5
Метод рационализации
Учитель математики МБОУ лицей г.Владикавказ
Сатцаева Нонна Ефимовна
Нередко в заданиях ЕГЭ типа 15 (С3) требуется решить неравенство, которое сложно поддается обычному методу интервалов: корни не всегда очевидны, а вычисление значений функции в промежуточных точках может оказаться довольно трудоемким процессом.
Есть метод сведения неравенств к неравенствам для рациональных функций, которые решаются, как правило, существенно проще. Речь идет о методе рационализации. Решение этим методом неравенств сэкономит время и снизит риск вычислительной ошибки.
Метод рационализации — это весьма мощная процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).
Рассмотрим, как свести действия, по замене одного выражения другим практически до автоматизма, как обойтись без лишних технических «заморочек» и детального анализа выражения каждого типа.
Рассмотри неравенство с модулями. (можем взять любой знак)
Так как модуль определен для любого числа, то говорить о области допустимых значений не нужно.
Умножим обе части данного неравенства на положительное число
Перед нами разность квадратов
, так как ,
, т.е.
Итак, равносильно
Пример:
[pic]
Ответ:.
Пример 2.
Запишем в виде разности
,
, при любом значении х,
[pic]
Ответ: .
Рассмотрим случай, когда в выражении , тогда и .
Рассмотрим неравенства следующего вида . Начнем с области допустимых значений.
ОДЗ:
Умножим обе части на сумму корней :
Итак, равносильно
Пример.;
[pic]
Ответ: .
Пример.
ОДЗ:
Преобразуем числитель дроби:
Знак числителя будет совпадать со знаком разности:
т.е. со знаком
Аналогично, преобразуем знаменатель дроби. Знак знаменателя дроби совпадает со знаком разности
Итак, исходное неравенство равносильно неравенству : [pic]
[pic]
С учетом ОДЗ:
Ответ:
Рассмотрим следующий тип неравенств, которые можно решить методом рационализации.
. ОДЗ:
Решаем обычным способом.
Перепишем в виде
Заметим, что разности и ,должны быть одновременно либо меньше нуля, либо больше нуля. Это возможно только в том случае, если произведение этих разностей будет строго больше нуля. То есть:
Замечание. В исходном неравенстве знак >0, и в замене знак >0. Если бы в
исходном неравенстве был бы знак <0, то и в замене был бы <0.
Итак: .
Частный случай:
пусть , т.е. .
Итак,
-
Пример. ОДЗ:
Преобразуем числитель дроби:
[pic]
Ответ:
Пример: .
ОДЗ:
Перепишем неравенство в виде: , знак данного неравенства совпадает со знаком следующего
[pic]
Данный промежуток входит в ОДЗ.
Ответ: .
Следующий тип неравенств: логарифмические неравенства.
ОДЗ:
Решим обычным способом.
Замечание. В исходном неравенстве знак >0, и в замене знак >0. Если бы в
исходном неравенстве был бы знак <0, то и в замене был бы <0.
Итак: , где
Частные случаи:
; , где
Итак: .
, ,где
Итак:
, , где
Итак:
, где
Пример: .
ОДЗ: .
Знак данного неравенства совпадает со знаком следующего неравенства:
[pic]
С учетом ОДЗ: [pic]
Ответ: .
Пример: .
ОДЗ:
Преобразуем исходное неравенство
[pic]
С учетом ОДЗ: .
