Систематизация теоретического материала за курс геометрии 8 класса

Систематизация теоретического материала

за курс геометрии 8 класса

Лист опроса № 2

Многоугольник. Его элементы.
Выпуклый многоугольник.
Параллелограмм. Определение.
Свойства параллелограмма.
Признаки параллелограмма.
Трапеция.
Виды трапеции.
Основные свойства равнобедренной трапеции.
Особые свойства трапеции.
Прямоугольник. Определение.
Основные свойства прямоугольника.
Признак прямоугольника.
Ромб. Определение.
Основные свойства ромба.
Признак ромба.
Квадрат. Определение.
Основные свойства квадрата.
Осевая симметрия. Определение.
Центральная симметрия. Определение.
Площадь квадрата.
Площадь прямоугольника.
Площадь параллелограмма.
Площадь треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника.
Формула Герона для нахождения площади треугольника.
Следствие об отношении площадей треугольников с равными высотами.
Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы.
Площадь трапеции.
Площадь ромба.
Теорема Пика.
Теорема Пифагора.
Пифагоров треугольник. Определение.
Египетский треугольник. Определение.
Подобные треугольники. Определение.
Коэффициент подобия. Определение.
Теорема об отношении площадей подобных треугольников.
Первый признак подобия треугольников.
Второй признак подобия треугольников.
Третий признак подобия треугольников.
Теорема о средней линии треугольника. Определение.
Теорема о точке пересечения медиан треугольника.
Среднее пропорциональное (геометрическое). Определение.
2 теоремы о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла.
Утверждение о катете прямоугольного треугольника.
Синус острого угла.
Косинус острого угла.
Тангенс острого угла.
Теорема о равных острых углах прямоугольных треугольников.
Основное тригонометрическое тождество.
Значение sin α, cos α, tg α, для углов α равных 30⁰, 45⁰, 60⁰.
Теорема о медиане прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла.
Секущая прямая. Определение.
Касательная прямая. Определение.
В каком случае прямая и окружность не имеют общих точек?
Теорема о свойстве касательной.
Свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки.
Признаки касательной.
Полуокружность. Определение.
Центральный угол. Определение.
Градусная мера дуги окружности.
Сумма мер двух дуг окружностей.
Вписанный угол. Определение.
Теорема о вписанном угле.
Вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность.
Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.
Теорема о каждой точки биссектрисы.
Теорема обратная теореме о каждой точке биссектрисы.
Точка пересечения биссектрис угла.
Среднее перпендикулярное к отрезку.
Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку.
Теорема обратная теореме о серединном перпендикуляре к отрезку.
Следствие о точке пересечения серединных отрезков к сторонам треугольника.
Теорема о пересечении высот треугольника.
Четыре замечательные точки треугольника.
Вписанная окружность. Определение.
Описанный многоугольник. Определение.
Теорема об окружности, вписанной в треугольник.
Сколько окружностей можно вписать в треугольник.
Суммы противоположных сторон в описанном треугольнике.
Описанная окружность. Определение.
Вписанный многоугольник. Определение.
Теорема об окружности, описанной около треугольника.
Какова сумма противоположных углов во вписанном четырёхугольнике.
В каком случае около четырёхугольника можно описать окружность.
Свойство трапеции, в которую можно вписать окружность.
Средняя линия трапеции. Определение.
Теорема о средней линии трапеции.

Ответы к листу опроса № 2

Многоугольник – это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящий через две его вершины.
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма: 1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма: 1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Трапеция бывает равнобедренной и прямоугольной. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Основные свойства равнобедренной трапеции: 1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.

Особые свойства трапеции: 1) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

2) Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90⁰, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

3) Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Особое свойство прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны.
Признак: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
Особое свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Признак: Если диагонали параллелограмма перпендикулярны и делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата: 1) Все углы квадрата прямые.

2) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Фигура называется симметричной относительно оси симметрии, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно оси симметрии также принадлежит этой фигуре.
Фигура называется симметричной относительно центра симметрии, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь многоугольника, все вершины которого расположены в точках целочисленной решетки, выражается числом , где m – количество точек решетки, находящихся внутри многоугольника, а n - количество точек решетки, лежащих на его границе.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами,

называются пифагоровыми треугольниками.

Треугольники со сторонами 3, 4, 5, называются египетскими треугольниками.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 :1, считая от вершины треугольника.
Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков AB и CD, если XY = .
1) Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

2)Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
sin ²α + cos ²α = 1.

Медиана треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей к окружности.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
Если дуга окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла. Если дуга больше полуокружности, то её градусная мера считается равной 360º – величина центрального угла.
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Серединные отрезки к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Четыре замечательные точки треугольника – это точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной.
Описанный многоугольник – это многоугольник, в котором вписана окружность.
В любой треугольник можно вписать окружность.
В треугольник можно вписать только одну окружность.
В любом описанном треугольнике (четырёхугольнике) суммы противоположных сторон равны.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника.
Многоугольник называется вписанным, если вокруг него описана окружность.
Около любого треугольника можно описать окружность.
В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180º.
Если сумма противоположных углов равна 180⁰, то около него можно описать окружность.
Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.