Поремская И.В., учитель математики
КГУ «СШ№2 г. Тайынша», Северо-Казахстанская область
Урок геометрии «Векторы. Угол между векторами» (9 класс).
Цель: повторить и закрепить с учащихся основные понятия, связанные с векторами, закрепить умение решать задачи, применяя теоретический материал.
Ученик должен знать: определение вектора и связанных с ним понятий, находить сумму, разность векторов.
Ученик должен уметь: применять теоретические знания при решении геометрических задач, уметь графически находить сумму, разность векторов, умножать вектор на число.
Тип урока: Комбинированный урок повторения и изучения нового материала.
Технология: Личностно–ориентированная, информационно-коммуникативная.
Методы:
Формы: Фронтальный опрос, самостоятельная работа, индивидуальная работа.
Структура урока:
1.Организационный момент.
2. Повторение
3. Обобщение и систематизация
4. Практическое задание
5. Решение задач
6.Историческая справка
7. Изучение нового материала
8. Самостоятельная работа
9. Рефлексия
10. Домашнее задание.
Ход урока
I. Организационный момент Цель: Настроить учащихся на эффективную работу на уроке.
Учитель приветствует учащихся, проверяет готовность класса к уроку. Настраивает учащихся на работу.
Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня у нас открытый урок, на котором присутствуют учителя.
Посмотрите на слайд. Какова же тема урока?
Учащиеся рассаживаются на свои места
На слайде изображены векторы, значит тема урока: Векторы. Угол между векторами.
II. Повторение теоретического материала
Цель:
Закрепить знания учащихся о векторах, модуле вектора и равенстве векторов
Мы сегодня на уроке повторим все понятия, все формулы, изученные по теме Векторы на плоскости.
Впервые понятие вектора появилось в трудах математика, фамилию которого вы узнаете в конце урока. При решении заданий вами будет открыта буква фамилии этого ученого.
1 задание. Распределить величины на скалярные и векторные (масса, сила, перемещение, площадь, скорость, длина, объем, время, температура, ускорение, вес)
Учащиеся на интерактивной доске классифицируют величины.
Скалярные: масса, площадь, длина, объем, время, температура.
Векторные: сила, перемещение, скорость, ускорение, вес.
III. Обобщение и систематизация
Цель:
Систематизировать знания по данной теме
2 задание. Из данных понятий выделить главное понятие и второстепенные.
Вектор, Коллинеарные векторы, Не коллинеарные векторы, Нулевой вектор, Единичный вектор, Сонаправленные векторы,
Противоположно направленные векторы, Равные векторы.
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Вектор
Коллинеарные Не коллинеарные
[pic] [pic] векторы векторы
Нулевой вектор
Сонаправленные Единичный вектор
[pic] векторы
Противоположно
направленные
векторы
Равные векторы
Учащиеся данным понятиям дают определения.
Вектор – направленный отрезок.
Нулевой вектор – вектор, у которого начало совпадает с концом.
Единичный вектор- вектор длина которого равна 1.
Коллинеарные векторы – это ненулевые векторы, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
В противном случае векторы называют неколлинеарными.
Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарные и имеют одинаковое направление.
Векторы называются противоположно
направленными, если они коллинеарные
и имеют противоположные направления.
Все определения повторили, а теперь выполним следующее задание. Установите соответствие между понятием и выполненным чертежом.
[pic]
Не коллинеарные векторы
[pic] [pic]
коллинеарные векторы
[pic] [pic]
Сонаправленные векторы
[pic] [pic]
Противоположно направленные векторы
[pic] [pic]
Равные векторы
[pic]
[pic]
Нулевой вектор
[pic]
[pic]
Учитель задает вопросы.
Какие действия выполняются над векторами?
Сложение векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на число
Как можно сложить два вектора?
По правилу треугольника и по правилу параллелограмма
IV. Практическое задание
Цель:
Повторить и закрепить умение выполнять сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число
На доске изображены два неколлинеарных вектора. Нужно сложить их двумя способами.
[pic]
[pic]
1 способ. Правило треугольника. Вектор [pic] переносим параллельным переносом так, чтобы начало вектора [pic] совпало с концом вектора [pic] . Суммой векторов [pic] и [pic] будет такой вектор [pic] , начало которого совпадает с началом вектора [pic] , а конец с концом вектора [pic] .
А теперь нужно сложить эти же векторы по правилу параллелограмма.
[pic] [pic]
2 способ. Правило параллелограмма. Вектор [pic] переносим параллельным переносом так, чтобы начало вектора [pic] совпало с началом вектора [pic] . Дополняем до параллелограмма. Суммой векторов [pic] и [pic] будет такой вектор [pic] , диагональ параллелограмма, начало которого совпадает с началом векторов [pic] и [pic] .
Следующее задание: вычесть эти векторы.
[pic]
[pic]
Вектор [pic] переносим параллельным переносом так, чтобы начало вектора [pic] совпало с началом вектора [pic] . Разностью векторов [pic] и [pic] будет такой вектор [pic] начало которого совпадает с началом вектора [pic] , а конец с концом вектора [pic] .
Повторение формул
Вспомним формулы, которые будут необходимы при решении задач. На доске разбросаны начало и конец формул. Ваша задача собрать правильно все формулы.
А(x1;у1), В(х2;у2), [pic] (а1;а2), [pic] (в1;в2).
[pic] [pic] = (х2-х1; у2-у1) ǀ [pic] ǀ=√а12+а22
[pic] [pic] + [pic] = (а1+в1; а2+в2)
[pic] [pic] - [pic] = (а1-в1; а2-в2)
[pic] k [pic] = (kв1;kв2)
V. Решение задач
Цель:
Закрепить навыки учащихся выполнять действия над векторами в координатах
Задача №1
Дано:
[pic] (4; 8) , [pic] (-3; 5)
[pic] + [pic] =?
Учащиеся в ходе решения проговаривают правила.
[pic] [pic] [pic] [pic] + [pic] = (4;8)+(-3;5) = (1;13)
Задача№2
Дано:
[pic] (4; 8) , [pic] (-3; 5)
[pic] - [pic] =?
Учащиеся в ходе решения проговаривают правила.
[pic] [pic] [pic] [pic] - [pic] = (4;8)-(-3;5) = (7;3)
Задача№3
Дано:
[pic] (4; 8) , [pic] (-3; 5)
ǀ3 [pic] +4 [pic] ǀ =?
[pic] [pic] [pic] 3 [pic] +4 [pic] = 3(4;8)+4(-3;5) = (12;24)+
[pic] (- [pic] 12;20) = (0;44);
ǀ3 [pic] +4 [pic] ǀ = √02+442 = √44 [pic]
Задача№4
[pic] (-6; 8)
ǀλ [pic] ǀ = 5
λ -?
[pic] [pic] λ [pic] = λ(-6;8) = (-6λ; 8λ)
ǀλ [pic] ǀ=√(-6λ) ²+( 8λ)² =√36 λ ²+64 λ ² =10ǀλǀ 10ǀλǀ =5
ǀλǀ = [pic] λ= [pic] ; λ=- [pic] Ответ: при полученных значениях λ= [pic] ; λ=- [pic] длина вектора ǀλ [pic] ǀ = 5
Задача№5
[pic] (1; -1) , [pic] (-2; m)
[pic] и [pic] - коллинеарные
m -?
У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны
[pic] = [pic] m= [pic] = 2
Ответ: при m=2 векторы [pic] и [pic] - коллинеарные
Задача№6
А(6; -2), В(-4; -7), С(0; -8), К(5;0)
[pic] [pic]
АС-? КВ-?
[pic] АС(-6;-6)
[pic]
КВ(-9;-7)
VI. Историческая справка
Цель:
Ознакомить учащихся с биографией ученого математика
[pic]
[link] .
VII. Изучение нового материала
Цель: ввести понятие угол между векторами
Алгоритм:
Построить два неколлинеарных вектора
Обозначить их а и в
Перенести векторы так, чтобы они выходили из одной точки
При помощи транспортира измерить угол между этими векторами
Сделать вывод:
Углом между двумя векторами называется угол между векторами выходящими из одной точки.
1. Угол между векторами.
[pic] а) [pic]
( [pic] , [pic] ) = 30°
[pic] [pic] 30°
[pic]
[pic] б)
[pic] 120° ( [pic] , [pic] ) = 120°
[pic] [pic]
[pic]
в)
[pic] [pic] ( [pic] , [pic] ) = 180°
[pic] [pic]
2. Если векторы сонаправлены, то
( [pic] , [pic] ) = 0°
VIII. Самостоятельная работа
Цель:
Проверить знания учащихся
Вариант №1
1. Если два коллинеарных вектора направлены в разные стороны, то они - __________________.
2. Любая точка плоскости является __________________.
3. _______________ или модулем ненулевого вектора называется длина этого отрезка.
4. Ненулевые вектора называются___________________, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
5. Вектор разности выходит из ____________вектора ___________ и приходить в ________________ вектора _____________.
6. Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, какая – концом, называется ____________.
7. Если два коллинеарных вектора направлены в одну сторону, то они - ______________.
8. Два вектора называются _______________ если они сонаправлены и их длины равны.
9. От любой точки можно отложить вектор равный данному и притом только __________.
10. Нулевой вектор _________ коллинеарным любому вектору.
11. По правилу треугольника вектор суммы выходит их _____________ первого вектора и заканчивается в _________ второго.
Самостоятельно выполняют тест на заполнение пропусков
Вариант №2
1. Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, какая – концом, называется ____________.
2. Любая точка плоскости является __________________.
3. ____________ или модулем ненулевого вектора называется длина этого отрезка.
4. Ненулевые вектора называются __________________, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
5. Нулевой вектор _____________ коллинеарным любому вектору.
6. Если два коллинеарных вектора направлены в одну сторону, то они - ______________.
7. Если два коллинеарных вектора направлены в разные стороны, то они - ______________.
8. Два вектора называются _______________ если они сонаправлены и их длины равны.
9. От любой точки можно отложить вектор равный данному и притом только __________.
10. По правилу треугольника вектор суммы выходит их ______________ первого вектора и заканчивается в _______________ второго.
11. Вектор разности выходит из ____________вектора ___________ и приходить в ________________ вектора ____________.
IX. Рефлексия
- У каждого из вас ребята на столе карточки. Уходя с урока, прикрепите на доску одну их них.
урок был полезен для меня,
я много с пользой и хорошо работал на уроке, получил заслуженную оценку, я понимал всё,
о чем говорилось и
что делалось на уроке.
[pic]
Урок был интересен,
я принимал активное
участие, урок был
в определенной степени
полезен для меня,
я отвечал на вопросы,
выполнил некоторые
задания, мне было
достаточно комфортно.
[pic]
Пользы от урока
я получил мало,
я не очень понимаю,
о чем идет речь, мне это
не очень нужно,
домашнее задание я
не смогу сделать, мне
это не интересно и
всё не понятно.
Ребята проводят анализ своей деятельности на уроке
X. Д/З
Повторить §6 №66
Записывают в дневники домашнее задание
Маршрутный лист
Г
А теперь нужно сложить эти же векторы по правилу параллелограмма.
А
Нужно вычесть эти векторы.
М
Задача №1
[pic] (4; 8) , [pic] (-3; 5)
[pic] + [pic] =?
И
Задача№2
[pic] (4; 8) , [pic] (-3; 5)
[pic] - [pic] =?
Л
Задача№3
[pic] (4; 8) , [pic] (-3; 5)
׀3 [pic] +4 [pic] ׀ =?
Ь
Задача№4
[pic] (-6; 8)
׀λ [pic] ׀ = 5
λ -?
Т
Задача№5
[pic] (1; -1) , [pic] (-2; m)
[pic] и [pic] - коллинеарные
m -?
О
Задача№6
А(6; -2), В(-4; -7), С(0; -8), К(5;0)
[pic] [pic]
АС-? КВ-?
Н
[pic]
