Конспект урока Арифметическая прогрессия

2

ООО Учебный центр «ПРОФЕССИОНАЛ»

План-конспект урока

по алгебре

в 9 классе МКОУ СОШ Чехов-7 Московской обл. Чеховского р-на

на тему «Арифметическая прогрессия»

Разработал: Хабибуллина Ирина Аркадьевна

слушатель курсов профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Проверил:

г. Чехов, 2016

Урок по теме «Арифметическая прогрессия»

1. Тема: Арифметическая прогрессия. Основные понятия. п 16;

2. Обобщенная цель урока: сформировать понятие арифметической прогрессии и ее компонентов; научить применять полученные знания при решении основных типов задач на арифметическую прогрессию.

3. Задачи:

предметные: создать условия для формирования первоначальных представлений об арифметической прогрессии; поиска и выделения необходимой информации; подведения под понятия; выведения следствий; умения строить логическое рассуждение и делать выводы; формирования образовательной компетентности

метапредметные: развивать умения определять понятия, создавать обобщени, анализировать.

личностные: формировать умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формировать целостное мировоззрение.

4. Тип урока: урок «открытия» нового знания

5. Формы работы учащихся: фронтальная работа, парная и индивидуальная работа, групповая, технология ИКТ

6. Необходимое техническое оборудование: персональный компьютер, проектор, экран.

7.Характеристика этапов урока представлены в таблице 3. На каждом этапе урока учитель и учащиеся выполняют конкретные действия (табл.3), связанные с задачами этапов и познавательными УУД.

8. Перечень используемых ЦОР и ЭОР на данном уроке (таблица 4)

Характеристика этапов урока

Таблица 1

Время, мин

Содержание учебного материала

Методы
и приемы работы

ФОУД*

Деятельность учителя

Деятельность

учеников

Планируемые результаты

познавательная

коммуникативная

регулятивная

Этап актуализации

5 мин

Теоретически-практический тест

(2 варианта) с последующей взаимопроверкой.

Репродуктивный

И

Организует воспроизведение знаний и умений, необходимых для решения проблемных ситуаций

Поиск и выделение необходимой информации о последовательностях, структурирование знания по теме «Последовательности»

Управление поведением партнёра (контроль, оценка действий партнёра)

Контроль в форме сличения результата с заданным эталоном.

Актуализация опорных знаний обучающихся по теме «Числовые последовательности».

Этап проблематизации

7 мин

Работа с числовыми последовательностями (разделить последовательности две группы и обосновать свой выбор). (П) и кроссвордом (Г).

Историческая справка о происхождении понятия «прогрессия» (И)

Проблемный

наглядный

П, Г, И

Создаёт условия для осознания обучающимися существа проблемы и формулирования темы урока.

Осуществляет обратную связь.

Анализ числовых последовательностей с выделением существенных и несущественных признаков, выбор оснований и критериев для сравнения, классификации последовательностей, подведение под понятие.

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли, планирование учебного сотрудничества.

Контроль в форме сличения результата с заданным эталоном, коррекция, построение речевых высказываний.

Включение обучающихся в активную учебно-познавательную деятельность на основе опорных знаний. Осознание проблемной ситуации, формулирование темы урока «Арифметическая прогрессия»

Этап целеполагания

3 мин

Формулировка цели и задач урока для обучающихся и учителя.

Словесный

Ф

Организует принятие цели и постановку задач урока обучающимися.

Самостоятельное выделение и формулировка учебной цели.

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли

Целеполагание, построение речевых высказываний

Постановка учебной задачи и цели предстоящей деятельности.

Этап концептуализации и моделирова-ния

16 мин

Формулировка определения арифметической прогрессии (П), обозначение арифметической прогрессии (Ф), решение задач(Г).

Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Частично-поисковый,

нагдядный

Ф, Г, П

Организует работу по формулированию определения арифметической прогрессии, выводу формулы n-го члена, вводит необходимую информацию, обеспечивает фиксацию необходимого материала в знаково-символическоцй форме:

аn=а1+(n-1)d.

Осуществляет обратную связь.

Выдвижение гипотез, подведение под понятия, выведение следствий, рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка.

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли, планирование учебного сотрудничества.

Контроль, коррекция, волевая саморегуляция.

Усвоение сущности усваиваемых знаний и способов действий на репродуктивном уровне. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии

Этап конструирования

12 мин

Преобразование формулы n-го члена арифметической прогрессии для нахождения а1, d, n, выявление характеристического свойства. (Г). Решение задач на применение полученных формул и заполнение таблицы. (Г) Самостоятельное выполнение заданий за компьютером.(И)

Исследо-вательский

наглядный,

репродук-тивный

Г, И

Определяет границы применимости формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Организует работу по выявлению характеристического свойства.

Показывает образец записи решения задачи.

Осуществляет обратную связь.

Поиск и выделение необходимой информации, рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от условий.

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли, построение речевых высказываний, лидерство и согласование действий с членами группы.

Контроль, коррекция. волевая саморегуляция

Получение формул для нахождения а1, d, n, характеристического свойства арифметической прогрессии.

Выполнение заданий, требующих применения знаний в знакомой и измененной ситуации.

Этап рефлексии

2 мин

Словесный

наглядный

Ф, И

Организует процесс контроля и оценки, создаёт атмосферу взаимного доверия. Осуществляет обратную связь.

Рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; критичность

Умение достаточно полно и точно излагать свои мысли,

Оценка

Осознание обучающимися результата своей деятельности на уроке, уровня личностного продвижения в данной области знаний.

Получение

информации о результатах учения.

* ФОУД – форма организации учебной деятельности обучающихся (Ф – фронтальная, И – индивидуальная, П – парная, Г – групповая).

Ход урока

1. Этап актуализации.

- Наше познание курса алгебры можно сравнить с походом в горы и сегодня мы с вами преодолеем ещё одну математическую вершину, а какую вы узнаете позже. А теперь давайте проверим ваш багаж и выясним готовы ли вы к восхождению.

Теоретически – практический тест

Вариант 1

1. Последовательности бывают:

а) конечные б) постоянные в) бесконечные

2. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

3. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена хn = 2n – 1

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …

4. Найдите седьмой член последовательности ( аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 )

а) 5 б) 12 в) 56

5. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn – 1

а) 6 б) 7 в) 8

Вариант 2

1. Последовательность обозначается

а) хⁿ б) аn в) ( xn )

2. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) рекуррентный способ в) словесно

3. Члены последовательности обозначаются:

а) а¹, а², а³,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а1, а2,а3,….

4. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn + 1

а) 9 б) 7 в) 3

5. Найдите шестой член последовательности ( аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 )

а) 67 б) 42 в) 56

(учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям. За каждое верно выполненное задание 1 балл) (Слайд 2)

1

2

3

4

5

1

а, б, в

а

б

в

б

2

в

а, б, в

в

а

б

- Поставьте оценки в трансфертные листы, которые вы сдадите в конце урока. (Приложение 1)

- Кто всё правильно выполнил? У кого 1 ошибка? 2 ошибки?

- Молодцы! Теперь можно смело отправляться в путь. Путь к вершине всегда труден. и чтобы её достичь. нужно преодолеть немало испытаний. Перед вами первое испытание.

2. Этап проблематизации.

(Работа в парах + группа из 4 человек разгадывает кроссворд)

(Слайд 3)

Предложенные числовые последовательности распределите на две группы, назовите их общий признак.

(an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11…

(кn): 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; …

(хn): 1, 2, 4, 8, 16; …

(cn): 2; 6; 18; 54…

(dn): 16; 13; 10; 7…

(en): 32; 16; 8; 4…

(кn): 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; …

(dn): 16; 13; 10; 7…

(хn): 1, 2, 4, 8, 16; …

(cn): 2; 6; 18; 54…

(en): 32; 16; 8; 4…

- В первой группе следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и то же число.

- Во второй группе следующий член последовательности получается при умножении предыдущего на число.

- Кто готов ответить? Какие ещё варианты?

- Теперь сравните полученные результаты с образцом и поставьте оценки. (Слайд 4)

(Правильно сгруппированы последовательности и верно определён признак – «5», верно сгруппированы последовательности, но признак определён неверно – «4», допущены 1 - 2 ошибки при группировке последовательностей, признак определён неверно – «3», допущено больше 2 ошибок, признак не определён или определён неверно – «2»)

Поднимите руки у кого «5», «4».

- Как называется каждая из этих последовательностей нам скажут ребята, работавшие в группе.

П

е

р

в

ы

й

2

п

Р

е

д

ы

д

у

щ

и

й

3

к

О

н

е

ч

н

а

я

Г

4

р

е

к

у

Р

р

е

н

т

н

ы

й

5

ч

л

Е

н

ы

6

в

о

з

р

а

С

т

а

ю

щ

а

я

7

С

л

о

в

е

с

н

ы

й

8

И

н

д

е

к

с

9

у

б

ы

в

а

ю

щ

а

Я

Вопросы:

1. Номер члена последовательности, стоящего в самом начале. (Первый)

2. Член последовательности, стоящий перед любым ее членом, начиная со второго. (Предыдущий)

3. Последовательность, в которой конечное число членов. (Конечная)

4. Способ задания последовательности, который в переводе с латинского означает «возвращаться» . (Рекуррентный)

5. Числа, образующие последовательность. (Члены)

6. Последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего. (Возрастающая)

7. Способ при котором правило составления последовательности описано словами. (Словесный)

8. Число, указывающего порядковый номер любого члена последовательности. (Индекс)

9. Последовательность, в которой каждый последующий член меньше предыдущего. (Убывающая)

-Это … (прогрессия). Верно.

Проверьте ваши ответы и поставьте оценки согласно критериям. (Слайд 5)

(Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «3»)

Что мы сегодня будем изучать? (прогрессии)

- А откуда произошло это слово и что оно означает?

(Краткая историческая справка. Сообщение ученика. Индивидуальное задание) (Слайды 6-8)

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперёд») и был введён римским автором Боэцием (VI в.), и понимался как бесконечная числовая последовательность.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

У нас в России задачи на прогрессии впервые встречаются в одном из древнейших памятников русского права – в «Русской правде», составленном при Ярославе Мудром в XI веке.

Значительное количество задач на прогрессии имеется в замечательном памятнике начала XVIII века – «Арифметике» Л.Ф.Магницкого. В течение полувека эта книга была основным учебником в России.

- Вы справились с первым испытанием и тем самым преодолели 1 этап. Двигаемся дальше. О каких видах прогрессий шла речь в сообщении? (Арифметической и геометрической)

Сегодня мы изучим одну из них. Предлагаю начать с арифметической прогрессии.

- Тема урока: «Арифметическая прогрессия» (Слайд 9)

3. Этап целеполагания.

-Чтобы знать, к чему стремиться, сформулируйте цель и задачи урока.

Цель: изучить арифметическую прогрессию

Задачи:

• изучить определение арифметической прогрессии;

• узнать, как задаётся арифметическая прогрессия;

• научиться определять, является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет;

• изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии;

• научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

Как вы считаете, какая у меня цель?

(Организовать работу так, чтобы мы смогли справиться со всеми поставленными задачами)(Слайд 10)

4. Этап концептуализации и моделирования.

- Итак, давайте, вернёмся к последовательностям первой группы, назовите ещё раз их общий признак. (Слайд 11)

(Каждый следующий член последовательности получается при прибавлении к предыдущему некоторого числа или два соседних члена отличаются на одно и тоже число).

Это число назвали разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d.

- Обсудите в группах и запишите в черновик определение арифметической прогрессии. Что у вас получилось?

(После того, как причитают все группы)

Откройте учебник на странице 145 и сверьте записанное вами определение с тем, какое приводят авторы учебника. (Прочитать вслух.)

Определение.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.

-Запишите его в тетрадь.

- Скажите, чьи определения были точнее?

Фронтальная работа.

Что означает фраза: «Запиши на языке математики»? (Записать с помощью специальных обозначений)

Для обозначения арифметической прогрессии словосочетание «арифметическая прогрессия» заменяют значком и пишут: . (Записать на доске)

Работа в группах. 4 группы. Приложение 2.

Посмотрите внимательно на эти последовательности и ответьте на вопросы (Слайд 12):

1. Какие из этих последовательностей являются арифметическими прогрессиями и почему?

2. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии.

3. Назовите возрастающие и убывающие прогрессии.

4. Выясните, при каком условии прогрессия возрастает или убывает? Сделайте вывод.

(an): 0, 2, 4, 6, 8, …

(bn): 1, 2, 3, 5, 8, …

(cn): -7, -10, -13, -16…

(dn): 5, 5, 5, 5, 5, …

(хn): 3, 5, 7, 9, 6, …

(кn): - 8; -4; 0; 4; 8, …

Проверка по образцу. (Слайд 13) Каждая группа отвечает на один из вопросов.

Ответ:

1. (an), (cn), (кn), (dn) - арифметические прогрессии

2) (an) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = 0, d =2;

(cn) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = -7, d =-3;

(кn) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = -8, d =4;

(dn) - арифметическая прогрессия, у которой а1 = 5, d =0.

3. (an). (кn) – возрастающие прогрессии

(cn) – убывающая прогрессия

3. Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d >0 и убывающей, если d <0.

(Оценить работу в группе) Всё правильно – «5», 1 ошибка – «4», 2-3 ошибки – «3», больше 3 ошибок – «2».

- Кто выполнил всё верно? У кого были ошибки? У кого есть вопросы по этому заданию, что не понятно?

- Молодцы, вы преодолели следующий этап.

- Чтобы продолжить путь предлагаю решить задачу (Слайд 14). Обсудите её решение в парах.

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. Какова будет продолжительность ванны на 5 день лечения? (15, 20, 25, 30, 35)

Как вы решили эту задачу? (прибавляли по 5 и взяли пятое число или записали арифметическую прогрессию и взяли пятый член)

- Кто верно решил задачу? Поднимите руки.

Как поступить, если потребуется узнать продолжительность процедуры через месяц лечения? (Аналогично)

Проблема.

- А как упростить решение этой задачи? Что позволяет сразу находить любой член последовательности.

(Эту задачу можно решить быстрее, если удастся найти формулу n-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.)

- Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Для этого рассмотрите арифметическую прогрессию с разностью d, заполните пропуски, выявите закономерность и запишите формулу. Групповая работа. Раздать задания. Приложение 3.

a1 = a1,

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d ,

a4 = …

a5 = .…, и т.д.

Догадайтесь, как найти аn.

an =

Проверьте, что получилось. (Слайд 15)

Оцените свою работу согласно критериям. ( Задание выполнено верно – «5», допущена ошибка в записи формулы – «4», допущена ошибка в заполнении пропусков – «3», допущена ошибка в заполнении пропусков и неверно записана формула «2»)

a1 = a1,

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d ,

a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d,

a5 = a4 + d = a1 + 3d + d = a1 + 4d

и т.д.

an = a1 +(n - 1)d Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Запишите её в тетрадь.

- Кто справился с заданием? У кого были ошибки? Где ошиблись?

Важное замечание! «Догадками » математики пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Доказательство этого факта можно посмотреть дома в учебнике.

4. Этап конструирования.

(Слайд 16)

Какие задачи можно решать, используя формулу an = a1 + d (n-1).

(Найти , , d , n)

Вернёмся к нашей задаче. Как перевести её условие на математический язык? Что известно в задаче? (а1= 15, d = 5)

Что нужно найти? (а30 или а31 в зависимости от того сколько в месяце дней)

- Запишем решение задачи в тетрадь при условии, что в месяце 30 дней.

Показать оформление. (Слайд 17)

Дано: а1= 15, d = 5.

Найти: а30.

Решение: а30 = а1 +(30 – 1) d = 15 + 295 = 15 + 145 = 160

Ответ: а30 = 160.

- Как найти из формулы n-го члена a1, d , n? (Работа в группах)

1 группа a1 = an – (n - 1)d,

2 группа ,

3 группа , .

4 группа . (Более сильная)

В арифметической прогрессии некоторые члены отсутствуют:

-6; а2; 9; а4; 24

Можно ли восстановить пропущенные числа? Если возможно, то выявите закономерность, найдите пропущенные числа и сделайте вывод. Найдите разность арифметической прогрессии.

(а2 = 1,5; а4 = 16,5; d = 7,5

а1; а2; а3; а4;… аn – 1; an; an + 1; … аn = an – 1 + an + 1

2

Каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.)

Проверим работу 4 группы. [link]