
10101 санын екі орынды кез- келген санға көбейтсек, сол екі орынды санды үш рет қайталап жазғандағы нәтижені береді.
Көршілес сандарды көбейту
Көршілес сандарды оңай көбейту үшін әуелі көбейтілетін санның неше таңбалы екенін жақсы ажырата алу керек. Егер сандар екі таңбалы болса, алдымен олардың ондық цифрлары өзара көбейтіледі. Кейін ондық цифры сандардың бірліктерінің қосындысына көбейтіледі. Ең соңында көршілес сандардың бірліктері өзара көбейтіліп, жоғарыдағы амалдардан шыққан нәтижелер өз кезегімен қосылады. Осылайша, нәтиже шығады.
1)
2)
3)
1)
2)
3)
Мұндай көбейту кезінде алдыңғы екі шарт өзгермейді. Алайда, бірліктер санын тапқанда біз көбейтіндіні 0 деп жазбаймыз. Себебі бұл жағдайда
жоғарыдағы өрнектің мәні дұрыс шықпайды, сондықтан бірліктер мәніне жоғарыдағы өрнектің бірліктерінің бірігуін аламыз (яғни 90 cаны), сонда:
34=12 жүздік
39 =27 ондық
90=90 бірлік
3940=1560 шығады.
Үш таңбалы сандар үшін: 326327=?
33=9 онмыңдық
326 =159 жүздік
2627=400 260 42=702 бірлік
326327=90000 +15900 +702=106602.
Егер алғашқы сандардың қосындысы 10-нан аз болса, онда цифрларды 2,3,...т.б жылжытып қосындылдарын жазамыз.
Мысалы:
24 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (2 қадам жылжыттық)
24 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 ( 3 қадам жылжыттық)
81 11111= 8 (8+1) (8+1) (8+1) (8+1)1= 899991 ( 4 қадам жылжыттық)
72 111111 = 7999992 ( 5қадам)
Егер бірлік санымыз 7 болса, онда біздің қадамымыз 6-ға тең болады.
61 11111111 = 677777771
721111111111111=79999999999992
Екі санның қосындысы 10-нан көп болса, былай орындалады.
48 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 +1) (2+1) 28 = 5328.
Осындай жағдайда алдынғы санға 1 қосамыз.
56 11111 = 5(5+6)(5+6)(5+6)(5+6)6 = 5(11)(11)(11)(11)6 = 622216
67 1111 = 6(6+7)7 = 6(13) 7= 74437
Екі таңбалы санды 12- ге көбейту
Екі таңбалы санды 12-ге көбейту үшін сол сандардың бірліктерін көбейтіп, көбейтіндіге жазамыз. Сол бірліктерді қосып, көбейтіндінің ондығына жазу керек. Ондықтарын көбейтіп, жүздігіне жазамыз.
Мысалы: 1412=168
1) 42=8 2) 4+2=6 3) 11=1
Егер бірліктер көбейтінділері 10- нан асса, онда көбейтіндіге бірлігін жазамыз, ал ондығын бірліктер қосындысына қосамыз.
Бірліктер қосындысы 10-ға толса, не 10- нан асса, бірлігін санның келесі цифрына бірді қосып, оны 1-ге көбейтіп, нәтижені көбейтіндіге жазамыз.
Мысалы: 1612=192.
1) 62=12 2 -ні көбейтіндіге жазамыз. Бірді бірліктер қосындысына қосамыз
2) 6+2=8
3) 8+1=9, 9 -ды көбейтіндіге жазамыз.
4)11=1
Мысалы: 1812=216
1) 82=16
2) 8+2=10
3)10+1=11
4) 11=1
5)1+1=2
20, 21, 22, 23, 24 сандарын 12-ге көбейткенде өзгешелік бар. Айырмашылығы: бірліктерін қосқаннан кейін, қосындыға 2-ні қосып, бірлігін көбейтіндіге жазамыз.
Мысал: 2212 =264.
1) 22=4 4- ті көбейтіндіге жазамыз.
2) 4+2=6 4-ке тағы да екіні қосамыз да 6-ны көбейтіндіге жазамыз
3) 21=2 көбейтіндіге жазамыз.
25, 26, 27, 28, 29 сандарын 12-ге көбейтуде осының алдындағы сияқты.
Мысалы: 2612=312
1) 62=12 2-ні көбейтіндіге жазамыз
2) 6+2=8 8-ге ойдағы бірді қосамыз
3) 8+1=9
4) 9+2=11
5) 21=2 2-ге ойдағы 1-ді қосамыз
6) 2+1=3
Берілген санды 9, 99, 999-ға көбейту.
Берілген санды 9-ға көбейту үшін бірінші көбейткішті 10-ға көбейтіп, одан берілген санды азайту керек.
Мысалы: 829=738
1) 8210=820 2) 820-82=738
Берілген санды 99 -ға көбейту үшін, санды 100-ге көбейтіп, шыққан нәтижеден берілген санды азайтамыз.
Мысалы: 7599=7425
1) 75100=7500 2)7500-75=7425
Бірінші көбейткішке екінші көбейткіштегі 9-дар саны қанша болса, сонша ноль тіркеп жазады. Содан соң бірінші көбейткішті шегереді.
Мысалы: 2869 =2860-286=2574
2399=2300-23=2277
18999=18000-18=17982
999-ға, 333-ке, 111-ге, 37-ге, 27-ге бөлінгіштік белгілері.
Берілген сан 999-ға, 333-ке, 111-ге 37-ге, 27-ге бөлінуі үшін оңнан солға қарай үш- үштен санағанда алғашқы үш бөліктің қосындысы, одан кейінгі үш бөліктің қосындысына тең болса және олар 999,333,111,37, 27-ге бөлінетін болса, ол осы сандарға бөлінеді.
Мысалы 776223-ті тексеріп көрейік: 223+776=999.
Берілген сан 999-ға да, 333-ке де, 11-ге де, 27-ге де бөлінеді.
Қорытынды
Қазіргі заман математика ғылымының өте кең, жан-жақты тараған кезеңі. Қазіргі таңдағы қоғамның дамуының негізгі факторы –білім, ғылым және демографиялық, саяси тұрақтылық. Олай болса, дәуір қанша құбылғанымен, біздің жас болашағымыздың жақсы болуы білім – ілімсіз жүзеге асуы мүмкін емес. Сондықтан да, еліміздің Президенті Н.Ә. Назарбаевтың білім мен ғылымның дамуына баса назар аударуы, оны үнемі өз бақылауында ұстауы – соның айқын дәлелі.
Алайда, соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Осындай жайттарды ескерген әрбір оқушы өз бетінше шапшаң есептеуге, ауызша жаттығуларға уақыт бөліп отырғаны жөн. Сондықтан мен өзімнің шығармашылық жобамды жан-жақты ізденіп, теориялық білімімді өмірмен ұштастырып, шапшаң есептеуді жүзеге асыруды әр түрлі есептерді шығару арқылы дәлелдеуге тырыстым. Бұл ғылыми жұмысты жасай отырып, шапшаң есептеудің кейбір әдістерін зерттеуді жүзеге асыруда әр
Тез есептеулер әдісі адамның қоғам өміріндегі мәні орасан зор. Санай білмей, сандарды қосуды , азайтуды, көбейтуді , бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып, сондай -ақ сандардың қасиеттерін және де тез есептеу әдістерін пайдалана алмайтын адамның ақыл-ойы мен адам қоғамының дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды.
Егер қолыңызда есептеуіш техника, кесте болмай қалса осындай есептеу тәсілдері сізге көмекке келетіні сөзсіз.Сондықтан да бүгінгі осы жобада келтірілген тез есептеу әдістері адам өміріне қажетті және маңызды деп санаймын.
Шапшаң есептеу әдістерін үйрене отырып, болашақта математикалық білімді жетілдіре отырып,аздамның ойлау қабілетін дамыту.
Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамда сапалы және терең білімнің іскерліктің болуын қамтиды.Жастардың белсенді шығармашылық пен жұмыс істеуін және кеңінен ойлауға қабілетті болуын талап етеді.Әрбір адам өз бойындағы туғаннан пайда болған интуициясын әрі қарай дамытуға, табиғи қасиеттерін, математикалық білім деңгейін тереңдету үшін өз бетінше білім алуға қадам басып ұмтылу керек.
Жалпы алғанда, жобада көрсетілген бұл әдістердің қай-қайсысы болмасын, есептеуді жеңілдетуде және әр оқырманның ой ұшқырлығын дамытуда олардың алар орны ерекше. Бұл жоба енді ғана көбейту кестесін жаттап келе жатқан жас бүлдіршіндерге, тәжірибесін арттырып келе жатқан мектеп оқушыларына, олимпиадаға дайындық үстіндегі жас математиктер мен ұстаздар үшін, бір сөзбен айтқанда, көпшілік қауым үшін де таптырмас еңбек болары сөзсіз.
Қорыта келе, жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады.
Осы көрсетілген қысқаша көбейту әдістерін сабақта қолдану және оқушымен жұмыс жүргізу баланың шығармашылық қабілетін ашуда, математика пәніне қызығушылығын арттыруда көп әсер етеді.
Нәтижесінде тез есептеу әдістерін қолдану арқылы оқушылардың математика пәніне қызығушылығы артады, ойлау қабілетін, есте сақтау, зеректігін дамытады.
Зерттеу кезінде әрбір оқушының мүмкіндігі бар екеніне көзім жетті. Оқушылардың тез есептеу әдісін өмірде де қолдануға болатыны анық.
Сонымен,к ез-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарын оңай және ұтымды түрде табуға болады екен.
Қазіргі кезде әртүрлі есептеу құралдары мен неше түрлі техникалық жабдықтар пайдаланады. Бірақ та біз оларға үнемі сүйене бермеуіміз керек. Себебі ғылым мен техниканың жетістіктерінің барлығы да адам еңбегі, барлық жаңалық атаулыны жасайтын адам, сондықтан да қандай техникалық жабдық болмасын адам миынан артық емес. Ендеше өз мүмкіндігімізді молынан пайдалана білейік дегім келеді.
Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. Қазіргі көптеген мектеп оқушыларына болашақта есептеу техникасы мен автоматтық құралдармен жабдықталған цехтарда, кәсіпорындарда еңбек етуге тура келетіні сөзсіз. Жастарда жаңа техниканы басқару үшін қажетті әзірлік бар ма ? Олай болса, орта мектепті оқып жүргеннің өзінде-ақ оқушылар азды-көпті шығармашыл, іздемпаз болуы шарт.
Пайдаланылған әдебиеттер:
1. Перельман Я.И. Қызықты алгебра.
2. Математика для школьников. Научно-практический журнал.
3. Бейсеков Ж. Олимпиадалық және қызықты математикалық есеп.
4.Математика 6 сынып, оқулық Алматы, Атамұра
5.«Информатика, физика,математика» журналдары.
