Расширение представления учащихся о предмете геометрия с помощью геометрии такси.
В статье просматривается новый способ определения расстояния между точками, который используется в геометрии такси. Учащиеся знакомятся с простейшими фактами этой геометрии.
Манхэттенское расстояние, геометрия такси, окружность геометрии такси.
На протяжении всей жизни мы используем знания, полученные в школьные годы в курсе геометрии. Этих знаний не всегда бывает достаточно. Например, попытки рассчитать время, затраченное на тот или иной маршрут, сводятся к неточному результату. Одной из причин является расположение зданий. В реальности они не образуют идеальных квадратов. Рассчитывая расстояния, мысленно прорисовывается прямая, что не всегда соответствует действительности.
Немецкий математик XIX века, Герман Минковский работал над одним из вариантов неевклидовой геометрии, связанной с определением расстояния между точками.
Расстояние городских кварталов — метрика, введённая Германом Минковским, также известно, как манхэттенское расстояние, метрика прямоугольного города, метрика городского квартала, метрика такси, метрика Манхэттена, прямоугольная метрика, метрика прямого угла. Название «манхэттенское расстояние» связано с уличной планировкой Манхэттена. Геометрия такси позволяет рассчитать кротчайший путь между двумя пунктами в городе.
Учащимся целесообразно раздать карточки с изображением отрезков на клетчатой бумаге и предложить измерить расстояние между концами отрезков в геометрии Евклида, а затем в геометрии такси и сравнить результаты.
На самом деле, фактический маршрут не является прямой линией. Здесь появляется понятие «расстояние такси». Это понятие лежит в основе геометрии такси.
Задание№1. Найдите :
расстояние Минковского между двумя точками.
количество возможных маршрутов
Учащимся предлагается по рисунку найти расстояние между двумя точками в геометрии такси и выяснить сколько различных маршрутов можно проложить. После того, как ребята поработали с рисунком, можно ознакомить их с формулами, позволяющими получить тот же результат при помощи алгебраических вычислений.
Формула выражающая количество возможных маршрутов: AB= где n- вертикальные движения; m-горизонтальные движения. Формулу необходимо ввести после того, как с учащимися построены все возможные маршруты от А до В.
В отличие от евклидова расстояния, минимальное расстояние между двумя точками с прямоугольной сеткой улиц равна сумме модулей разностей их координат: d(A, B)=||+| |. При расчете расстояний, положение начала координат не влияет на результат подсчетов. Обучающиеся во время решения заданий повторяют правило работы с модулем и знакомятся с новым для себя понятием «факториал».
Учащиеся выполнят решение данной задачи по формулам:
1. Координаты точек А(1;5), В(3;2). Найдем расстояние Минковского.
d(A,B)= |3-1| + |2-5| =|2|+ |-3|=5
2. Количество возможных маршрутов вычислим по формуле: AB=====10
В качестве практического задания, можно предложить ребятам применить полученные знания. Например, найти расстояние в геометрии Евклида и в геометрии такси, между школой и домом под номером 17а.
Изучение данного раздела геометрии заинтересует детей практическим применением. Геометрия такси развивает пространственное представление, воображение. Данный раздел, на мой взгляд, можно вводить с 9 класса, когда дети уже получили необходимые геометрические знания, в качестве дополнения к элективному курсу. Обучающихся заинтересует применение полученных знаний здесь и сейчас, возможность рассчитать количество маршрутов в своем микрорайоне для себя, или для какого-либо героя по заданию учителя.
С другой стороны, можно совместно с детьми построить окружность согласно определению, в евклидовой геометрии, а затем в геометрии такси и получить довольно странный результат. Окружность представляет собой множество точек, расстояние от каждой из которых до выбранной точки (центр круга) не превосходит радиус. Окружность в геометрии такси имеет форму квадрата. При помощи слайдов можно показать, как изображается эллипс в геометрии такси. Для сравнения ребятам предложить построить эллипс в геометрии Евклида при помощи нитки, булавок и карандаша. Для обучающихся это станет настоящим открытием.
Например, на рисунке изображена окружность с радиусом равным 3 и центром в точке (2;0), это следует из уравнения окружности |x-2|+ |y|=3. Эту задачу следует решить совместно с учащимися.
Затем предложить учащимся индивидуальные карточки, где каждому ученику необходимо определить центр, радиус и составить уравнение окружности по предложенному изображению.
Данное задание развивает интерес, критическое мышление, воображение, пространственное и абстрактное мышление.
Обучающимся можно предложить сравнить второй признак равенства треугольников в евклидовой геометрии и в геометрии основанной на манхэттенском расстоянии.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказанный признак в евклидовой геометрии вызывает сомнения в геометрии такси.
В геометрии такси, расстояние между двумя вершинами обозначенных катетов в обоих случаях равно четырем. А в Евклидовой геометрии, это два разных треугольника.
Общее интеллектуальное развитие человека включает в себя главный критерий геометрического образования: умение оперировать пространственными образами. Реальный мир структурно является геометрическим. Для познания Мира важно геoметрическое знание связанное с практическим опытом и основывающееся на практическом применении.
Список источников
Гомес, Ж. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии. –М.: Де Агостини, 2014. -156 с.
Атанасян, Л.С., Бутузов, С. Б. и др. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2014. – 383 с.
Гилберт Д., Вейль Г. Герман Минковский: Биографический очерк // Пространство и время.- СПб.: Физика. 1911. С. 3-24
