Практическая работа № 5
“ Решение систем линейных уравнений матричным способом ”
Цель работы:
1. Познакомиться со способами решения матричных уравнений
2. На конкретных примерах научиться решать системы уравнения с помощью обратной матрицы
Содержание работы:
1. Рассмотрим матричное уравнение: A · X = B
Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения слева на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим
( A−1 · A ) · X = A−1 · B , E · X = A−1 · B, X = A−1 · B.
Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой: X = A−1 · B
Обратите внимание на то, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .
2. Рассмотрим матричное уравнение: X · A = B
Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения справа на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим
X · ( A · A−1 ) = B · A−1; X · E = B · A−1; X = B · A−1 .
Таким образом, искомое решение матричного уравнения: X = B · A−1
Обратите внимание на то, что количество столбцов матрицы B должно быть равно порядку матрицы A.
· X =
.
Решение.
1. Вычисляем обратную матрицу A−1 методом Гаусса:
.
Таким образом, обратная матрица имеет вид
−1 =
.
2. Обе части уравнения умножаем слева на матрицу A−1 .
3. Находим решение уравнения:
B =
·
=
.
Ответ:
.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Систему уравнений можно записать: A×X = B.
Пример. Решить систему уравнений:
[pic]
Х = [pic] , B = [pic] , A = [pic]
Найдем обратную матрицу А-1.
D = [pic] 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11 = [pic] = -5; M21 = [pic] = 1; M31 = [pic] = -1;
M12 = [pic] M22 = [pic] M32 = [pic]
M13 = [pic] M23 = [pic] M33 = [pic]
[pic] A-1 = [pic] ;
Находим матрицу Х.
Х = [pic] = А-1В = [pic] × [pic] = [pic] .
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Приложения:
