Занятие 2.
Разминка. Аналогия и обоснования.
№1 Сколько разломов нужно сделать, чтобы разломать шоколадку размером 3х5 плиток на единичные кусочки? Каждый раз разламывать можно только один кусок.
№2. Хулиган порвал стенгазету. Каждый кусок он разрывал на три части. Когда попытались собрать стенгазету, нашли 100 кусков. Докажите, что нашли не все обрывки.
№ 3. У князя Гвидона было 2 сына. У 40 из его потомков было по 5 сыновей, а прочие умерли бездетными. Дочерей ни у одного из них не было. Сколько потомков было у князя Гвидона?
Чётность (продолжение).
№ 4. Докажите, что общее число учеников школы, совершивших с другими учениками нечётное число рукопожатий, чётно.
№ 5. По окружности стоят 13 точек двух цветов. Доказать, что найдутся две точки одного цвета, разделённые ровно двумя точками.
№ 6. За круглым столом сидит группа детей. Докажите, что число пар соседей разного пола чётно.
Разбиение на пары.
№ 7. У каждого марсианина три руки. Могут ли 7 марсиан взяться за руки?
№ 8. На стол выложили все костяшки домино по правилам. На одном конце единица, что на другом?
№ 9. Можно ли соединить между собой 7 телефонов так, чтобы из каждого телефона выходило ровно по три провода?
Чётность как неизменное свойство.
№ 10 Имеется 25 белых столбов. Каждый день приходит рабочий и перекрашивает какие-то четыре из них следующим образом: если столб белый, он перекрашивает его в чёрный цвет, а если столб чёрный, он перекрашивает его в белый цвет. Может ли рабочий получить 25 чёрных столбов?
№ 11. 98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?
Симметрия
№ 12. Сколькими способами можно согнуть указанную фигуру так, чтобы её части полностью совместились друг с другом? А) прямоугольник, б) квадрат, в) равнобедренный прямоугольный треугольник, г) круг
№ 13. Докажите, что если 11-тиугольник имеет ось симметрии, то она проходит через одну из его вершин.
№ 14. Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски размером 8х8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть независимо от игры противника, и как ему при этом нужно играть?
№ 15. Разрежьте квадрат на а) два равных шестиугольника, б) два равных семиугольника, г) четыре равных восьмиугольника.
Домашнее задание.
№ 1 Из стакана молока переливают чайную ложку в стакан с кофе, перемешивают, а потом из стакана с кофе переливают чайную ложку в стакан с молоком. Чего теперь больше: молока в кофе или кофе в молоке?
№ 2. Алёша задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на три, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. какое число задумал Алёша?
№ 3. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея чашечные весы, отмерить 9 кг?
№ 4. Имеется кучка из 11 спичек. За один ход разрешается какую-то одну кучку разделить на две ( не ломая спичек). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, независимо от игры другого?
Решения и ответы к занятию № 2.
Разминка. Аналогия и обоснования.
№ 1. При разламывании каждого куска шоколадки на два, общее количество кусков увеличивается на 1 Размер шоколадки 3х5=15 кусочков по 1х1. Потребуется 14 разломов, чтобы получить 15 кусков.
№ 2. При разрывании одного куска на три общее количество кусков увеличивается на 2. Изначально был один кусок (полная стенгазета). Хулиган мог получить только нечётное количество кусков.
№ 3. Каждый потомок Гвидона является чьим-то сыном. Всего 45х2 +2 = 202 чьих-то сыновей.
№4. В каждом рукопожатии участвуют два школьника. Если подсчитать количество рукопожатий каждого школьника и сложить все полученные результаты, то получится удвоенное число рукопожатий – чётное число. Значит количество учеников, совершивших нечётное число рукопожатий, должно быть чётно.
№ 5. Пронумеруем точки. Предположим, что точки, разделённые ровно двумя точками, разного цвета. Пусть №1 – белая, тогда № 4 – чёрная, пропускаем №5, 6, точка № 7 – белая, пропускаем №8, 9, точка № 10- чёрная, пропускаем №11, 12, точка № 13 – белая. Тогда точка №1 должна быть – чёрная, значит наше предположение неверно.
№ 6. Рассмотрим группы сидящих подряд девочек (такая группа может состоять из любого натурального количества девочек). По краям каждой такой группы сидят мальчики, значит, каждая группа сидящих подряд девочек образует ровно две пары соседей разного пола.
Разбиение на пары.
№ 7. Нет. В каждом рукопожатии участвуют две руки. Значит для того, чтобы все взялись за руки, потребуется чётное количество рук.
№ 8. Единица. Костей с единицей всего 7 (1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 1:0, 1:1). Из них у шести костей единица на одном конце и одной на двух. Эти шесть костей должны разбиться на пары, примыкающие друг к другу. Если на одном конце стоит единица, то остаётся пят костей, которые не могут разбиться на пары.
№ 9. Нет. У каждого провода два конца, значит всего концов чётное количество. Если из каждого телефона выходит 3 провода, то всего концов проводов 7х3=21 – нечётное число, что невозможно.
Чётность как неизменное свойство.
№ 10 Нет, не может. Рассмотрим возможные перекрашивания и будем наблюдать как меняется количество белых столбов. 4б в 4ч, количество белых уменьшается на 4. 3б и1ч в 3ч и 1б, количество белых уменьшается на 2. 2б и 2ч в 2ч и 2б, количество белых не изменяется. 1би 3ч в 1ч и 3б, количество белых увеличивается на 2, 4ч в 4б, количество белых увеличивается на 4. Изначально было нечётное количество белых столбов, при любом перекрашивании их количество либо не меняется, либо меняется на 2 и 4, то есть остаётся нечётным. Если бы все столбы стали чёрными, то белых было бы 0, что невозможно.
№ 11. Нет. Если бы произведение этих чисел было нечётным числом, то на каждом коробке было бы написано нечётное число. Но тогда сумма 19-ти нечётных слагаемых былы бы – нечётна, что противоречит условию, что всего 98 спичек.
Симметрия
№ 12 а) двумя, б) четырьмя, в) одним, г) таких способов бесконечно много, так как диаметр – ось симметрии.
№ 13. Вершины 11-тиугольника должны разбиться на пары симметричных. Так их количество 11- нечётное число, то одна из них лежит на оси симметрии.
№ 14. Выигрывает второй. Он ставит слоны симметрично слонам первого игрока относительно вертикальной прямой, делящей доску пополам. Слон второго игрока не будет бить симметричного ему слона первого, так как он будет стоять на клетке другого цвета. Также слон второго игрока не будет бить остальных слонов, так как расстановка слонов симметрична и слон первого игрока не бьёт остальных слонов.
