Тема занятия: «Решение уравнений с параметрами»
Цели:
1.Систематизация знаний учащихся по данной теме. 2.Создание условий для полноценной математической деятельности. З.Познакомить учащихся со способами решения уравнений с параметрами, содержащими знак модуля.
4.0беспечить условия для подготовки к ЕГЭ и для определения дальнейшего профессионального профиля.
Задачи:
1.Развитие интереса к математике. 2. Развитие логического мышления. 3 .Развитие творческих способностей. 4.Систематизация математических методов и приёмов решения задач. 5.Развитие математической культуры учащихся.
Ход занятия:
1. Вступительное слово учителя. 2-3 минуты.
В настоящее время на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ предлагаются задачи и примеры с параметрами, решения которых вызывает большие затруднения у поступающих. Абитуриента, который берется за подобную задачу, поджидает несколько трудностей. Первая состоит в том, что в школьной программе таких задач нет и среднему школьнику трудно даже понять условия задачи. Вторая существенная трудность – логическая. Правильное логическое мышление от природы не дается, его надо развивать даже людям, способным к математике. И это нелегко. Наши занятия являются первым шагом к знакомству с параметром, дальнейшая работа нам предстоит в 11 классе.
Цель занятия – создать целостные представления о теме, рассмотреть задачи посильные для учащихся.
Задачи занятия:
Развивать логическое мышление, творческие способности
Научить решать элементарные уравнения с параметрами и модулем
Человек может стать умным тремя путями: путём подражания – это самый лёгкий путь, путём опыта – это самый трудный путь, и путём размышления – это самый благородный путь.
Китайская пословица.
2. Повторение (разминка). 10-15 минут.
Задания решаются по группам, затем каждая группа защищает свои решения.
№1
Для каждого значения а решите уравнение (а²-1)x=2(а-1).
№2
При каком значении p один из корней уравнения x²-px+6=0 равен 1? В этом случае найдите второй корень.
Познакомить учащихся с тренажером по алгебре для учащихся 7-11 классов.
3. Физкультурная минутка. 1-2 минуты.
Зарядка для глаз. Движения глазами по символу ∞, влево, вправо, вверх, вниз.
4. Объяснение нового материала. 15 минут.
Даны три уравнения с модулем:
а) |х+3|=5;
б) |х+3|=0;
в) |х+3|=-2.
Вопрос: Сколько решений имеет каждое уравнение? От чего зависит количество корней уравнения вида |х+3|=а? И как их найти?
Ответ: Абсолютной величиной или модулем числа х называется само число х, если х≥0, число (-х), если х<0. При решении задач надо освободиться от знака модуля (« раскрыть модули»). Для этого поступают следующим образом: 1) находят значения х, при переходе через которые выражение, стоящее под знаком модуля, меняет свой знак; 2)числовую ось разбивают на промежутки найденными значениями х; 3) уравнение или неравенство решают на каждом из промежутков.
Решим уравнение / х+3/=а этим способом.
Решение: Так как /х+3/≥0,то при а < 0 уравнение решений не имеет.
Если а=0, то по определению /х+3/=0, х+3=0, х=-3.
Пусть а > 0. Точка х=-3 разбивает числовую прямую на два промежутка.
х < -3. В этом случае х+3 < 0 и уравнение принимает вид –х-3 = а ,откуда х = -3-а. Так при а > 0 -а -3 < -3, то х=-а-3 – решение уравнения
-х≥ -3. Имеем х+3 ≥0 и уравнение преобразуем к виду х+3=а, откуда х=а-3.
Так как при а > 0 а-3 > -3, то х=-а-3 – решение уравнения.
Ответ: х= -а-3, х=а-3 при а > 0; х=-3 при а=0; нет решений при а < 0 .
Дано уравнение: |х-1|=|х-2|.
Вопрос: Какими способами решается это уравнение? Как решить уравнение вида
|х-а|=|х-2|?
Ответ: Так как обе части уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получим равносильное уравнение.
/х-а/ = /х-2/; (х-а) = (х-2); после тождественных преобразований которого получим:
2х(а-2) = (а-2)(а+2). При а=2 х – любое, при а≠2 х=0,5(а+2).
Дано уравнение: |х-3|+|х+4|=а.
Вопрос: Попробуйте самостоятельно решить это уравнение.
Ответ: При а<7 решений нет. При а=7 корни х=-4 и х=3. При а>7 решения
х=-0,5(а+1) и х=-0,5(а-1).
5. Подведение итогов. 3-5 минут.
Сегодня на занятии мы повторили решение линейных уравнений с параметрами, решение квадратных уравнений с параметрами, вспомнили решение уравнений с модулем.
На уроке мы узнали, как решаются простейшие уравнения с модулем и параметром, от чего зависит количество корней уравнения.
Главные умения, полученные вами сегодня – это навыки работы с уравнениями с параметрами, содержащими переменную под знаком модуля, а именно вида | f(x)|=a, |f(x)|=|g(x)| и |f(x)|+|g(x)|=a.
Анкета для учащихся:
1-низкий уровень, 2-средний уровень, 3-высокий уровень.
1. Решение линейных уравнений с параметром.
2. Решение квадратных уравнений с параметрами.
3. Решение уравнений с модулем.
4. Решение уравнений с параметром, содержащих переменную под знаком модуля.
5. Сегодняшнее занятие: а) форма проведения;
б) уровень сложности заданий;
в) степень усвоения материала;
г) роль учителя;
д) роль ученика.
Показать учащимся примеры заданий из ЕГЭ, содержащие параметр и модуль (демо-версия 2007 и демо-версия 2009 года).
