13

М [pic] униципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №24

имени Бабенко Алексея Алексеевича»

Задачи с модулем и параметрами

Программа элективного курса

для обучающихся 10-11-х классов.

Составитель :

Сутормина Надежда Петровна,

учитель математики.

Кемерово, 2013

Содержание

1. Пояснительная записка…………………………………………….........…. 3

1. Учебно – тематический план.……………………………………........……7

3. Содержание обучения…………………………………………........……...10

4. Перечень ключевых понятий ………………….……………...….......…...13

5. Список литературы для обучающихся ……………………………...........15

6. Список литературы для учителя …………........………………......….…..16

7. Контрольные работы по курсу……………………………………….........17

8. Приложения...................................................................................................2

Пояснительная записка.

Актуальность данного курса возрастает в данное время, т.к. изучение элективного курса способствует процессу самоопределения обучающихся, помогает им адекватно оценить свои математические способности, обеспечивая системное включение ученика в процесс самостоятельного построения знаний.

Предлагаемые в данном курсе задачи, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

Необходимость введения данного курса в системе профильной подготовки по математике обусловлена важностью формирования математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулем и задач с параметрами в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.

Особый акцент в программе сделан на углубление отдельных тем базовых и профильных общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, выходящих за их рамки.

Курс дополняет дисциплины, включенные в учебный план, и способствует обеспечению прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Курс рекомендован обучающимся 10-11 классов.

Цель данного курса – создание условий для формирования у обучающихся умения решать задачи с модулем и параметрами.

Задачи данного курса:

• углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

• выявить и развить их математические способности;

• расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач с модулем и параметрами;

• повысить уровень  математического и логического мышления учащихся;

• развить навыки исследовательской деятельности;

• обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры;

• развить умственные и волевые усилия;

• развить внимание;

• воспитать такие качества,  как  активность, творческая инициатива;

• воспитать трудолюбие;

Работа спецкурса строится на принципах:

-научности;

-доступности;

-опережающей сложности;

-вариативности;

-самоконтроля.

В структуре изучаемой программы выделяются следующие основные разделы:

• пояснительная записка;

• учебно- тематический план;

• содержание образования с распределением учебных часов;

• перечень ключевых понятий;

• список литературы для обучающихся;

• список литературы для учителя;

• контрольные работы по курсу.

Программа предусматривает проведение традиционных уроков, чтение установочных лекций, обобщающих уроков, самостоятельных работ, семинаров. Последовательность изложения материала от простого к сложному, линейная.

В ходе прохождения программы обучающиеся посещают лекционные занятия, занятия – практикумы, участвуют в семинарах, занимаются индивидуально, а также имеют возможность работать с математическими сайтами.

В программу курса содержит 4 контрольных работы, которые включают в себя задания различного уровня сложности и различные типы задач с модулем и параметрами.

В результате изучения данного курса учащиеся должны знать:

• понятие модуля и параметра;

• алгоритмы решений задач с модулем и параметрами;

• зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра;

• свойства функций в задачах с параметрами;

• свойства функций, содержащих модули;

• способы решений уравнений, неравенств и их систем, содержащих модуль.

должны уметь:

• решать линейные, квадратные, рациональные уравнения с параметром;

• решать неравенства с параметром;

• находить корни квадратичной функции, содержащей параметр;

• строить графики квадратичных функций, содержащей параметр;

• исследовать квадратный трехчлен;

• применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств, содержащих параметры;

• решать линейные, квадратные уравнения с модулем;

• решать линейные, квадратные неравенства с  модулем;

• строить графики уравнений, содержащие модули;

• применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств и систем.

Учебно тематический план

Содержание обучения (68 часов).

Раздел 1: Линейные и квадратные уравнения с модулем (8 часов).

1. 1. Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация.

Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение вида |х|= а, |ах+в|=0.

Дать понятие модуля действительного числа. Научить решать уравнения вида |х|= а, |ах+в|=0, основываясь на определение.

1. 2. Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с – любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|.

   3. Уравнения вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т.

Научить решать уравнения вида |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т методом промежутков.

1. 4. Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину.

   5. Метод замены переменной. Решение уравнений.

Раздел 2: Линейные неравенства с модулем. (7 часов).

2.1. Неравенство вида |ах+в|≤с.

Дать понятие линейного неравенства, научить обучающихся алгебраическому методу решения неравенства для любых действительных значений с.

2.2. Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

Научить обучающихся графическому методу решения неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число.

2.3. Неравенства вида |ах+в|+|сх+д|<т,|ах+в|+| сх+д|+ пх>т.

Научить обучающихся решать неравенства вида |ах+в|+|сх+д|<т, |ах+в|+| сх+д|+ пх>т методом промежутков.

2.4. Неравенства вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

Рассмотреть графические и аналитические методы решения неравенств вида |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д

Раздел 3: Функции, содержащие модуль. (5 часов)

3.1. График функции у= f(|х|.

3.2. График функции у=|f(х)|,),

3.3. График функции |у|= f(х).

Научить использовать алгоритмы построения графиков функций, содержащих модули.

Раздел 4: Нестандартные методы и приемы решения различных уравнений, неравенств и систем, содержащих модули. (14 часов).

4.1. Графические и аналитические методы. Классификация задач.

4.2. Квадратные неравенства.

4.3. Показательные уравнения и неравенства с модулем.

4.4. Логарифмические уравнения и неравенства с модулем.

4.5. Тригонометрические уравнения и неравенства с модулем.

4.6. Решение систем неравенств с модулем.

4.7. Решение систем уравнений с модулем.

Раздел 5: Линейное уравнение с параметрами (4 часа).

5. 1. Понятие параметра.

Что значит - решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит - исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т.д.), содержащее параметры.

5.2. Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения

уравнения вида ах= в.

Рассмотреть варианты решения при в=0, в0.

5.3. Решение линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в.

Рассмотреть линейные уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.).

Раздел 6: Линейные неравенства с параметрами (5 часов)

6.1. Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

Рассмотреть записи решения неравенства, при а<0, а>0, а=0.

6.2. Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Приводить к линейным уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия.

Раздел 7: Квадратные уравнения и неравенства с параметрами (6 часов)

7.1. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена.

7.2. Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

Раздел 8: Нестандартные методы и приемы решения различных уравнений, неравенств и систем, содержащих параметры. (18 часов).

8.1. Графические и аналитические методы. Классификация задач.

8.2. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.

8.3. Показательные уравнения и неравенства с параметрами.

8.4. Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами.

8.5. Свойства функций в задачах с параметрами и модулями.

Рассмотреть задачи на определение параметра, при котором данное уравнение имеет заданное число решений.

Перечень ключевых понятий.

Аргумент функции: зависимая переменная функции

Асимптота: прямая, к которой неограниченно приближается ветвь кривой.

Возрастание и убывание функции: функция f( x) называется возрастающей на отрезке [a; b], если для любой пары точек x1 < x2, принадлежащих этому отрезку, выполняется неравенство f( x1) < f( x2), и убывающей, если f( x1) > f( x2).

Выпуклость и вогнутость: свойства графика функции y = f( x) (кривой), заключающиеся в том, что каждая дуга кривой не выше (выпуклость книзу, или вогнутость кверху) или не ниже (вогнутость книзу, или выпуклость кверху) стягивающей ее хорды.

Касательная: предельное положение, к которому стремится секущая при приближении точки к точке М.

Косинус угла: одна из тригонометрических функций.

Котангенс: одна из тригонометрических функций.

Логарифм данного числа N при основании а: показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить N.

Множество значений функции: все возможные значения независимой переменной функции .

Модуль числа а: расстояние от числа а до 0 на координатной прямой

Неравенство: соотношение между числами или выражениями, указывающее, какое из них больше или меньше другого.

Обратная функция: функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Параметр: фиксированное, но неизвестное число.

Парабола: плоская кривая 2-го порядка.

Перпендикуляр: прямая, пересекающая данную прямую (плоскость) под прямым углом.

Симметрия: свойство геометрических фигур.

Синус: одна из тригонометрических функций.

Система координат: прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями).

Тангенс: одна из тригонометрических функции

Уравнение: равенство, содержащее переменную.

Функция: соответствие y = f ( x) между переменными величинами, в силу которого каждому значению переменной x соответствует не более одного значения переменной у.

Список литературы для обучающихся:

1. ^{Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. [Текст]: Учебн. пособие / М.И.Башмаков.- М.: Дрофа, 2006.- 400 с.}

2. Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре Текст: Учебн. пособие/ М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И Звавич. - М.: Просвещение, 1999.- 189 с.

3. Макарычев, Ю.Н . Алгебра 9. Дополнительные главы к школьному учебникуТекст: Учебн. пособие/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. –М.: Просвещение, 2001. -220с.

4. ^{Никольский, М.К. Алгебра и начала анализа. [Текст] Учебник для 10 кл. общеобразоват. учреждений базовый и профильный уровни/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- М. Просвещение 2007.- 432 с.}

5. Семенов, В. И. По страницам учебника М.Л. Галицкого Текст: Учебн. пособие/ В.И. Семенов. – Кемерово, 1999. – с 18-32.

6. Ястрибинецкий, Г.А.  Задачи с параметрами: [Текст]: учебн. пособие/ Г.А Ястрибинецкий.- Дрофа , 2000.- 130 с.

Список литературы для учителя:

1. Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: [Текст], учебн. пособие / М.И.Башмаков.- М.: Дрофа, 1999.- 400 с.

2. Виленкин, Н.Я. Алгебра для 9 класса: [Текст], учебн. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев.- М.: Просвещение, 1996.-384 с.

3. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]: учебн. пособие/ П.И.Горнштейн, В.Б Полонский, М.С. Якир. -Дрофа , 1998.- 87с.

4. Дорофеев, Г.В. Решение задач, содержащих модули и параметры:/ [Текст], пособие для поступающих в вузы/ Г.В. Дорофеев, В.В. Затахавай.- Просвещение: АО «Учеб. лит.» 1996.- 320 с.

5. Литвиненко, В.Н. Практикум по решению математических задач: [Текст]: учебн. пособие/ В.Н.Литвиненко, А. Г Мордкович.- М.: Просвещение, 1998.- с 134-168.

6. Родионов, Е.М. Решение задач с модулями и параметрами [Текст]: пособие для поступающих в вузы/ Е.М. Родионов, М.: Просвещение, 1997.- 120 с.

7. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. [Текст], учебн. пособие / И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. .- М.: Просвещение, 1997.-325 с.

8. Ястрибинецкий, Г.А.  Задачи с параметрами: [Текст]: учебн. пособие/ Г.А  Ястрибинецкий.- Дрофа , 2000.- 130 с.

Контрольные работы по курсу.

Контрольная работа № 1 по теме: «Функции, содержащие модуль»

1 вариант

1. Построить график функции у=х-2;

2. Построить график функции [pic]

3. Построить график функции, используя метод промежутков

у=2х-4+х+3-5

2. вариант

1. Построить график функции у=3-х;

2. Построить график функции [pic]

3. Построить график функции, используя метод промежутков

у=2х-4+2х

Контрольная работа № 2 по теме: «Задачи с модулем»

Вариант 1

1. Решите уравнения:

а) 5-3х2х+1

б) 3х-83х-26

в) х+3х-12х²

г) [pic]

д) [pic]

2. Решите неравенство:

а) 2х+1>х+4

б) 5х-14х+2х3

3. Построить график функции:

а) у=cosx-2

б) y=log(x+1)

Вариант 1

3. Решите уравнения:

а) 2х-33-2х

б) х-1х-32х-4

в) х²-3х5х+1

г) [pic]

д) [pic]

4. Решите неравенство:

а) 3х-1х+3

б) 2х+53х-7>4х+1

3. Построить график функции:

а) у=logx-2

б) y=sin(x+1)

Контрольная работа №3 по теме: «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»

1 вариант

1. Решить уравнение:

(а-1)х²+2(2а+1)х+4а+3=0

2. При каких значениях параметра а уравнение х²+2(а+1)х+9а-2=0 имеет 2 различных корня

3. Найдите значение а, при котором данное неравенство

х²-2(а-1)х+2а+10 имеет решение.

2 вариант

1. Решить уравнение:

(а+1)х²+2(2а+1)х+3а+4=0

2. При каких значениях параметра а уравнение ах²+2ах+9а-2=0 имеет 2 различных корня

3. Найдите значение а, при котором данное неравенство

х²-2(а-1)х+2а0 имеет решение.

Контрольная работа №4 по курсу: «Задачи с параметрами»

1 вариант

1. Решить уравнение: (а²-4)х=а+2

2. Решить неравенство: 3(2а-х)<ах+1

3. Решить уравнение: [pic]

4. При каком значении параметра к уравнение х²+х-к=0 не имеет действительных корней?

5. Для каждого значения параметра а решите уравнение

log2(х²-х+а)=log2(а-3х)

6. Найдите все допустимые значения параметра а, при каждом из которых неравенство [pic] не имеет решения

2 вариант

1. Решить уравнение: (а²-9)х=а+3

2. Решить неравенство: 3(3а-х)<ах+2

3. Решить уравнение: [pic]

4. При каком значении параметра к уравнение кх²+(к+1)х+2к-1=0 имеет один корень?

5. Для каждого значения параметра а решите уравнение log2(х²-3х-а)=log2(5х-а)

6. Найдите все допустимые значения параметра а, при каждом из которых неравенство [pic] имеет хотя бы одно решение

Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ «А»

Самостоятельная работа по теме: «Уравнения с модулем»

Вариант 1

1. Решить уравнения двумя способами

х-5=2

х-2=4-2х

2. Решить методом промежутков

5-х+2х-3=12

Вариант 2

1. [pic] Решить уравнения двумя способами

2х-4=2

х+2=6-2х

2. Решить методом промежутков

3-х+4х-5=18

ПРИЛОЖЕНИЕ «Б»

Самостоятельная работа по теме: «Неравенства с модулем»

Вариант 1

1. Решить неравенство

3-2х3

2. Решить неравенство методом промежутков

х-2+4-2х+х-23

2+3хх-2

Вариант 2

1. Решить неравенство

3х-25

2. Решить неравенство методом промежутков

3х-2+4-х+х-24

2+4х5х-2

ПРИЛОЖЕНИЕ «В»

Самостоятельная работа по теме: «Линейные уравнения и неравенства с параметрами».

1. вариант

1. Решите уравнение :

а) ах=х-2; б) [pic]

2. Решите неравенство

ах-2<3х-5

2 вариант

3. Решите уравнение :

а) ах=х-5; б) [pic]

4. Решите неравенство

3х+2<ах+5

ПРИЛОЖЕНИЕ «Г»

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

1. у=|f(х)|

Чтобы построить график данной функции, надо сначала построить график функции у=f(х), затем участки графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить

без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс стереть, предварительно отразив симметрично относительно оси абсцисс.

Задание 1.

Построить график функции у=|х [pic] -6х+5|

а) построим параболу у=х [pic] -6х+5

б) участки, лежащие ниже оси абсцисс сотрем, предварительно отразив симметрично относительно оси абсцисс.

2. у=f(|х|)

Чтобы построить график этой функции надо сначала построить график функции у=f(х), затем часть графика, расположенную левее оси у удалить, а часть графика, расположенную правее оси у, отобразить симметрично относительно этой оси.

Задание 2.

Построить график функции у=(|х|-2) [pic]

а) построим график функции у=(х-2) [pic]

б) часть графика, расположенную левее оси у удалим, а часть графика, расположенную правее оси у, отобразим симметрично относительно этой оси.

3. у=|f |(х)| |

1. Построить у=f(х), для неотрицательных значений х.

2. Отобразить полученную часть графика симметрично оси у.

3. Участки, расположенные ниже оси х, отобразить симметрично относительно оси х и стереть.

Задание 3.

Построить у=|2-|х||

а) построим у=2-х, для неотрицательных значений х.

б) отобразим полученную часть графика симметрично оси у.

в) участки, расположенные ниже оси х, отобразим симметрично относительно оси х и сотрем.

4. у|=f(х)

1. Построить график функции у=f(х)

2. Убрать ту часть графика, которая ниже оси х

3. Оставшуюся часть графика отобразить симметрично относительно оси х, но не стирать.

Задание 4.

Построить график функции |у|= х [pic] -4х+3

а) построим график функции у= х [pic] -4х+3

б) уберем ту часть графика, которая ниже оси х

в) оставшуюся часть графика отобразим симметрично относительно оси х, но стирать не будем.

5. |у|=|f(х)|

1. Построить у=|f(х)|

2. Отобразить симметрично относительно оси х

Задание 5.

Построить график функции |у|=|х+2||

а) построим у=|х+2|

б) отобразим симметрично относительно оси х

Метод промежутков.

Пример.

Построить график функции у=|х-1|+|х-2|

1. Найти абсциссы точек перелома графика

х-1=0 х-2=0

х=1 х=2

Раскрыть знаки модулей на полученных промежутках и построить графики полученных функций на каждом промежутке

а) (- [pic] ;1] у= -х+1-х+2

у= -2х+3 -прямая

б) [1;2] у=х-1-х+2

у=1 -прямая, параллельная оси абсцисс

в) [2; [pic] ) у=х-1 +х-2

у=2х-3 -прямая

Построить графики функций самостоятельно:

1. у=(|х|-3) [pic]

2. у=|х [pic] +2х|+1

3. у=|х|+|х-3|

4. у=||х-2|-1|

5. |у|=√х-2

6. |у|=|(х-3) [pic] -4|

ПРИЛОЖЕНИЕ «Д»

Решение уравнений с модулем

Пример 1. Решить уравнение |х+2|=6-2х

а) Найти точку, в которой выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак х+2=0; х=-2

б) Разобьем значения х на промежутки точкой -2

в) Раскроем знак модуля на каждом промежутке и решим полученное уравнение

1. (- [pic] ;-2]: -х-2=6-2х; х=8

Проверим: принадлежит ли 8 промежутку (- ;-2]; 8 не принадлежит этому промежутку, значит корнем не является

2. (-2; [pic] ): х+2=6-2х; х=4/3

4/3 принадлежит этому промежутку, значит, является корнем

Ответ: 4/3

Пример 2. Решить уравнение: |х-|4-х||-2х=4

Решение: |х-|4-х||=4+2х

х-|4-х|=4+2х

Полученное равносильно х-|4-х|=-4-2х

Каждое уравнение решить отдельно (см. пример 1)

|4-х|=4+х |4-х|=3х+4-не имеет решения

х=0

В ответе записать решения обоих уравнений

Ответ: 0

Пример 3. Решить уравнение: |х|+|5-х|+2|х-2|=4

Решение: х=0; 5-х=0; х-2=0;

х=5 х=2

[pic]

0 2 5

1. (- [pic] ;0]; -х+5-х+2(2-х)=4

х=5/4 - не принадлежит промежутку

2. (0;2]; х+5-х+2(2-х)=4

х=2,5 - не принадлежит промежутку

3. (2;5]; х+5-х+2(х-2)=4

х=1,5 –не принадлежит промежутку

4. (5; [pic] ); х-5+х+2(х-2)=4

х=13/4 -не принадлежит промежутку

Ответ: корней нет

Решить уравнения самостоятельно:

1. х [pic] -2|х-1|=2 Ответ: -1-√5; 2

2. |х|-|х-2|=2 Ответ: [2; [pic] )

3. |х-3|+|х+2|-|х-4|=3 Ответ: -6;2

4. |х-|х-|х-1|||=1/2 Ответ: 1/6;1/2;3/2.

ПРИЛОЖЕНИЕ «Е».

Линейные уравнения

Справочный материал

Уравнения, приводимое к виду ах=в ,где а и в – действительные числа , называют линейным уравнением .

1) а  0 ; х = [pic]

2) а = 0 , в = 0 ; 0 х = 0

х – любое действительное число

3) а = 0 , в  0 ; 0 х = в

корней нет

Пример 1

5х – 3х + 2х = 8 + 2 +12

4х = 22

х = 22 : 4

х = 5,5

Пример 3

5(2х – 4) = 2(5х – 10)

10х – 20 = 10х – 20

10х – 10х = 20 – 20

0х = 0

х – любое действительное число

Пример 4

2х + 5 = 2(х + 1) + 11

2х + 5 = 2х + 2 + 11

х – 2х = 11 – 5

0х = 6

корней нет

Дидактический материал

1. 15(х + 2) – 30 = 12х

2. 6(1 + 5х) = 5(1 + 6х)

3. 3у + (у-2) = 2(2у – 1)

4. 6у – (у-1) = 4 + 5у

Ответы : 1. 0 ;

2. корней нет ;

3. любое действительное число ;

4. корней нет .

ПРИЛОЖЕНИЕ «Ж»

Линейное уравнение с параметром.

Решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1 ах =0

1) Если а = 0 ,то 0х = 0

х – любое действительное число

2) Если а  0 , то [pic]

х = 0

Пример 2: ах = а

1) Если а = 0 , то 0х = 0

х – любое действительное число

2) Если а  0 ,то х = 1

Пример 3: х + 2 = ах

х – ах = -2

х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0 , т.е. а = 1 , то х 0 = -2

корней нет

Если 1 – а  0 , т.е. а  1 , то [pic]

Пример 4: (а² – 1) х = 2а² + а – 3

(а – 1)(а + 1)х = 2(а - 1)(а + 1,5)

(а – 1)(а + 1)х = (2а +3)(а – 1)

Если а = 1 , то 0х = 0

х – любое действительное число

Если а = - 1 , то 0х = -2

корней нет

Если а  1 , а  - 1 , то [pic] (единственное решение)

ПРИЛОЖЕНИЕ «З»

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х² = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

[pic]

В случае а ≠ 1 выделим те значения параметра , при которых D обращается в нуль .

D = (2(2а + 1))² – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а² + 16а + 4 – 4(4а² + 3а – 4а – 3) = 16а² + 16а + 4 – 16а² + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = - 16

[pic]

Если а< - 4/5 , то Д < 0 ,уравнение не имеет действительных корней .

Если а> - 4/5 и а ≠ 1 ,то Д> 0 , [pic]

Если а = 4/5 ,то Д = 0 , [pic]

Пример 2. Найдите значения а ,при которых данное уравнение имеет решение .

х² – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1)² – 4(2а + 10 = 4а² – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а² – 16а

4а² – 16 ≥ 0

4а(а – 4) ≥ 0

а(а – 4)) ≥ 0

а(а – 4) = 0

Ответ : а ≤ 0 и а ≥ 4

Дидактический материал

1.При каком значении а уравнение ах² – (а+1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень ?

2.При каком значении а уравнение (а+2) х² + 2(а+2)х + 2 = 0 имеет один корень ?

3.При каких значениях а уравнение

(а² – 6а + 8) х² + (а² – 4) х + (10 – 3а – а²) = 0 имеет более двух корней ?

4.При каких значениях а уравнение 2х² + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х² – 7х + 6 = 0 ?

5.При каких значениях а уравнения х² +ах + 1 = 0 и х² + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень ?

Ответы: 1. При а= - [pic]

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2