Урок в 9 классе
Учитель: Ювкина Г.В.
Тема урока:
«Применение геометрической прогрессии в экономике.»
Цели урока:
Образовательные:
систематизировать знания уч-ся по теме «Геометрическая прогрессия».
Объединить элементы двух наук математики и экономики. Познакомить с
работой банков.
Развивающие:
развитие мыслительной деятельности, кругозора, творческих способностей,
логического мышления, речи, внимания и памяти.
Воспитательные:
воспитание интереса к математике и её приложениям, активности, умения
общаться, общей культуры
Структура урока
1.Организационный этап.
2.Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового
материала: сообщение темы урока. формулировка целей и задач, постановка
перед учащимися учебной проблемы.
3.Этап усвоения новых знаний: вводная лекция учителя, просмотр
мультимедийного объекта.
4. Этап закрепления новых знаний: решение задач, самостоятельная работа.
5. Этап информации учащихся о домашнем задании.
Ход урока
1.Организационный этап.
2.Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового
материала: сообщение темы урока. формулировка целей и задач, постановка
перед учащимися учебной проблемы
3.Вводная лекция учителя.
Геометрическая прогpессия играет большую роль при построении математических моделей экономики. Она используется при расчетах бaнка c вкладчиком, заемщика c банком, при определении суммарной способности кредитования системы банков, при вычислении завтрашней стоимости сегодняшних денег и во многих других вопросах. Рассмотpим некоторые из таких приложений геометрической прогрессии.
Коммерческие банки обеспечивают связь между теми, кто накапливает деньги,
теми, кто берет их в долг, т. e. банк является посредником в любых экономических делах.
Деловые люди обращаются в коммерческий банк всякий раз, когда хотят сохранить, накопить, вложить деньги в какое-либо дело или взять их в долг. Тех, кто помещает деньги в банк, финансисты называют в к л а д ч и к а м и, а сами вклады называют д е п о з и т а м и. Вкладчики получают в банке прибыль в виде процентов, начисляемых на вклaд.
Банки не просто хрaнят деньги, как хранит чемодан кaмера хpанения на вокзaле. Банки дают деньги взаймы тем, кто в них нуждается. Те, кто одалживают деньги у банка, называются з а е м щ и к а м и. Деньги, предоставляемые банком заемщику, называются кредитом (от латинскот credit - «он верит») на условиях возвратности и с обязательной выплатой заемщиком процентов за пользование кредитом. За счет этих процентов банк оплачивает доходы вкладчикам и существует сам. Граждане хранят в банках свои сбережения, ведут расчеты по различным платежам, берут ссуды на строительство и т. д. Предприятия хранят в банках прибыль и через банки расплачиваются с партнерами. Государство через банки оплачивает свои закупки и т. д.
Коммерческие банки вьпголняют две основные функции:
1. Они накапливают бессрочные вклады, т. е, открывают текущие счета (владелец вклада может как снимать с него деньги, так и увеличивать вклад, делая новые вложения), оплачивают чеки, выписанные на имя своих вкладчиков, хранят различные срочные вклады населения и т. д.
2. Банки предоставляют кредиты предпринимателям, фермерам, торговцам и т. д.
Рассмотрим теперь схематически, что происходит с деньгами внутри самой системы банков, каким образом «банки создают деньги».
Работу коммерческих банков контролирует один или несколько центральных банков. В России этот контроль осуществляет Центральный банк России.
Центральным банком устанавливается, что определенная доля вкладов в банк должна быть обязательно в резерве банка в виде наличных денег. Они обычно хранятся в Центральном банке России, который ими и распоряжается. Их называют обязательными резервами банка. Остальные деньги можно давать в кредит под определенные проценты. Из этих доходов вкладчикам выплачиваются проценты за пользование их деньгами. Доля резервов обычно колеблется от 5% до 20-25 %.
Итак, обязательную, или резервную часть вклздов коммерческие банки переводят в Центральный банк России, а остальные деньги идут на ссуды и инвестиции. Их называют избыточными, или свободными резервами. Так, если в коммерческий банк положена сумма в 100 000 р., а обязательные резервы составляют 15 %, то сумма обязательных резервов банка составляет 15 000 р., а свободные резервы составляют 85 000 р. _ =100 000 р. - 15 000 р. Эту сумму коммерческий банк может дать в кредит, вложить в какое-либо дело и т. д. Таким образом, каждый отдельно взятый коммерческий банк может выдать кредитов только на величину избыточных резервов.
Замечательное свойство современной системы коммерческих банков состоит в том, что способность к кредитованию у всех коммерческих банков, вместе взятых, гораздо больше, чем у каждого банка в отдельности. Так группа людей может справиться с работой, которая непосильна любому отдельно взятому человеку!
Выясним, как это происходит. Сделаем два упрощающих предположения.
1. Будем считать, что доля обязательных резервов составляет 20 %, т. е. любой банк обязан хранить в Центральном банке России наличными 20 % поступившего в него вклада. Остальные 80 %о вклада составляют свободные резервы банка, на которые он может выдзть кредиты.
2. Как только у банка появляются свободные резервы, он отдает их в кредит только одному заемгцику, который лриобретает товары на всю сумму кредита и оплачивает их чеком. Продавец, получив деньги за товары, полностью переводит их на свой счет в другом банке.
Проследим теперь за продвижением денег внутри системы коммерческих банков.
Пусть клиент А заработал 100 000 р. и поместил их в банк Альфа; 20 % этой СумМЫ, т. е. 20 000 р. банк Альфа оставляет наличными деньгами в резерве и переводит их в Центральный банк, а остальные деньги в размере 80 000 р. образуют свободные резервы, на которые банк открывает кредит заемщику Х. Заемщик Х приобретает у продзвца В нужные ему товары нз всю сумму - 80 000 р. - и расплачивается чеком. Продавец В полученные за товар деньги переводит на свой текущий счет в банк Бета. Таким образом, в результате этой операции банк Бета получил новый вклад размером в 80 000 р. Теперь он производит те же операции, которые проделал банк Альфа - 20 %о полученного вклада, т. е. 16 000 р. он оставляет наличными деньгами в резерве и переводит их в Центральный банк, а свободные резервы в размере 64 000 р. дает в кредит заемщику У, открыв на его имя текущий счет на 64 000 р. Заемщик Уприобретает нужные ему товары у продавца С и расплачивается чеком. Продавец С получил деньги за товар и полностью перевел их на свой текущий счет в банке Гамма.
Остановимся и подсчитаем.
Банк Альфа получил вклад в 100 000 р. и мог выдать кредитов только на сумму 80 000 р., но вместе с банком Бета они выдали кредитов на общую сумму
80 000 р. + 64 000 р. =144 000 р.
Благодаря тому, что банк обязан хранить не весь вклад, а только 20 % вклада, банки смогли выдать кредитов на сумму 144 000 р., в то время, как первоначальный вклад составлял только 100 000 р.!
В этом и состоит главная особенность банковской системы: эта система может сделать то, что не в состоянии сделать никакой отдельно взятый банк.
Продолжим дальше.
Мы остановились на том, что банк Гамма получил от банка Бета 64 000 р. В свою очередь, он должен перевести в Центральный банк обязательные резервы в размере 12 800 р., а свободные резервы в размере 64 000 р. - 12 800 р. = 51 200 р. может дать в кредит.
Пусть банк Гaммa дает эти деньги в кредит заемщику Z, нз имя которого банк открывает текущий счет на сумму 51 200 р. Заемщик Z обратился к продавцу D, закупил нужные ему товары и расплатился за эти товары чеком на сумму 51 200 р. Продавец D получил деньги за товар и полностью перевел их на свой текущий счет в банке Омега. Банк Омега, поlучив вклад на сумму51 200 р., поступает так же, как и все предыдущие банки: 20 %е, т. е. 10 240 р. отправляет в свои обязательные резервы, а на свободные деньги 40 960 р. = 51 200 р.- 10 240 р. открывает кредит. После операций, аналогичных описанным выше, 40 960 р., предложенные в кредит банком Омега, попадут в банк Орион, который оставит в резерве 20 %, т. е. 8 192 р., а свободные резервы в размере 32 768 р. = 40 960 р. - 8 192 р, дает в кредит. Сумма 32 768 р., которую готов предоставить в кредит банк Орион, в конце концов попадет в банк Персей, который поступит так же, как поступали все лредыдущие банки.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока деньги не попадут в последний из банков рассматриваемой системы.
Подведем итог и сведем в табл. 1 все полученные выше результаты, касающиеся рассмотренных шести банков. Напомним, что у каждого банка, кроме первого, величина вклада совпадает с величиной свободных резервов предыдущего банка. Свободные резерны первого банка определяются величиной вклада в этот банк.
Таблица 1
Наименование банка
Величина
нового вклада
(в рублях)
Обязательные
Резервы
(в рублях)
Свободные
Резервы
(в рублях)
Альфа
100 000
20 000
80 000
Бета
80 000
16 000
64 000
Гамма
64 000
12 800
51 200
Омега
51 200
10 240
40 960
Орион
40 960
8 192
32 768
Персей
32 768
6 553,6
26 214,4
Вычислим суммарный объем кредитов, выданных этими шестью банками. Обозначим его s6. Прежде всего заметим, что кредиты банков образуют геометрическую прогрессию с первым членом а=80000 и
знаменателем q=1-p, где р= [pic] , а ро равно
числу процентов, отчисляемых в обязательный резерв. В данном елучае
ро=20 %, т. е. ро = 0,2, q=1-0,2=0,8
Тогда
S6=80000+80000 • 0,8+80000. (0,8)2+80000. (0,8у+80000. (0,8)+80000. (0,8)5.
Используем формулу для нахождения суммы п членов геометрической прогрессии
[pic] Sп = а [pic]
при п=6, а=80000, q=0,8. Тогда
S6 = 80000 [pic] = 295142,4 р.
/
Таким образом, если первый из банков, банк Альфа, мог предоставить кредитов только на сумму 80 000 р., то система из шести банков сумела выдать кредитов на сумму 295 142,4 р., т. е. примерно в 3,7 раза больше, чем один банк Альфа.
Пусть п- число банков, выдающих кредиты по описанной выше схеме.
Если число п будет очень большим, то сумма S с ростом числа банков п будет неограниченно приближаться к числу S = [pic] [pic] сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Таким образом, число S показывает предельную величину суммарного кредита системы банков при неограниченном количестве банков
Опишем в общем случае эту ситуацию для п-банков.
Таблица 2
Банк Величина
вклада
Величина
обязательных
резервов
Величина
свободных
резервы
А1
[pic]
[pic] p
[pic] [pic]
А2
[pic] [pic]
[pic] [pic] p
[pic] [pic] 2
А3
[pic] [pic] 2
[pic] [pic] 2 p
[pic] [pic] 3
-
-
-
-
Ап
[pic] [pic] п-2
[pic] [pic] п-2 p
[pic] [pic] п-1
Ап-1
[pic] [pic] п-1
[pic] [pic] п-1 p
[pic] [pic] п
Суммарную величину кредитов Sп будем вычислять по формуле
Sп =S0 [pic]
Предельную сумму кредитования будем вычислять по формуле
S = S0 [pic]
Описанную ситуацию экономисты называют многодипозитным расширением.
4.Попробуем порешать задачи на нахождение выше названных величин. Используем калькулятор и результат округляем до сотых.
1.Имеется система, состоящая из 5 банков В1, В2, В3 , В4 , В5. Норма обязательных резервов, установленная Центральным банком, составляет p = 10%. В банк В1 внесён вклад в размере 500000р. Вычислите:
а) обязательные и свободные резервы каждого банка;
б) величину кредитов, которые вместе могут предоставить банки В1, В2, В3 , В4 , В5;
в) предельную величину кредитования для достаточно большой системы банков.
Решение.
а)S0 = 500000р., ро=10%, p= ро/100 =10/100 =0,1.
Банк Величина
вклада
(в рублях)
Обязательные
Резервы
(в рублях)
Свободные
Резервы
(в рублях)
В1
500 000
50 000
450 000
В2
450 000
45 000
405 000
В3
405 000
40 500
364 500
В4
364 500
36 450
328 050
В5
328 050
32 805
295 245
б) S5=1842795р.
в)S=4500000р.
2. В первый банк системы банков В1, В2, В3 , В4 внесен вклад размером 12 000 р. Какой процент составляют обязательные резервы, если второй и четвертый банки способны вы.дать совместно кредитов на сумму 13 000 р.? (Результаты округлите до сотых долей.)
3.В первый банк системы банков В1, В2, ..., В6 внесен вклад размером s0. Норма обязательных резервов ро составляет 12%. Можно ли изменить p0 так, чтобы:
а) величина свободных резервов банка В4 увеличилась в полтора раза;
б) величина свободных резервов банка В4 увеличилась вдвое;
в) величина свободных резервов банка В4 уменьшилась на 30 %о?
В случае а) сравните (в процентах) возможности суммарното кредитования всей системой банков при исходной и новой норме обязательных резервов.
Самостоятельная работа
I вариант
1. В первый банк системы, состоящей из десяти банков В1, В2, ..., В10, внесен вклад 50 000 р. при норме обязательных резервов равной 12 %. Найдите:
а) величину обязательных резервов банка В4;
б) величину свободных резервов банка В7;
в) величину суммарных кредитов, которые могут предоставить все банки этой системы;
г) предельные возможности кредитования .
2. Найдите величину первоначального вклада s0 в первый банк системы банков В1,BZ, Вз, В4, В5 так, чтобы при норме обязательных резервов 10 % свободные резервы банка ВЗ составляли
656 100 р.
II вариант
1. В первый банк системы, состоящей из шести банков: В1, Bz, ВЗ, В4, В5, Вб, внесен вклад 120 000 р. при норме обязательных резервов, равной 8 %. Найдите:
а) величину обязательных резервов банка В5;
6) величину свободных резервов банка В4;
в) величину суммарных кредитов, которые могут совместно предоставить все банки этой системы;
г) предельные возможности кредитования.
2. Найдите величину первоначального вклада s0 в первый банк системы банков В1, В2, Вз, В4, В5, если при ставке обязательных резервов 20 °/о свободные резервы банка В, составляют 122 880 р.
5.Итог урока. Домашнее задание.
