Предмет: алгебра и начала анализа
Класс: 10 класс по программе Мордковича А.Г.
Тема: Построение графиков функций.
Цели урока:
Систематизировать знания, умения учащихся при построении графиков функций.
Развитие творческих способностей и логического мышления.
План урока:
Организационный момент.
Мотивация учения школьников, сообщение темы, целей урока.
Фронтальный опрос.
Математический диктант по теории.
Закрепление материала.
Итог урока. Домашнее задание.
Оборудование:
листы с теоретическими заданиями для математического диктанта;
бланки ответов с копировально бумагой;
изображение графика тригонометрической функции для проведения устного исследования по нему;
сообщения учащихся к уроку и приложения к ним.
Ход урока:
Девиз: В математике исследует помнить не формулы,
а процессы мышления.
В.П. Ермаков.
Организационный момент.
Мотивация учения школьников, сообщение темы и целей.
Фронтальный опрос.
Учитель: назовите этапы очередности при исследовании функции?
Ученики:
Область определения и область значения функции
Вид функции (четная, нечетная, периодическая)
Точки пересечения с осями координат
Асимптоты
Промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы.
Математический диктант.
Установить истинны или ложны данные высказывания?
Ответы записывать на двойных листах с копировальной бумагой, по оканчании работы верхний лист ответов и копировальную бумагу передать мне, а нижний лист оставить себе для проверки.
I вариант Областью определения функции являются все значения переменной х.
Если выполняется f(-x)= f(х), то функция нечетная
Наименьший период функции y= tg x равен 2П
Если f`(х) 0, то функция убывает
Если в точке производная меняет знак с «+» на «-», то эта точка – точка максимума
II вариант
Областью значения функции является все значения переменной у.
Если выполняется f(-x)= -f(х), то функция нечетная
Наименьший период функции у= sin x равен 2П
Если f(х) 0, о функция убывает.
Если в точке производная меняет знак с «-» на «+», то это точка – точка максимума
Ответы:
Проводится публичное выяснение результатов проведенного диктанта. Кто получил «5»?, Кто получил «4»?
5.Закрепление материала.
Провести исследование функции у = 3 cos(1,5х – 60) по графику.
1) как построить график данной функции с помощью преобразований?
у = cosх
сжатие к оси ординат в 1,5 раза
у = cos1,5х
параллельный перенос на вектор ( ;0)
у = cos(1,5х – 60)
растяжение от оси абсцисс в 3 раза
у = 3 cos(1,5х – 60)
2) Исследовать функцию у = ¼ х4 – 3/2 х2 по общей схеме исследования:
1) Областью определения функции является множество действительных чисел D = R
2) Определим вид функции:
- Область определения функции симметрична относительно нуля;
- f(-x)= f(х) = четная
3) Найдем точки пересечения графика с осями координат:
С осью абсцисс: 1/4х4 -3/2 х2 =0
х2 (1/4х2-3/2)= 0
х1 = 0 или 1/4х2 = 3/2
х2 = 6
х = + 6 2,45
(0,0); (6; 0); (-6 ;0) координаты точек пересечения графика с осями координат.
4) асимптот нет, так как нет точек разрыва.
5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:
у` = х3 – 3х = х(х2 -3)
[pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] - + - + y`
-3 0 3 у
т.min т.max т.min
у(3) = у(-3) = 1/4 *9-3/2 *3 = 9/4-9/2 = -2,25
6)у`` = 3х2 – 3 = 3 (х2-1)
х = 1 – точки перегиба
+ [pic] - + у``
-1 1 у
у(-1) = у(1) = 1/4 -3/2 = -7/4 = 1,75
3) Другие способы построения графиков (сообщения учащихся):
А) Умножение и деление графиков.
Пусть требуется построить график функции у = f(х) g(х).
Для построения графика надо построить график функции f(х) и g(х) и перемножить значения ординат, соответствующие одним и тем же значениям аргумента.
Деление графиков можно привести к умножению.
Иногда произведение или частное двух функций можно упростить, и построение графика значительно облегчается.
Построим график функции у = х sin x. Для этого строим графики функций f(х) = х и f(х) = sin x. График функции у получаем перемножением значений ординат этих графиков, соответствующих одной и той же абсциссе х. Построение можно производить только при х 0, а затем отразить полученный график относительно оси ординат, так как функция у является четной. График заключен между прямыми у = х и у = -х,
причем в точках х = , в которых sin = - /2 + 2, где sin х = 1, у = х,
а в точках х = - /2 + 2, где sin х = -1, у = 1
На рис изображен график функции у = f (х).
В)Учащиеся 10- класса хорошо знают, как строить графики простейших функций y = ax2 + bx + c, y = axn, e = k/x, y = kx + b,
и помнят основные преобразования графиков. Сначала продемонстрируем суть метода. Исследуем функцию f(х) = 4х2 – х4 и построим ее график. Представим f(х) в виде суммы 4х2 и –х4. какое слагаемое вблизи нуля играет большую роль?
Модуль какого слагаемого больше при очень малых х? Сообща приходим к «открытию»: вблизи нуля график функции f(х) = 4х2 – х4 похож на у = 4х2 (второе гораздо меньше по модулю слагаемое, мы «отбросили»).
Как же будет вести себя функция на бесконечности, т.е. при очень больших по модулю х? В этом случае, «отбросив» незначительное уже первое слагаемое, получаем, что на бесконечности функция f(х) ведет себя как у = - х4. Рисуем эскиз на доске и в тетрадях, плавно соединяя «куски» графика и учитывая четность функции .
Решив уравнение 4х2 – х4 = 0, найдем точки пересечения графика с осью абсцисс: х = 0, х = 2, х = - 2. Используя метод интервалов убедимся, что при переходе через точку х = 0 знак функции не изменится, а через точки х = 2 и х = - 2 изменяется.
Точки экстремума целесообразнее найти, выделив полный квадрат:
- х4 + 4х2 = - (х4 -4х2 + 4) + 4 = - (х2 - 2)2 + 4.
Отсюда видно, что наибольшее значение функции 4 достигается в двух точках: 2 и -2.
Следует обратить внимание на, то что построение графиков таким способом обобщает имеющиеся у учащихся представления о функциях, является отправным материалом для формирования графических навыков.
6. Итог урока. Домашнее задание по вариантам 922(а,б) и
у = х4 – 2х2 – 8 (по аналогии).
