Т е м а: Понятия касательной и нормали.
Уравнения касательной и нормали.
Цели:
Предметные: познакомить студентов с понятиями: касательная и нормаль к кривой; закрепить данные понятия при решении задач на составление уравнений касательной и нормали; выяснить, каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали.
Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию невраждебным для оппонентов образом; уметь слушать и слышать друг друга.
Познавательные: устанавливать причинно-следственные связи; выражать смысл ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки).
Регулятивные: принимать познавательную цель, сохранять ее при выполнении учебных действий, регулировать весь процесс их выполнения и четко выполнять требования познавательной задачи.
Личностные: формирование познавательного интереса к изучению нового, мотивации к самостоятельной и коллективной исследовательской деятельности.
Ход урока:
1. Актуализация опорных знаний студентов:
( Введение понятий касательной и нормали к кривой)
Мы знаем аналитический и физический смысл производной: ( ответы студентов:
аналитический смысл – это , физический – это скорость процесса, заданного функцией).
Выясним геометрический смысл производной.
Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.
Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. ( ответы студентов: касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку).
Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы оси имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось является касательной к параболе, а ось – нет. Дадим общее определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть – некоторые точки произвольной кривой – секущая кривой. При приближении точки по кривой секущая будет поворачиваться вокруг точки
Определение. Предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по кривой называется касательной к кривой в точке
Определение. Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.
Если – касательная к кривой в точке ,
то перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке
Объяснение нового материала:
(Выясним, в чем заключается геометрический смысл производной , каким свойством обладают угловые коэффициенты касательной и нормали).
Пусть кривая является графиком функции . Точки
лежат на графике функции. Прямая – касательная к кривой .
0
- угол наклона касательной
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид
(3)
Проблемные вопросы: посмотрите на уравнения касательной и нормали, в чем их различие и сходство?
Чему равно произведение ? Почему так происходит?
(Студенты должны дать следующие ответы на вопросы: -1, так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны)
Закрепление теоретического материала на практике:
(Решение задач в аудитории)
П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках .
Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной .
Найдём производную функции: .
Найдём значение производной в точке
. Следовательно, .
Найдём значение производной в точке
. Следовательно, .
П р и м е р 2. У параболы проведены касательные в точках Найдите углы наклона касательных к оси Ох.
Решение. По формуле (1)
Найдём . .
Вычислим значение производной в точке : .
Следовательно, и .
Аналогично в точке .
Следовательно, и
П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой наклонена к оси Ох
под углом
Решение. По формуле (1)
; . Следовательно, и
Подставив в функцию , получим . Получили точку .
П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке
Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид .
Из условия задачи . Найдём производную .
; .
Подставив все значения в уравнение получим уравнение касательной
или .
Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой :
или
Задачи для самостоятельного решения:
1.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке .
2.Кривая задана уравнением Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведённых к кривой в точках в точках с абсциссами .
3.На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой .
4.В какой точке касательная к кривой : а) параллельна оси ; б) образует с осью угол 45?
5.Найти абсциссу точки параболы , в которой касательная параллельна оси абсцисс.
6.Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой в точке .
7.В какой точке касательная к кривой образует с осью угол 30?
8.В какой точке касательная к графику функции образует угол 135
с осью ?
9.В какой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс?
10.В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?
11.Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которой равна 2.
12.Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой
13.Составить уравнение касательной к гиперболе в точке
14.Составить уравнение касательной к кривой в точке .
15.Найти касательную к кривой в точке с абсциссой .
Ответы: 1).12 2).45°, arctg 5 3).(1;1) 4).(0;-1) (0,5;-0,75) 5).1/2 6).1 7).(/6;61/12) 8).(0:-1) (4;3) 9).(0;4) (1;-5) 10).(1;1) (-1;-1) 11). 45° 12).у = -2х-1 13).у = -х+2 14).у=4х+6 15).у = 4х-2.
Критерий оценки: «5»-15 заданий
«4»-11-14 заданий
«3»-8 заданий
4.Итоги урока: выставление оценок; + и – урока для студента (что понял и в чем еше предстоит разобраться?)
5.Домашнее задание: подготовить ответы на вопросы:
Дайте определение касательной к кривой.
Что называется нормалью к кривой?
В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.
Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.
Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.
Решить задачи 1-15 по выбору критерия оценки; дополнительно по желанию: составить и решить карточку по данной теме.
