[pic]
Выполнили учащиеся 9 Б класса
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №1»
г. Курска
20013-2014 уч. год
1. Понятие модуля.
Модулем действительного числа (абсолютной величиной числа х) называют само это число, если х ≥ 0, и противоположное число, если х < 0.
Т.е. [pic]
Геометрически [pic] означает расстояние на координатной прямой от точки х до 0.
Расстояние [pic] между точками х и b координатной прямой равно [pic] , т.е. [pic] = [pic]
Пример 1. [pic]
Расстояние между точками х и 1 на координатной прямой равно 2. Этими точками являются х1 = 3, х2 = -1.
Ответ: 3;-1
Пример 2. [pic] > 2
Расстояние между точками х и 1 больше 2, т. е. [pic]
Ответ: [pic]
Пример 3. [pic] ≤ 2
Расстояние между точками х и 1 не больше 2., т.е [pic]
Ответ: [pic]
Таким же образом можно решать и более сложные уравнения:
[pic] , [pic]
Например:
[pic]
Решить данное уравнение, значит найти все такие точки на координатной прямой, для каждой из которых сумма расстояний от её до точек с координатами 1 и 3 равна 6. Ясно, что ни одна из точек отрезка [1;3] не удовлетворяет этому условию, так как сумма указанных расстояний для любой из них равна 2 (т.е. не равна 6). Вне этого отрезка существует только две искомые точки.
Точка с координатой 5 и точка с координатой -1. Это и есть решение данного уравнения.
Ответ: 5;-1.
Свойства:
1. [pic] Модуль любого числа – неотрицательное число.
2. [pic] Модули противоположных чисел равны.
3. [pic] Величина числа не превосходит величины его модуля.
4. [pic] Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей.
5. [pic] Модуль дроби равен модулю числителя, делённому на модуль знаменателя (если модуль знаменателя не равен нулю)
6. [pic] 7. [pic] 8. [pic]
9. [pic] Модуль суммы не превосходит суммы модулей слагаемых.
10. [pic]
2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
В своём проекте мы рассматриваем методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Чтобы решить такие уравнения, надо освободиться от знака модуля. Рассмотрим несколько случаев.
а) [pic]
Если:
а < 0 , то данное уравнение не имеет корней;
а = 0, то данное уравнение равносильно уравнению f(x) = 0;
a > 0, то
[pic] или [pic]
Решить уравнение: [pic]
х2 - 2х – 7 = 4 или х2 - 2х – 7 = - 4
х2 - 2х – 11 = 0 х2 - 2х – 3 = 0
х1,2 = [pic] х3 = -1; х4 = 3.
Ответ: [pic] ; - 1; 3.
б) [pic]
Решением является объединение решений двух систем:
[pic]
Решить уравнение: [pic]
1 способ
Используя определение модуля имеем
[pic]
[pic]
х= ± 5.
Ответ: ± 5.
2 способ Данное уравнение можно решить, используя метод замены переменой. Пусть [pic] = у, тогда данное уравнение примет вид: у2 - 2у - 15 = 0 (т.к. х2 = [pic] 2) Решая его , получаем корни у1= - 3; у2 = 5.Возвращаясь к замене, получим [pic] = -3 или [pic] = 5. первое уравнение корней не имеет, а второе имеет два корня -5 и 5.
Ответ: ±5.
в) [pic]
[pic] [pic] или [pic]
Решить уравнение [pic]
[pic] [pic] или [pic] [pic]
Ответ: [pic] .
г) Для решения ряда уравнений с модулем можно воспользоваться утверждением. Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются знаком, т.е. если
[pic]
Решить уравнение:
[pic]
Ответ:4; -0,4.
д) Решите уравнение:
[pic]
Анализируя данное уравнение, видим, что левая часть представляет сумму двух неотрицательных величин, поэтому равенство нулю возможно тогда и только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю, т.е. данное уравнение равносильно системе:
[pic]
Решив первое (оно проще) проверим, будет ли число -1 являться корнем второго уравнения.
Ответ: -1.
3. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
а) [pic] , где а > 0 равносильно двойному неравенству -а ≤ f(x) ≤ а,
если а = 0 , то равносильно уравнению f(a) = 0.
Пример: [pic]
-2< х-1 < 2
-2 +1 [pic] < х < 2+1
-1 < х < 3.
Ответ:( -1;3)
б) [pic] , где а ≥ 0 равносильно неравенствам:
f(x) ≥ a или f(x) ≤ -a
Пример: [pic]
2х + 5 ≥ 7 или 2х + 5 ≤ -7
2х ≥ 2 2х ≤ - 12
х ≥ 1 х ≤ -6
Ответ: [pic]
4. Построение графиков функций, содержащих знаки модуля.
а) [pic]
Для построения графика данной функции необходимо изобразить график функции у = f(x) после чего часть графика, лежащую выше оси абсцисс и на ней, оставить неизменной, а часть графика, лежащую ниже этой оси, заменить ее образом при симметрии относительно оси абсцисс.
б) [pic]
Для построения графика данной функции надо взять часть графика функции у = f(x), лежащую в полуплоскости х ≥ 0, симметрично отобразить её относительно оси у и объединить получившиеся множества.
в) [pic]
Для построения данного графика достаточно применить алгоритм построения графика функции [pic] , а потом функции [pic] , или наоборот.
г) [pic]
Для построения графика данного уравнения необходимо ту часть графика уравнения у = f(x) , которая лежит выше оси абсцисс и на ней симметрично отобразить относительно оси х и объединить получившиеся множества. Данную зависимость между переменными х и у, выраженную данным равенством нельзя отнести к функциональной. Именно в таких случаях надо говорить об уравнении, а не о функциях.
Задания для работы
Решить уравнения, используя геометрическое определение модуля
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
Решить уравнения
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
Решить неравенства
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
Построить графики уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic] [pic]
