Тема: «Логарифмические уравнения»
Методы решения логарифмических уравнений:
При решении логарифмических уравнений применяются все свойства логарифмов.
Образцы решения логарифмических уравнений:
Решите уравнение = 2
7 – 2х = 62
7 – 2х = 36
– 2х = 36 – 7
– 2х = 29
х = 29 : (-2)
х = - 14,5
Проверка: =
Ответ: - 14,5
Решите уравнение: + = 1
По свойству логарифмов: = 1
По определению логарифма: (х + 1)(х + 3) = 31
х2 + 3х + 1х + 3 = 3
х2 + 4х = 3 – 3
х2 + 4х = 0
х(х + 4) = 0
х1 = 0 и х + 4 = 0
х2 = - 4
Проверка: при х1 = 0 + = + = 0 + 1 = 1, верное равенство;
при х2 = - 4 + = + , выражение не имеет смысла, т.к. под знаком логарифма не может быть отрицательного числа.
Ответ: 0
-
Метод потенцирования применим тогда, когда логарифмы имеют равные основания.
5х + 4 = 7 –х
5х + х = 7 – 4
6х = 3
х = 3 : 6
х = 0,5
Проверка:
, данное выражение имеет смысл.
Ответ: 0,5
Решите уравнение:
Решение: по свойствам логарифма получим: =
по свойству запишем: =
Потенцируем уравнение: = 1
= 12
= 1
= 0, а = 1, b = 1, с = -6
По т. Виета запишем: х1 + х2 = - b ; х1 = - 3 и х2 = 2
х1 ∙ х2 = с
Проверка: при х = -3 в правой части уравнения одно из выражений не имеет смысла. Значит, -3 не является корнем уравнения
При х = 2 → → = , данное равенство верно. Значит, 2 является корнем уравнения.
Ответ: 2
Решение: прологарифмируем обе части уравнения =
по свойству логарифма № 3а получим: = 1
получили квадратное логарифмическое уравнение: = 1
его решение: и
по определению: х = 101 и х = 10-1
х = 10 и х =
Вместо проверки можно находить область определения данного уравнения. По определению под знаком логарифма может быть только положительное значение, значит х > 0.
Область определения: х > 0, 10 >0 и >0, верные неравенства.
Ответ: , 10
Решение: введём переменную у, у = у2 – 3у + 2 = 0, а = 1, b = - 3, с = 2
По т. Виета запишем: Получим: у1 = 2, у2 = 1
Произведём замену = 2 и
По определению логарифма: х = 102 и х = 101
х1 = 100 и х2 = 10
область определения: х > 0, 100 > 0, 10 > 0, верные неравенства.
Ответ: 10,100
