Дидактический материал по математике для 10 класса

Тема «Основные свойства функций» вариант 1

1. Найти область определения функции
   а) [4;+∞) б) [-4; 4] в) (-∞; - 4]U[4; +∞) г) (-∞; 4]

2. Найти область значений функции у= - х² +5х – 9
   а) [;+∞) б) (-∞;-] в) (-∞; ] г) [;+∞)

3. Что можно сказать о функции
   а) четная б) нечетная в) ни четная, ни нечетная г) периодическая

4. Указать график функции
   а) б) в) г)
   
   
   
   
   
   

5. Дана функция f(x)=х³ – 2ах+5. Известно, что f(-1)=-3. Найти f(-2).
   а) 10 б) – 12 в) – 17 г) – 5

6. Найти область значений функции у=2 – 3sinx
   а) [-1; 5] б) [- 4; 2] в) [- 5; 1] г) [- 2; 4]

7. Найти нули функции
   а) 0 и √8 б) -4 и 4 в) √8 г) -2√2 и 2√2

8. Найти область определения функции у = 1/sinx

9. Найти f(3), если f(x) = x² +3x –1

10. Найти наименьший положительный период функции у=3tg(2x+π)-1

11. Определить по графику функции у=f(x)
    а) область определения
    б) область значений
    в) наименьшее значение функции
    г) достроить график периодической функции
    д) достроить график четной функции
    е) достроить график нечетной функции

12. Построить график функции у = 3 – 2sin(х+π/2)

вариант 2

1. Найти область определения функции
   а) (-∞; 12] б) [-√12; √12] в) [0; 12] г) [-12; 0]

2. Найти область значений функции у= х² +3х – 1
   а) (-∞;1,25] б) [-1,5;+∞) в) (-∞;- 1,5] г) [-3,25;+∞)

3. Что можно сказать о функции
   а) четная б) нечетная в) ни четная, ни нечетная г) периодическая

4. Указать график функции
   а) б) в) г)
   
   
   
   
   
   

5. Дана функция f(x)= - х³ – 4ах – 3. Известно, что f(-2)=1. Найти f(-1).
   а) 2 б) – 8 в) – 4 г) – 2

6. Найти область значений функции у=3 – 5сosx
   а) [-2; 2] б) [- 3; 5] в) [- 5; 3] г) [- 2; 8]

7. Найти нули функции
   а) √6 б) 2,45 в) 0 и √6 г) -√6 и √6

8. Найти область определения функции у = 1/соsx

9. Найти f(3), если f(x) = - x² +5x – 9

10. Найти наименьший положительный период функции у=2сtg(4x−π/2)+1

11. Определить по графику функции у=f(x)
    а) область определения
    б) область значений
    в) наибольшее значение функции
    г) достроить график периодической функции
    д) достроить график четной функции
    е) достроить график нечетной функции

12. Построить график функции у = - 2cos(х−π/2) – 2

Тема «Четные и нечетные функции»

[pic]

ЗАЧЕТ «Функции и их свойства»

1. Понятийный диктант

1. Функция

2. Область значений функции

3. Убывающая функция

4. Четная функция и ее график

5. Экстремум

6. Минимум функции и точка минимума

2. Примеры

1. Приведите пример функции, если область определения функции:
   а) все действительные числа; б) все действительные числа, кроме 2,5.
   
   
   

2. Приведите пример функции, не имеющей нули.
   
   
   

3. Приведите пример графика функции у = g(х), если:

- область определения функции [-3; 2]

- область значений функции [-2; 4]

- на [-3; - 1] g(x) убывает, а на [- 1; 2] g(x) возрастает

- g(-3) = 1.

3. Математический диктант

Дана функция у = cosx. Укажите:

1. Область определения функции …

2. Область значений функции …

3. Данная функция четная или нечетная …

4. Данная функция имеет период …

5. График этой функции на промежутке пересекает ось Ох в точках х = …

6. График этой функции на промежутке пересекает ось Оу в точках у = …

7. На промежутке функция имеет максимум у = … при х = …

8. На промежутке функция имеет минимум у = … при х = …

9. В промежутке [-2π;2 π] функция монотонно убывает на участке …

10. В промежутке [-2π;2 π] функция монотонно возрастает на участке …

11. Выражение теряет смысл при следующих значениях х = …

. Тема «Преобразование тригонометрических выражений»

2) 5 – sin²α – cos²α

3) (1 – sin²α)(1+tg²α)

1)

2) sin⁴α – cos⁴α + cos²α

3)

1)

2)

3)

№ 2. Докажите тождество:

1) cosα + cs(-α) = 0

2)

1)

2)

1) sin⁴α – sin²α + cos²α = cos⁴α

2) 1 – sin²α cos²α – cos⁴α =
= 1 – sinα cosα ctgα

№ 3. Найдите значение выражения:

1+ cos² α – sin² α,
cosα = 0,8

, ctgα = 0,125

(sinα + cosα)² – 2sinα(cosα – sinα),

sinα = 0,7

№ 4. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения:

5sin²α + 3cos²α

Дополнительно. № 5. Докажите тождество:

Тема «Свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса»

1. Углом какой четверти является угол
   а) 98^о; - 282^о; -98^о; 282^о; 369^о; - 369^о; 480^о; -930^о; 2000^о
   б) sin a > 0 и tg a < 0 ?

2. Имеет ли смысл выражение
   а) tg270^o б) sin270^o в) cosa = √5/2 г) ctg a = √5/2 д)

3. Укажите наибольшее и наименьшее значение функции 4 – sin a.

4. Вычислите:
   а) 6tg180^o + 3ctg90^o г) sin²60^o + cos²30^o
   б) sin270^o – 2cos180^o д) ctg750^o · sin(-60^o) · tg(-30^o)
   в)√2sin45^o + √2cos45^o е) cos(-180^o) · sin(- 30^o)

5. Сравните:

6. Найдите значение выражения:
   а) sin3a, если a=30^o б)

Тема «Параллельность прямых и плоскостей»

1. Трапеция АВСД с основаниями АД и ВС и прямоугольник АМКД не лежат в одной плоскости. Точки О и Н – середины отрезков АВ и СД соответственно.
   а) Докажите, что ОН и МК параллельны
   б) Найдите ОН, если ВС = 8см и МК = 12см

2. Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся: а) с прямой АВ; б) с прямой ВС. (ответ обоснуйте)

3. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Укажите три прямые, проходящие:
   а) через точку Д и скрещивающиеся с прямой АВ1
   б) через точку В1 и скрещивающиеся с прямой А1Д

4. Ответить на вопросы:
   1) верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?
   2)две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?
   3) могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с?
   4)даны две скрещивающиеся прямые а и b. точки А и А1 лежат на прямой а, точки В и В1 лежат на прямой b. как будут расположены прямые АВ и А1В1?
   5) прямая а скрещивается с прямой b , а прямая b скрещивается с прямой с. Следует ли из этого, что прямые а и с – скрещиваются?
   6) каково должно быть взаимное расположение трех прямых, чтобы можно провести плоскость, содержащую все прямые?

5. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Найдите угол между прямыми 1) ВС и СС1 2) АС и ВС 3) Д1С1 и ВС 4) А1В1 и АС.

6. Треугольники АВС и АДС лежат в разных плоскостях. РК – средняя линия треугольника АДС с основанием АС. Определить взаимное расположение прямых РК и АВ и найти угол между ними, если угол С равен 80^о и угол В равен 40^о.

7. Трапеция АВСД (АД и ВС – основания) и треугольник АЕД лежат в разных плоскостях. МР – средняя линия треугольника АЕД (МР параллельно АД). Каково взаимное расположение прямых МР и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если угол АВС равен 110^о?

Тема «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»

1. Построить сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через данные точки М, О, К. М€ДВ, О€ДС, К€ДА,

2. Построить сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через данные точки М, О, К – середины ребер АВ, ВС, ДС. Найти периметр сечения. Ребро тетраэдра равно а.

3. Построить сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через данные точки М, О, К. М€АВ, О€ВС, К€СД, ОМ ║АС.

4. Построить сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через данные точки М, О, К. М€ДВ, О€ДС, К€САВ.

5. Построить сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точку М€ДАВ, параллельно плоскости СВД.

6. Построить сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через данные точки М, Е, К. М€ДВ, Е€ДС, К€СА.

7. Построить сечение куба ДАВСД1А1В1С1 плоскостью, проходящей через данные точки, являющиеся серединами трех соседних ребер. Найти периметр сечения, если ребро куба равно а.

8. Построить сечение куба ДАВСД1А1В1С1 плоскостью, проходящей через данные точки А, С, Н, если Н€ДД1.

9. Построить сечение куба ДАВСД1А1В1С1 плоскостью, проходящей через данные точки А, Д1, Н, Е, если Н середина СС1, Е середина ВС.

10. Построить сечение параллелепипеда ДАВСД1А1В1С1 плоскостью, проходящей через данные точки Н, Е, Р, если Н€А1Д1, Е€АВ, Р€ВС.

11. Все грани параллелепипеда ДАВСД1А1В1С1 – равные ромбы со стороной а и острым углом 60^о. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Д, В, М, если М середина ВС. Доказать, что построенное сечение есть равнобедренная трапеция. Найти стороны трапеции.

1.

Доказать, что прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.

M

A B

C

2.

МВDС – прямоугольник. Доказать, что прямая СD перпендикулярна плоскости АВС.

M

D

B

A

C

3.

АВСD – прямоугольник. Доказать, что АD перпендикулярна АМ.

M

B C

A D

4.

Доказать, что ВС перпендикулярна ЕD.

M

E

A B

D

C

5.

АВСD – параллелограмм. Доказать, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС.

M

B C

O

A D

6.

АВСD – ромб. Доказать, что ВD перпендикулярна плоскости АМС.

M

B C

O

A D

Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости»

1. Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.
Сделайте чертеж.

1. Две прямые называются перпендикулярными, если …

2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

3. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они …

4. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если …

5. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости …

6. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая …
   
   

2. Ответьте на вопрос.

Сколько перпендикуляров можно провести через данную точку к данной прямой в пространстве?
3. Выпишите (см.рис.) B1 C1

1. ребра, перпендикулярные плоскости DСС1

2. плоскости, перпендикулярные ребру ВВ1 A1 D1

4. Используя символы ┴ и ║, запишите,
как расположены прямая и плоскость B C
(см.рис.). Докажите.

1. СС1 и DСВ

2. D1С1 и DСВ A D

5. Обоснуйте ответ.

Каково взаимное расположение прямой АС и плоскости α, если АВ ┴ α,
СD ┴ α, B α, Dα, AB = CD.

Тема «Производная» (100 минут)

Закрытые задания (по 3 балла):

1. Найти производную у = х⁹ + 3х⁷ +6

   1. 9х⁸ + 21х⁶ +6 b) 9х + 21х⁶ + 6 с) 9х⁸ + 21х⁶ + 6х d)9х⁸ + 21х⁶

2. Найти f ‘ (1), если f(x) = (2x – 3) / (5 – 4x)

   1. – 2 b) 1/4 c) 6

3. Указать, для какой из функций f(x) = 9x² + cosx, g(x) = 4,5x² – sinx, h(x) = 18x + sinx, функция
   y=9x – cosx является производной.

   1. f(x) b) g(x) c) h(x)

4. Найти критические точки для f(x) = 3x⁴ – 2x³

   1. 0 и -1/2 b) 0 и 1/2 с) 0 и 2/3

5. Найти наименьшее значение функции у = х³ – 3х на отрезке [0; 2]

   1. -4 b) -2 c) 0 d) 2

6. Вычислить скорость материальной точки, движущейся по закону s = 2t² – 8t + 11 в момент времени
   t0 = 2с, s – путь в метрах, t – время в секундах

   1. 0 м/с b) 3 м/с c) 11 м/с

7. Указать промежутки убывания функции, если график ее производной имеет следующий вид
   у
   3
   
   
   -3 2 4 х
   
   

   1. [-3; 2] b) [0; 3] c) [2; 4]

8. Определить абсциссу точки, для которой угловой коэффициент к графику функции g(x) = √x – x, равен 1

   1. -1/2 b) 1/16 c) 1/2 d) 1 e) 16

9. Найти точки максимума функции f(x) = x + 4/x

   1. -2 b) -1/4 c) ±2 d) 0 e) 2

10. На каком из данных рисунков изображен график функции, для которой х = - 3 точка максимума, х=4 точка минимума у
    1) у 2) у 3) у 4)
    
    х х х х
    -3 4 -3 4 -3 4 -3 4
    
    

    1. 1 b) 2 c) 3 d) 4

11. Найти производную функции у = xsinx

    1. - cosx b) cosx c) sinx – xcosx d) sinx +xcosx

12. Найти производную функции у = tg²2x

    1. – 4tg2x / sin²x b) 2tg2x c) 4tg2x / cos²2x d) 4tg2x

Открытые задания:

13. Найти производную функции у = (х² – 1)(х² +1) (3б)

14. Написать уравнение касательной к уравнению функции f(x) = x³ + 2x² – 1 в точке x0 = –1 (6б)

15. Доказать, что функция f(x) = (x³ – 3)⁵ возрастает на всей области определения (5б)

16. Исследуйте функцию и постройте ее график у = х⁴ – 2х³ + 3 (8б)

17. Представьте число 12 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей (7б)

18. Найти производную функции (5б)

Контрольная работа по математике в 10 классе за 1 полугодие

1. Вычислить
   [pic]
   

2. Найти длину промежутка возрастания функции,
   график которого изображен на рисунке.
   
   

3. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции .

4. Можно ли провести через середину медианы треугольника прямую, которая не имеет общих точек с его сторонами? Ответ поясните.

5. Вычислить

6. Сколько целых чисел входит в область определения функции .

7. Упростить выражение .

8. Найти площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна .
   
   

9. На одном из рисунков изображен график четной функции. Указать этот рисунок.
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   [pic] [pic]
   

10. Найти значение , где То – наименьший положительный период функции f(x)=4sin2x.

11. Вычислить .

12. Ребро куба равно . Найти площадь полной поверхности куба.

13. Функция у=f(x) определена на всей числовой прямой и является нечетной. На промежутке (0; 6) она задается формулой f(x)=6x – x². Найти f(- 2).
    [pic]
    

14. На рисунке изображен график функции у=f(x).
    Найти: а) точку максимума; б) минимум функции.
    
    
    
    
    
    
    
    

15. Через точку D, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые m и k. Прямая m пересекает плоскости α и β в точках М1 и М2 соответственно, а прямая k – в точках К1 и К2 соответственно. Вычислите длину отрезка DМ2, если М1М2=20дм,
    М1К1 : М2К2 = 3 : 7.