Задачи ЕГЭ на составление различных математических моделей
Задача 1. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на Определите срок хранения вклада.
Решение: Математической моделью задачи является уравнение с четырьмя неизвестными, решаемое в натуральных числах.
Ответ:1+1+3+2=7.
Задача 2. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.
Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц.
Решение.
Пусть x — доля мощностей завода, занятых под производство блинчиков с ягодной начинкой, а y — доля мощностей, занятых под производство блинчиков с творожной начинкой. Тогда x + y = 1, при этом блинчиков с ягодной начинкой производится 90x тонн, а с творожной начинкой — 75y тонн. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что откуда откуда .Прибыль завода с одной тонны продукции с ягодной начинкой равна 100 − 70 = 30 тыс. руб., прибыль с одной тонны продукции с творожной начинкой равна 135 − 100 = 35 тыс. руб., а общая прибыль с произведённой за месяц продукции равна 30 · 90x + 35 · 75y = 2700x + 2625y.
Таким образом, необходимо найти наибольшее значение выражения 75 · (36x + 35y) при выполнении следующих условий:
Подставляя у = 1 − x в выражение 36x + 35y, получаем: 36x + 35(1 − x) = 35 + x. Выражение 35 + x при условиях принимает наибольшее значение при
Значит, наибольшее значение выражения 36x + 35y ,при выполнении условий системы, достигается при Поэтому максимально возможная прибыль завода за месяц равна 2685 тыс. руб.
Ответ: 2685 тыс. руб.
Задача 3. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме Гбайт входящей в него информации выходит 20t Гбайт, а с сервера №2 при объёме Гбайт входящей в него информации выходит 21t Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?
Решение:
Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации. Требуется найти наибольшее значение функции - точка максимума, попадающая в указанный в задаче интервал. Таким образом
Ответ: Гбайт.
Задача 4. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?(500)
Задача 5. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудтся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих? (5 800 000)
Задача 6. Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Решение.
Введём обозначения так, как показано в таблице (выделено цветом), и затем заполним оставшиеся ячейки по данным из условия:
Первый пакет
Второй пакет
Третий пакет
Цена одной акции, тыс. руб.
x
Количество акций в пакете, шт
y
ly
y(l+1)
Цена пакета, тыс. руб.
xy
4xy
5xy
Заметим, что цена одной акции из второго пакета равна тыс. руб., а цена одной акции из третьего пакета равна тыс. руб. Требуется определить наибольшее и наименьшее значение величины , выраженное в процентах. Из условия имеем:
Отрезки [a; b] и [c; d] пересекаются тогда и только тогда, когда а ≤ d и с ≤ b одновременно, поэтому полученная система имеет решения тогда и только тогда, когда:
Решим эту систему на интервале (1; 4):
т. е. искомая доля меняется от 12,5% до 15%.
Ответ: 12,5% и 15%.
Задача 7. Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта – по 30 руб., третьего сорта – по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2‐го сорта меньше массы яблок 3‐го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1‐го сорта меньше массы яблок 2‐го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?(21)
Решение:
Решая систему, получаем y=21.
Ответ:21.
Задача 8. Бриллиант массой 20 карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась на 25,5 %.
а) Найдите массы частей, на которые был разбит бриллиант, если известно, что цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы.
б) На какое максимальное число процентов может уменьшиться цена бриллианта, разбитого на две части?
Решение: Пусть х и у массы частей, на которые разбит бриллиант х + у=20. Тогда стоимость первой части, второй - , суммарная стоимость частей
+=k 0,745×; Корни уравнения 17 и 3. Исследуя функцию = на минимум, получаем x=10, что составляет 50% от первоначальной массы.
Ответ: а) 17 и 3; б) 50%.
Задача9.Незадолго до выборов социологический опрос показал, что 60% избирателей уже решили, за кого из двух кандидатов они будут голосовать. При этом 55% из них решили голосовать за кандидата А. Какой процент из тех, кто еще не определил своего избранника, должен голосовать за кандидата А, чтобы за него проголосовала по крайней мере половина избирателей?
Решение: Пусть общее количество избирателей х. Тогда 0,6×0,55x=0,33x кандидатов определились с выбором. Пусть у еще не определились. Таким образом, 0,33x+0,4у x=0,5x. y=0,425.
Ответ: 42,5%
Задача10.По прогнозу экспертов, цены на квартиры в Москве через год упадут: в рублях на 20%, в евро на 40%. А в Сочи цены в рублях упадут на 10%. На сколько процентов упадут цены в Сочи в евро?
Решение: Пусть 1 рубль стоит x евро. Тогда в процессе падения цен имеем соотношение
0,8 от одного рубля соответствует 0,6x. Таким образом? 1 рубль составляет евро, что соответствует падению евро по отношению к рублю на 25%. В Сочи 0,9 от рубля составляет 0,9 евро и составляет 0,675х.
Ответ: 32,5%.
Задача11. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.
Решение: Пусть у банка имеется А средств. Для того, чтобы получить максимальную и минимальную прибыль составляем выражения:
Ответ: максимальная прибыль 20%, минимальная 5%.
Задача12. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года - y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
Решение:
Математическая модель задачи представляет собой функцию, для которой нужно найти точку максимума. Пусть А – первоначальная сумма, которая есть у вкладчика.
Точка максимума функции х=25.
Ответ: 25%.
