Учебно-исследовательский проект Математические неожиданности (8 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Перевозского муниципального района Нижегородской области

«Средняя школа № 1 г. Перевоза»

Учебно-исследовательский

проект по математике

«Математические неожиданности»

Выполнил:

учащийся 8 «б» класса Балабанов Александр

Руководитель:

учитель математики Чиркова Альбина Николаевна

г. Перевоз

2016 г.

Содержание

Введение 3

1. Задача, которая заинтересовала меня 3

2. Что такое "софизм" и "парадокс"? 4

3. Экскурс в историю 4

4. Классификация математических неожиданностей 5

   1. Алгебраические софизмы 5

   2. Геометрические софизмы 5

   3. Арифметические софизмы 6

   4. Логические софизмы 7

5. Многообразие парадоксов 7

   1. Парадокс разности квадратов 7

   2. Парадокс парикмахера 7

   3. Основные типы геометрических парадоксов 8

      1. "Невозможный треугольник " 8

      2. "Бесконечная лестница" 8

      3. "Космическая вилка " 9

      4. "Сумасшедший ящик" 9

6. Имп-Арт - искусство парадоксальных картин 9

7. Выводы 11

8. Практическая значимость 11

Список литературы 11

Введение

Я – ученик 8 «Б» класса МАОУ «Средняя школа № 1 г. Перевоза».

Мой любимый предмет – математика. Уже четвёртый год я занимаюсь исследовательской работой. Я исследовал такие темы, как «История возникновения натуральных чисел» и «Признаки делимости натуральных чисел».

После того, как учительница на уроке алгебры дала решение одной задачи и мы пришли к некоторому так называемому софизму, меня заинтересовали математические неожиданности, которые возникают при решении некоторых задач. Возникло предположение, что такие неожиданности подстерегают нас не только в алгебре, но и в арифметике, и в геометрии.

Применение софизмов и парадоксов на уроках математики могли бы, на мой взгляд, разнообразить уроки математики и вызвать интерес учащихся к этому предмету.

Цель проекта: найти математические задачи, приводящие к парадоксам, исследовать решение этих задач, найти, где скрыты ошибки, подготовить презентацию по этой теме для использования на уроках математики.

Задачи:

• дать определение понятиям «софизм» и «парадокс», узнать,

в чём их отличие;

• классифицировать математические неожиданности;

• научиться находить ошибки в готовых решениях математических задач;

• подготовить презентацию.

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

1. Задача, которая заинтересовала меня

"Спичка вдвое длиннее телеграфного столба!!! "

Представим, что  а дм – длина спички и b дм – длина столба. Пусть разность между b и  a  равна c .

Имеем:

b - a = c, b = a + c.

Перемножим левые и правые части этих равенств, получим:

b² - ab = ca + c².

Из обеих частей вычтем bc. Получим:

b²- ab - bc = ca + c² – bc

или

b(b - a - c) = - c(b - a - c)

Откуда вытекает, что

b = - c, но c = b – a

Поэтому

b = a - b, или a = 2b.    

Где же ошибка???

Ответ: В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на

(b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0, а на нуль делить нельзя. Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

2. Что такое "софизм" и "парадокс"?

История математики полна интересных и неожиданных софизмов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы. Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова).

Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

Парадокс близок софизму. С софизмом их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.

3. Экскурс в историю

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., которые достигли большого искусства в логике.

Однако в Греции софистами называли и простых ораторов – философов-учителей, которые ставили перед собой задачей научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Чтобы в словесном поединке выйти победителем, софисты пользовались часто тем, что противник не очень глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и поэтому не может отличить ложь от истины. В результате такого поединка противник должен был согласиться с софистами и признать себя побежденным, хотя казалось, что истина была на его стороне. Но софисты не являлись учеными. Умение, которое с их помощью должно было быть достигнуто, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

4. Классификация математических неожиданностей

Разбор и решение разнообразных математических задач, особенно нестандартных, помогает развивать логику и смекалку. Именно к таким задачам относятся математические софизмы. В этом разделе работы я рассмотрю четыре типа математических софизмов: алгебраические, геометрические, арифметические и логические.

4.1. Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки наряду с арифметикой и геометрией. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Один из алгебраических софизмов уже был мною рассмотрен ранее. Приведём ещё пример: Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами: цифра десятков на 4 меньше цифры единиц, а если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.

Обозначим цифру десятков через х, а цифру единиц - через у. 

Составим систему уравнений:

Во второе уравнение подставим значение х из первого, получим:

,

а после преобразований:

36 = 27.

Х и у мы найти не смогли, зато мы узнали, что 36=27... Что это значит?

Это означает, что не  существует двузначного числа, удовлетворяющего   поставленным   условиям,   и  что   уравнения, которые мы составили,   противоречат   друг другу.

1. 2. Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

"Катет равен гипотенузе"

Угол С равен 90˚, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, прямая ОК перпендикулярна СА, ОК и ВД пересекаются в точке О, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Получаем, что треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК равен углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL. Получаем, что ВА = ВС.

[pic]

Где же ошибка?

Ошибка заключается в том, что рассуждая о том, что катет равен гипотенузе, мы опирались на ошибочный чертеж, так как точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

1. 2. Арифметические софизмы

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

" Дважды два - пять! "

Рассмотрим следующее очевидное равенство в качестве исходного соотношения: 4:4= 5:5    (1)

Вынесем за скобки общий множитель из каждой части равенства,  получим:

4∙(1:1)=5∙(1:1)  (2)

или

(2∙2)(1:1)=5(1:1)   (3)

Зная, что 1:1=1, устанавливаем из соотношения   (2):     

2∙2=5

Где же ошибка?

В равенстве (2) 4 и 5 не являются множителями, которые мы вынесли за скобки.

1. 2. Логические софизмы

"Софизм учёбы"

(песенка, сочиненная английскими студентами)

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

"Софизм Кратила"

Диалектик Гераклит, провозгласил тезис "все течет" и пояснил, что нельзя войти дважды в одну и ту же реку (образ природы), ибо, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. А его ученик Кратил, из утверждения своего учителя сделал такие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, потому что пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

5. Многообразие парадоксов

5.1. Парадокс разности квадратов

1) Имеем равенство а² - а² = а² - а²;

2) В левой части вынесем общий множитель за скобки, а в правой воспользуемся формулой разности квадратов а(а - а) = (а + а)(а – а);

3) Разделим обе части на (а – а), получим а = а + а;

4) а = 2а.

1. 2. Парадокс парикмахера

В одной деревне жил единственный парикмахер-мужчина. Здесь был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя?

Кажется, что не может, так как это запрещено указом.

Но наряду с этим, если он не бреет себя, то попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.

1. 2. Основные типы геометрических парадоксов

1. 2. 1. «Невозможный треугольник»

[pic]

• Три картины художника шведское правительство решило увековечить на почтовых марках, одной из них стал и "невозможный треугольник".

[pic]

1. 2. 2. «Бесконечная лестница»

• Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

[pic]

1. 2. 3. «Космическая вилка»

[pic] [pic]

1. 2. 4. "Сумасшедший ящик"

• "Сумасшедший ящик", как и многие другие невозможные объекты, основан на неправильных соединениях, которые допущены при рисовании.

[pic]

6. Имп-Арт - искусство парадоксальных картин

Многие известные художники рисовали работы, в основе которых лежали геометрические парадоксы. Эти работы выделяют в отдельное направление изобразительного искусства - "имп-арт", от английских слов impossible ("невозможный") и art ("искусство").

Чтобы убедить зрителя в наличии объёма, перспективы, создать иллюзию пространства в своём произведении, художнику требуется определённое мастерство. Слова М.К. Эшера "Рисовать – значит обманывать" исполнены глубокого смысла. Именно "невозможные фигуры" дают почувствовать масштабы этого обмана.

• Литография М.Эшера "Водопад" основана на фигуре "невозможного треугольника". Здесь два "невозможных треугольника" соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, которая работает по типу вечного двигателя и нарушается закон сохранения энергии.

"Бесконечная лестница" аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи движутся непрерывно по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они по невозможному пути идут навстречу друг другу. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз.

[pic]

[pic]

• В знаменитой гравюре М. Эшера "Бельведер" (1958 год) сидящий мальчик держит "невозможную коробку", которая была непосредственным предшественником "сумасшедшего ящика". Предшественником же невозможной коробки Эшера был, в свою очередь, "куб Неккера".

7. Выводы

Итак, в процессе работы:

• я узнал, что называется "софизмом "и "парадоксом", и в чём их отличия;

• проклассифицировал софизмы в соответствии с разделами математики, к которым они принадлежат;

• рассмотрел четыре основных вида геометрических парадоксов, которые вызвали у меня особый интерес, так как нашли своё отражение в имп-арт – искусстве парадоксальных картин.

8. Практическая значимость

Работая над софизмами, я научился находить ошибки в неверных решениях, например, с осторожностью отношусь к делению на выражение (не равно ли оно нулю?). В геометрических задачах, в первую очередь, обращаю внимание на то, правильно ли сделан рисунок. Я знаю, что на олимпиадах и на ЕГЭ по математике мы встречаемся с логическими задачами. После работы над данной темой мне они стали даваться легче.

Собранный мной материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его на уроках, чтобы привить интерес учащихся к предмету. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Список литературы

1. А. Г. Мадера, Д. А. Мадера " Математические софизмы", Москва, "Просвещение", 2003г.

2. Энциклопедический словарь юного математика.

3. Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К. "Ошибки в математических рассуждениях".

4. Перельман Я. И. " Занимательная математика".

5. Аменицкий Н. "Математические развлечения и любопытные приёмы мышления". М.,1912г.

6. Богомлов С. А. "Актуальная бесконечность " М.; Л., 1934г.

7. Горячев Д. Н., Воронец А. Н. "Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики", М., 1903.

8. Лямин А. А. "Математические парадоксы и интересные задачи", М.1911г.

9. Обреимов В. И. " Математические софизмы", 2-е изд., СПб., 1889г.

11