МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Московской области «Ногинский колледж»

подразделение «Балашиха»

И.А. Каверина

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Балашиха

2016

I. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Раздел I. Теория вероятностей

1. Случайные и достоверные события. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение вероятности.

2. Общее определение вероятности: аксиомы Колмогорова.

3. Теоремы сложения. Условная вероятность и независимость событий.

4. Теоремы умножения. Формула полной вероятности и формула Бейеса.

5. Случайные величины: дискретные, непрерывные. Функция распределения и ее свойства.

6. Плотность вероятности распределения непрерывной случайной величины.

7. Числовые характеристики случайных величин (и их вероятностный смысл): математическое ожидание; дисперсия и среднее квадратическое отклонение; мода и медиана; коэффициент вариации; асимметрия, эксцесс.

8. Модельные законы распределения.

1. Биномиальное распределение и его числовые характеристики. Схема Бернулли-схема формирования биномиальной случайной величины. Формула Бернулли. Теорема Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа.

2. Гипергеометрическое распределение и его числовые характеристики. Урновая схема- схема формирования гипергеометрического распределения.

3. Распределение Пуассона и его числовые характеристики.

4. Равномерное распределение. Числовые характеристики.

5. Показательное распределение. Числовые характеристики.

6. Нормальное распределение. Числовые характеристики. Правило 3 сигм.

9. Предельные теоремы: Закон больших чисел; центральная предельная теорема.

10. Система случайных величин. Зависимость случайных величин: ковариация и корреляция.

Раздел II. Элементы математической статистики

1. Первичная обработка данных. Генеральная совокупность и выборка. Полигон и гистограмма.

2. Выборочные оценки числовых характеристик.

3. Теория оценивания. Точечные оценки и их свойства: несмещенность; состоятельность; эффективность. Метод моментов.

4. Оценки максимального правдоподобия и их свойства.

5. Доверительные интервалы для средней и дисперсии нормальной генеральной совокупности.

6. Доверительные интервалы для неизвестной вероятности.

7. Проверка гипотез. Общая схема проверки гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. F, T- критерии.

8. Критерий Колмогорова, Колмогорова Смирнова.

9. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. ²-критерий.

10. Схема дисперсионного анализа.

11. Понятие регрессии. Линейная регрессия. Ошибка линейного прогноза.

12. Метод наименьших квадратов. Выборочное уравнение линейной регрессии.

13. Множественная линейная регрессия. Частные коэффициенты регрессии.

14. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение и его свойство.

II. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

С каждой задачей теории вероятностей явно или неявно связывают случайный эксперимент, проведенный при определенном (неизменяемом) комплексе условий, причем исход случайного эксперимента нельзя однозначно предсказать заранее из-за действия случайных факторов. Считается, что комплекс условий, относящийся к данному эксперименту, может воспроизводиться неограниченное число раз. Такие эксперименты еще называют опытом или испытанием. Наглядными примерами опытов, демонстрирующих действие механизма случайности, являются: подбрасывание монет или игральных костей; разыгрывание лотерейных выигрышей; расклады в карточных играх.

Отдельно взятый результат случайного эксперимента будем называть элементарным исходом и обозначать буквой ω (греческое омега-малое), возможно с индексом . Множество, содержащее все элементарные исходы данного эксперимента называется пространством элементарных исходов и обозначается буквой Ω (греческое омега-большое).

Случайным событием называется такое событие, которое при заданном комплексе условий может, как произойти, так и не произойти в отдельно взятом эксперименте. Очевидно, что случайное событие – состоит из элементарных исходов. Случайные события, как правило, обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, D,... Говорят, что событие А произошло в опыте, если результатом опыта является один из элементарных исходов, входящий в событие А.

Достоверное событие – это событие, которое всегда происходит в опыте. Очевидно, что само Ω является случайным событием и является достоверным.

Невозможное событие – это событие, которое никогда не происходит в опыте и обозначается оно Ø. Очевидно, что невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода.

Отметим, что введенные понятия относятся к категории теоретико-множественных, следовательно, могут быть описаны следующими способами:

1. перечислением элементов;

2. словесное описание данного множества;

3. при помощи характеристического свойства.

Классическое определение вероятностей. Пусть выполнены следующие условия:

1. множество элементарных исходов Ω конечно;

2. все исходы равновозможны.

Тогда вероятность события A определяется по формуле

Замечание 1.1. По поводу обозначения: Probability – вероятность.

Замечание 1.2. Урновая схема: все исходы нумеруются; им ставятся в соответствии шары с теми же номерами; шары опускаются в урну и перемешиваются. Случайным образом достают шар (или серию шаров) из урны. Так можно имитировать случайный эксперимент с равновозможными исходами. Следовательно, классическое определение используется только в случае, если исходную задачу можно свести к «Урновой схеме», тогда условие «равновозможности исходов» становится очевидным.

Пример 1. Эксперимент: бросается игральная кость. Результат эксперимента {на верхней грани i точек}, . Следовательно . Определим события:

A={выпало четное число точек } = .

В={число точек меньше трех} = .

С={выпала хотя бы одна точка} = Ω – достоверное событие.

Найдем вероятности данных событий по классическому определению:

;.

Отметим, что вероятность достоверного события (всегда 1), а вероятность невозможного 0.

Пример 2. Подбрасывают три монеты. Найти вероятность того, что выпадет не менее двух гербов.

Решение: Результат, где - герб {Г} или решка {Р}. Опишем пространство элементарных исходов и обозначим его Ω (ПЭИ).

,Ω = {(Г,Г,Г), (Г,Г,Р), (Г,Р,Г), (Г,Р,Р), (Р,Г,Г), (Р,Г,Р), (Р,Р,Г), (Р,Р,Р)}, n=8- общее число исходов..

Множество А = {(ГГГ), (ГГР), (ГРГ), (РГГ)} является случайным событием состоящим в том, что выпадет не менее двух гербов. Событие А происходит, если осуществляется одна из этих четырех комбинаций.

m=4- число исходов благоприятствующих А. Тогда по классическому определению вероятности .

Ответ: 0,5.

Пример 3. Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень в 45 случаях. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень.

Решение: Подсчитаем относительною частоту события

А={стрелок поразит мишень при одном выстреле}.

.

Таким образом, искомая относительная частота (А)=0,45.

Ответ: 0,45.

Пример 4. Вероятность того, что событие А произойдет в опыте равна 0,75; вероятность того, что событие В произойдет в опыте- 0,4. Вероятность того, что оба события произойдут в опыте равна 0,25. Найти вероятность того, что хотя бы одно событие произойдет в опыте.

Решение: Обозначим: А={событие А произошло в опыте},

В={событие В произошло в опыте}. Тогда АВ={события А и В произошли в опыте одновременно}. Р(А)=0,75; Р(В)=0,4; Р(АВ)=0,25.

Используя теорему о сумме двух совместных событий, получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,75+0,4-0,25=0,9.

Ответ: 0,9.

Пример 5 Деталь проходит три операции обработки. Вероятность появления брака во время первой операции равна 0,02, второй- 0,01, третьей- 0,03. Найти вероятность: а) выхода стандартной детали, считая появление брака во время отдельных операций независимыми событиями; б) выхода бракованной детали.

Решение: а) введем события:

А={на выходе появилась стандартная деталь},

Аi={i-я операция обработки прошла без брака}, i=1,2,3. Тогда А=А1А2А3.

По условию задачи Р(А1)=0,98; Р(А2)=0,99; Р(А3)=0,97.

Используя теорему умножения для независимых событий, получаем

Р(А)=Р(А1А2А3)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)=0,980,990,97=0,9411.

б) ={на выходе появилась бракованная деталь}.

Тогда

Ответ: а) 0,9411, б) 0,0589.

Пример 6. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0, 6, а второй - с вероятностью 0, 7. Первый делает 2 выстрела по цели, а второй- 3 выстрела. Найти вероятность того, что ни одна пуля не попала в цель.

Решение. Пусть А = {ни одна пуля не попала в цель}, А1 = {попадание в цель первым стрелком при одном выстреле}, А2 = {попадание в цель вторым стрелком при одном выстреле}. Тогда. Так как первый и второй стрелки стреляют независимо друг от друга, то

= 0,16  0,027 = 0,004.

Ответ: 0,004.

Пример 7. Партия из 100 деталей, среди которых 5 бракованных, подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой?

Решение. Пусть А = {партия деталей не принята}, a Bk = {каждая проверенная деталь доброкачественная}, k = 1, 2, 3, 4, 5. Будем искать вероятность противоположного события А = {партия деталей принята}. Очевидно, Следовательно, P(A) = P(B1B2B3B4B5) = P(B1)P(B2 /B1)P(B3 /B1B2)P(B4 /B1B2B3 ). Вероятность события B1 :, т.к. всего деталей 100, а пригодных 95. После осуществления события B1 деталей остается 99, среди которых пригодных 94, по этому Аналогично,

Таким образом, Тогда .

Ответ: 0,23.

Пример 8. Партия деталей содержит 70% деталей первого завода и 30% деталей второго завода. Вероятность того, что деталь с первого завода проработает без отказа более 1000 часов (надежность) равна 0,95 , а для деталей со второго завода эта вероятность равна 0,9.

а) Найти вероятность того, что случайно взятая из партии деталь проработает без отказа более 1000 часов.

б) Деталь прошла испытание и проработала безотказно 1000 часов. Найти вероятность того, что она с первого завода.

Решение: а) введем события

А={деталь проработает без отказа более 1000 часов},

Hi={взятая деталь с завода i} , i=1,2, по условию задачи

P(H1)=0,7 ; P(H2)=0,3 ; P(A/H1)=0,95 ; P(A/H2)=0,9.

По формуле полной вероятности

P(A)= P(H1) P(A/H1)+ P(H2) P(A/H2)=0,70,95+0,30,9=0,935

Таким образом партия деталей (большое количество) будет содержать где-то 93,5% деталей с заданной надежностью.

б) сохраним обозначения п. а). по формуле Бейеса

Ответ: а) 0,935, б) 0,7112.

Пример 9. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Требуется построить функцию распределения, найти математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратичесоке отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.

Х

-4

0

8

Р

0,2

р

0,6

Решение: р=1-(0,2+0,6)=0,2

МХ=-40,2+00,2+80,6=4

DX=MX²-(MX)²=(-4)²0,2+0²0,2+8²0,6-(4)²=25,6

Среднее квадратическое отклонение

коэффициент вариации

Мода(Х)=8, т.к. 8 имеет наибольшую вероятность, равную 0,6.

Коэффициент асимметрии

График функции распределения

х

Пример 10. Случайная величина Х имеет плотность распределения

Найти: а) коэффициент а; б) вероятность того, что в результате испытания с.в. Х примет значение, заключенное в интервале (0, ).

Решение. а) Коэффициент а найдем из условия . В нашем случае

или

Мх=- математическое ожидание.

б) Найдем вероятность того, что с.в.  примет значение, заключенное в интервале (0, )

Ответ: а) , б)

Пример 11. Вероятность того, что в данный день торговая база уложится в норму расходов на транспорт, равна 0,8. Какова вероятность того, что за три рабочих дня база уложится в норму 2 раза. Найти числовые характеристики с.в. Х- число дней, когда база укладывается в норму транспортных расходов в течение трех рассматриваемых дней.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли, а следовательно с.в. Х имеет биномиальное распределение. По условию задачи n=3 , p=0,8.

Тогда

Основные числовые характеристики с.в. Х равны:

а) математическое ожидание

MX= np=30,8=2,4;

б) дисперсия

DX= npq=30,80,2=0,48; q=1-p=0,2

0,7;

в) коэффициент вариации

;

г) коэффициент асимметрии

;

д) коэффициент эксцесса

;

е) Мода (наивероятнейшее число) находится из неравенства

np-qМода(Х)<np+p , т.е.

30,8-0,2Мода(Х)<30,8+0,8

2,2Мода(Х)<3,2Мода(Х)=3.

Ответ: 0,364; 0,0589.

Пример 12. В условиях предыдущего примера, найти вероятность того, что из 100 рабочих дней торговая база уложится в норму транспортных расходов:

а) ровно 80 раз;

б) от 75 до 85 дней включительно.

Решение: а) в нашем случае n=100; p=0,8; q=0,2.

Воспользоваться точной формулой для вычисления Р(Х=80) практически невозможно, поэтому воспользуемся приближенной. Так как npq=1000,80,2=16>9,

то применим локальную теорему Муавра- Лапласа.

,

(0)- найдено по таблице 3 приложения-плотности нормального распределения N(0,1);

б) воспользуемся интегральной теоремой Муавра- Лапласа.

=2Ф(1,25)=20,39435=0,7887

здесь Ф(Х)- функция Лапласа, значение которой найдено по таблице 4 приложения.

Ответ: а) 0,0997, б) 0,7887.

Пример 13. Вероятность того, что наборщик ошибется при наборе знака равна 0,0001. Найти вероятность того, что набирая 30000 знаков, наборщик допустит:

а) ровно 3 ошибки;

б) от 2 до 4 ошибок включительно.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли с параметрами n=30000, p=0,0001.

Тогда npq=300000,00010,99993<9, поэтому для вычисления отдельных вероятностей воспользуемся теоремой Пуассона:

, =np, k=0,1,2,...

а)воспользуемся таблицей 1 приложения, получим

, =np=3.

б)

=0,22404+0,22404+0,16803=0,61611.

Ответ: а) 0,22404, б) 0,61611.

Пример 14. Из урны содержащей четыре белых и шесть черных шаров, наудачу извлекают три шара. Какова вероятность, что среди них два черных шара. Найдите числовые характеристики с.в. Х- число черных шаров из вынутых трех шаров.

Решение: Мы находимся в схеме формирования с.в. Х имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами (N,p,n):

, k=0,1,2,... q=1-p.

В нашем случае:

N=6+4=10 - общее число шаров в урне;

n=3 - число шаров, которые достаются из урны;

Np=6 - количество черных шаров,  p=6/N=6/10=0,6 (p связано с черными шарами, т.к. Х- тоже связано с черными шарами);

Nq=4 - число белых шаров, q=0,4.

Итак: .

Числовые характеристики с.в. Х равны

MX=np=30,6=1,8 ;

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Коэффициент асимметрии

.

Пример15. С.в. Х имеет распределение Пуассона со средним равным 1,5. Найти числовые характеристики Х. Вычислить вероятности:

а) Р(Х=0); б) Р(Х1); в) Р(Х>7).

Решение: Для с.в. имеющей распределение Пуассона с параметром  известно, что МХ=. Следовательно, из условия задачи (среднее) МХ=1,5 находим, что =1,5.

Числовые характеристики Х равны:

математическое ожидание МХ==1,5,

дисперсия DХ==1,5,

среднее квадратическое отклонение ,

коэффициент вариации ,

коэффициент асимметрии ,

коэффициент эксцесса .

Моду с.в. Х найдем по таблице 1 приложения:

мода(Х)=1, т.к. Х=1 имеет наибольшую вероятность,

а) По таблице 1 находим Р(Х=0)=0,22313;

б) Р(Х1)=1-Р(Х=0)=0,77687;

в) Р(Х>7)=0,00017.

Эта вероятность найдена по таблице 2 приложения, она настолько мала, что можно считать, что больше 7 событий практически не происходят.

Ответ: а) 0,22313, б) 0,77687, в) 0,00017.

Пример 16. С.в. Х имеет показательное распределение с параметром =2. Найти числовые характеристики с.в. Х и вычислить Р(1<X<3).

Решение: Числовые характеристики с.в. Х вычисляются по формулам:

-математическое ожидание;

-дисперсия;

-среднее квадратическое отклонение;

V(X)=100% -коэффициент вариации всегда равен 100% ;

Медиана(Х)=.

График плотности с.в. Х имеет вид изображенный на рис.1. Из этого графика видно, что локальный максимум плотности находится в точке х=0. Следовательно Мода(Х)=0.

Коэффициент асимметрии Аs=2 (всегда 2).

Коэффициент эксцесса Ех=6 (всегда 6).

рис.1

.

Ответ: 0,1329.

Пример 17. С.в. Х имеет нормальное распределение с параметрами а=150, ²=36.

а) найти числовые характеристики с.в. Х;

б) выпишите плотность с.в. Х и изобразите эскиз графика плотности;

в) найти границы за которые практически не выходит с.в. Х;

г) вычислить Р(135<X<165).

Решение:

а) найдем числовые характеристики Х:

МХ=Мода(х)=Медиана()=а=150,

D(X)=²=36(x)===6.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны 0. Коэффициент вариации .

б) выпишем плотность с.в. Х:

[pic]

Рис. 2

в) Используя правило 3 сигм, можно утверждать, что с.в. Х практически (с вероятностью 0,9973) не выйдет за границы интервала а-3<X<a+3, т.е. 150-36<X<150+ 36132<X<168.

г) Р(135<X<165)=Ф =

Здесь Ф()-функция Лапласа, значение которой найдено по таблице 4 приложения. Отметим свойство функции Ф(х):Ф(-х)=-Ф(х),

поэтому Ф(-2,5)=- Ф(2,5)=-0,49379.

Ответ: а) 150, 6, б) в) 132<X<168, г)

Пример 18. Найдите выборочные числовые характеристики по выборке: 3,5,6,3,3,6,3,7,5,5,3.

Решение: Построим статистический ряд частот:

Варианты хi

3

5

6

7

Частота ni

5

3

2

1

Объем выборки n=n1+n2+n3+n4=5+3+2+1=11.

Среднее равно: .

Несмещенная оценка дисперсии

Оценки являются несмещенными "хорошими" для математического ожидания и дисперсии, т.к. выборка является малой.

Мода (Х)=3, т.к. значение 3 встречается большее число раз (пять).

Построим вариационный ряд: 3,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7

Т.к. n-нечетно (n=11), то на месте (n+1)/2=6 в вариационном ряде стоит медиана: Медиана(Х)=5.

Коэффициент асимметрии

Аs=

.

Пример 19. По выборочным данным найти моду, медиану. Построить гистограмму.

Интервал

Частота ni

5-11

18

11-17

25

17-23

14

23-29

8

29-35

2

Решение: Построим гистограмму частот

Для удобства вычислений составим таблицу.

Интервал

Середина интервала

Частота ni

Накопленная частота

5-11

8

18

18

11-17

14

25

43

17-23

20

14

57

23-29

26

8

65

29-35

32

2

67

=67

При вычислении

=

Медиана оценивается по формуле

Медиана= L+i

Здесь L- нижняя граница интервала, в котором находится медиана (медианный интервал);

i- величина медианного интервала;

n- объем выборки;

f- частота медианного интервала;

F- накопленная частота интервала, предшествующему медианному.

В нашем случае n=67, следовательно, медиана равна члену, стоящему на (n+1)/2=34-м месте в вариационном ряду. По накопленным частотам заключаем, что этот член находится в интервале (11,17). Следовательно, медианный интервал (11,17). Тогда L=11, i=6, (n+1)/2=34, f=25, F=18 и, следовательно

Медиана = 11+6

Мода находится по формуле

Мода= L+i

где L- нижняя граница модального интервала,

i- величина модального интервала

fмо, fмо-1, fмо+1 частота модального, предшествующего модальному и следующего за модальным интервала.

В нашем случае модальный интервал [11,17], т.к. имеет наибольшую частоту. Тогда L=11, i=6, fмо=25, fмо-1=18, fмо+1=14;

Мода =

Ответ: 15,6; 42,5; 14,84; 13,33.

Пример 20. Найти 97,5% доверительный интервал для неизвестного параметра а нормально распределенного признака, если известно =7,3. По выборке объема n=64 найдено .

Решение: Требуемый доверительный интервал равен

, где надежность =0,975 позволяет найти U из уравнения 2Ф(U)=0,975. Из таблицы 4 приложения находим U=2,24. Тогда

,

120,3-2,044<a<120,3+2,044,

118,256<a<122,344.

Ответ: 118,256<a<122,344.

Пример 21. В условиях предыдущего примера, определите минимальный объем выборки, чтобы с надежностью =0,975 точность оценки была не больше 0,5.

Решение: Точность оценки зависит от выражения

.

Подставляя U=2,24 ; ²=7,3²=53,29 ; ²=0,5²=0,25, получим

Таким образом минимальный объем выборки должен составлять 1070 измерений.

Ответ:1070.

Пример 22. По выборке объема n=25 найдены Считая, что наблюдаемый признак имеет нормальное распределение найдите доверительный интервал с надежностью 0,9.

Решение. Искомый доверительный интервал равен где находится по таблице 5 приложения: Здесь =1-=0,1; К=n-1=25-1=24, тогда t0,1(24)=1,711. Итак, ; 16,3-0,71<a<16,3+0,7, 15,59<a<17,01.Ответ: 15,59<a<17,01.

Пример 23. Признак имеет нормальное распределение. По выборке объема n=30 найдена оценка дисперсии S² =1,5. Найдите 95% доверительный интервал для дисперсии.

Решение: Доверительный интервал определяется так

.

Здесь =1-0,95=0,05; тогда из таблицы 7 приложения находим .

Ответ: 0,95<²<2,7.

Пример 24. Произведено 529 испытаний, в которых события А наблюдалось 70 раз. Найдите 93% доверительный интеграл для вероятности р события А.

Решение. Искомый доверительный интервал находится так: р1<p<p2, где , здесь =0,93, U находится из уравнения Ф(U)=/2=0,465 по таблице 4 функции Лапласа находим U=1,811. Вычислим

Итак: 0,1323-0,0267<p<0,1323+0,0267.0,1056<p<0,159.

Ответ: 0,1056<p<0,159.

Пример 25. Необходимо проверить точность работы двух агрегатов А и В по контролируемому признаку. Для этого были взяты две выборки nA=9, nB=12 соответственно, по которым найдено . Требуется проверить гипотезу о том, что точность работы агрегатов одинакова, если известна, что контролируемый признак имеет нормальное распределение.

Решение: Проверку проведем по F-критерию: , здесь

m1=nA-1=9-1=8, т.к. А имеет большую дисперсию

m2=nВ-1=12-1=11. По таблице 6 приложения, находим при =0,1 Fкр=F(/2=0,05;8;11)=2,95. Т.к. Fнаб.<Fкр., то нет основания считать, что точность работы агрегатов разная.

Пример 26. Нужно проверить влияние двух различных кормовых добавок на увеличение веса свиней. Для этого 10 свиней кормили с добавкой А, а других 8 с добавкой В. По выборочным данным вычислено

Решение. Выбираем уровень значимости возьмем =0,1.

Первый этап. Проверим гипотезу о равенстве дисперсии .

Т.к. Fнаб<Fкр, то гипотезу о равенстве дисперсий принимаем.

Второй этап. Проверим гипотезу о равенстве увеличения веса для двух добавок (Н0:МХ=МУ). Используем t – критерий:

Выберем =0,05. Найдем для k=n1+n2-2=10+8-2=16 степеней свободы по таблице 5 приложения tкр=t(0,05;16)=2,12. Т.к.tнаб>tкр, то различия признаются существенными. Следовательно добавка В дает больший привес в весе.

Пример 27. Фактический сбыт в шести районах характеризуется таблицей (выборкой).

Район

1

2

3

4

5

6

Объем сбыта

90

130

110

85

75

110

Согласуются ли эти результаты с предложением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков?

Решение: Выберем уровень значимости =0,05. Если гипотеза Н0: сбыт одинаков - верна, то теоретически объем сбыта в 600 у.е. (90+130+ +110+85+75+110=600) должен распределиться одинаково по шести районам, т.е. по 100 у.е. на каждый район. Дальнейшие вычисления сведем в промежуточную таблицу.

Район
1 2 3 4 5 6	90 130 110 85 75 110	100 100 100 100 100 100	100 900 100 225 625 100	1 9 1 2,25 6,25 1
				20,5

Таким образом:

Т.к. мы не оценивали ни один параметр, то по числу степеней свободы k=6-1=5 и уровню значимости =0,05 по таблице 7 приложения находим , то различие в сбыте по районам признается значимым и не может быть объяснено действием случайного фактора.

Пример 28. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки:

10-12

12-14

14-16

16-18

18-20

20-22

22-24

Частота

2

4

8

12

16

10

3

Решение: Для проверки гипотезы будем использовать критерий Пирсона. Уровень значимости выберем =0,1. Т.к. нормальное распределение определяется двумя параметрами а и ², то оценим их по выборке, объем которой равен:

n=2+4+8+12+16+10+3=55.

Среднее равно:

Несмещенная оценка дисперсии

Для удобства вычисления статистики будем промежуточные результаты вносить в таблицу. Объединим крайние интервалы с соседними, так, чтобы выполнилось условие

Здесь Рi- вероятность того, что с.в. Х попадает в соответствующий интервал i при условии, что она имеет нормальное распределение с параметрами а=17,84; ²=8,53 (=2,92). Например, используя таблицу 4 приложения, находим:

Значения в V столбце вычисляются так:

и т.д.

Значения в VI столбце вычисляются так:

Тогда сумма VI столбца даст значение

Теперь найдем по таблице 7 приложения при уровне значимости =0,1. Т.к. после объединения интервалов у нас осталось r=5- интервалов и по выборке мы оценили два (S=2) параметра а и , то для нахождения параметр число степеней свободы будет равен k=r-s-1=5-2-1=2.

Тогда

Так как (т.е. 0,928<4,61), то гипотезу о нормальном распределении можно принять.

Пример 29. Построить линию регрессии в виде Можно ли использовать ее в дальнейших прогнозах?

xi

4

5

8

8

10

12

yi

0,5

4,2

12,7

13,6

19,2

24,8

Решение: Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид , где

-условная средняя (при фиксированным х);

-выборочные средние;

-несмещенные оценки дисперсии;

rB- выборочный коэффициент корреляции:

Приступим к вычислениям

n=6, т.к. наблюдалось 6 точек вида (xi;yi);

Sx=3 ; Sy=9,06

=40,5+54,2+812,7+813,6+1019,2+1224,8=723

rB=(723-67,8312,5)/(639,06)=0,832.

Уравнение регрессии: .

Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции, т.е. H0: r=0, H1:r0.

Вычислим статистику критерия:

По уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы k=n-2=6-2=4 из таблицы 5 приложения находим двухстороннюю критическую область tкр=2,776. Так как tнаб>tкр , то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем, т.е. считаем, что r0.

Найдем, коэффициент детерминации

Так как R²<0,75 (0,75-шаблонное значение), то уравнением регрессии пользоваться не рекомендуется.

В дальнейшим, т.к. зависимость между X и Y существует (r0), следует либо изменить вид зависимости, либо увеличить число наблюдений и провести анализ зависимости снова.

Вопросы к экзамену

1. Пространство элементарных исходов. Случайные события и операции над ними.

2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятностей. Пример.

3. Размещения, сочетания, перестановки. Свойства сочетаний.

4. Геометрическое определение вероятности. Пример.

5. Условная вероятность. Обоснование формулы условной вероятности в классическом случае. Формула умножения вероятностей. Независимость событий.

6. Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример.

7. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Пример. Предельные теоремы Пуассона и Муавра – Лапласа.

8. Случайная дискретная величина. Ряд распределения. Пример.

9. Функция распределения и ее свойства. Пример.

10. Непрерывная с. в. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

11. Математическое ожидание дискретной и непрерывной с. в. и его свойства.

12. Дисперсия и ее свойства.

13. Мода и медиана распределения. Начальные и центральные моменты случайная величина

14. Дискретное распределение: биномиальное, Пуассона, геометрическое и их характеристики.

15. Равномерное и показательное распределение и их основные характеристики. Лемма о равномерном распределении.

16. Нормальное распределение и его характеристики. Лемма о нормальном распределении. Вероятность событий, связанных с нормальным распределением.

17. Двумерная функция распределения и ее свойства. Связь с одномерными ф.р.

18. Система двух дискретных случайная величина Матрица распределений. Связь с рядами распределения одномерных случайная величина

19. Ковариация. Коэффициент корреляции и его свойства. Ковариационная матрица.

20. Условное математическое ожидание и его свойства.

21. Условные законы распределения дискретных и непрерывных случайная величина Понятие регрессии. Уравнение регрессии.

22. Независимость дискретных и непрерывных случайная величина Критерии независимости.

23. Неравенство Чебышева. Следствие.

24. Понятие о законе больших чисел. Закон больших чисел в форме Чебышева. Следствие.

25. Закон больших чисел в форме Бернулли.

26. Понятие о центральной предельной теореме. Центральная предельная теорема для независимых, одинаково распределенных случайная величина

27. Понятие выборки и генеральной совокупности. Выборочный метод. Выборочное распределение и его характеристики. Понятие статистики.

28. Распределение ^, Стьюдента, Фишера. Понятие критических точек.

29. Лемма Фишера. Лемма о распределениях Стьюдента и Фишера.

30. Точечные оценки неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность, эффективность. Выборочное среднее и дисперсия как оценки.

31. Метод моментов и метод максимального правдоподобия.

32. Интервальные оценки неизвестных параметров. Доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии нормального распределения генеральной совокупности.

33. Статистическая гипотеза. Критерий. Критическая область. Ошибки первого и второго ряда. Критерии Пирсона. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности.

34. Понятие регрессии. Линейная регрессия. Ошибка линейного прогноза.

35. Метод наименьших квадратов. Выборочное уравнение линейной регрессии.

36. Множественная линейная регрессия. Частные коэффициенты регрессии.

37. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение и его свойство.

Правила выполнения и оформления контрольных работ

При выполнении контрольных работ (далее К.Р.) необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Каждая К.Р. выполняется в отдельной тетради в клетку (или распечатывается на бумаге формата А4) чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной не менее 2 см для замечаний рецензента.

2. Внешнее оформление К.Р.: на обложке тетради должны быть ясно написаны название учебного заведения; название дисциплины; вариант; фамилия студента, его инициалы; проставлена дата ее сдачи и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по соответствующему варианту. В случае не выполнения этого требования ставится «незачет».

4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

5. К.р. представляется не позднее установленных сроков. В случае не выполнения этого требования проверка К.Р. производится в неустановленные сроки (после сессии).

6. Если К.Р. «не зачтено», то ее необходимо переделать в соответствии с указаниями, данными в рецензии, и с надписью «повторная», сдать на проверку, приложив рецензию к работе.

7. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

8. К.Р. с оценкой «зачет» обязательно представляется на экзамене (зачете).

Таблица выбора заданий по вариантам для выполнения контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Номер варианта соответствует номеру в списке группы.

III. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАДАНИЕ 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

1. В ящике находится 60 красных и 30 белых шаров. Наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что он а) красный б) белый

2. Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) три; б) меньше трех.

3. Случайным образом выбирается число из множества 1,2,3,4,5,6,7,8. Какова вероятность, что а) оно четно; б) четное и делится на 4.

4. Студент знает 15 вопросов из 25. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент а) знает б) не знает.

5. Монета подбрасывается дважды. Построить множество элементарных исходов. Рассчитать вероятность того, что хотя бы один раз выпадет "герб".

6. Из колоды в 36 карт случайным образом достается одна. Какова вероятность того, что а) эта "картинка"; б) дама черви или король черви.

7. Из слова "математика" наугад выбирается одна буква. Какова вероятность, что это будет а) буква "М"; б) гласная буква

8. В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет, попадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов по 50 руб. и на 60 билетов по 10 руб. Некто покупает 1 билет. Какова вероятность, что он выиграет а) 50 рублей; б) не менее 50 рублей.

9. Некто, набирая номер телефона, забыл последнюю цифру. Какова вероятность, что набирая ее случайным образом, он правильно наберет номер.

10. Подбрасывают три монеты. Найти вероятность того, что выпадет не более двух гербов.

ЗАДАНИЕ 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

1. Для определения доли бракованных изделий были взяты случайным образом 200 изделий. При проверке оказалось, что среди них 5 бракованных. Какова вероятность, что произведенная деталь является а) бракованной б) стандартной.

2. Обследование показало, что из 1000 зашедших в магазин потенциальных покупателей, действительно приобрело товар 190. Какова вероятность того, что зашедший в магазин человек а) приобретет товар б) не приобретет товар.

3. Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень 57 раз. Какова вероятность, что стрелок поразит мишень.

4. Из 500 телевизоров 490 проработало без поломок 10 000 часов и более. Какова вероятность, что произведенный по данной технологии телевизор проработает не менее 10 000 часов без поломок.

5. За последние 100 дней курс доллара повышался 25 раз. Какова вероятность, что на следующих торгах курс доллара повысится.

6. Статистика показала, что из последних 1000 новорожденных 560-мальчики. Какова вероятность того, что следующий новорожденный будет мальчик.

7. Из 1000 случайно отобранных семей у 350 доходы были выше 1000 у.е. Какова вероятность, что отдельная семья имеет доход выше 1000 у.е.

8. При аттестации 100 сотрудников не аттестованными оказались 8. Какова вероятность пройти аттестацию у данной категории сотрудников.

9. Относительная частота появления бракованных изделий на автоматической срочной линии составляет 0,02. Сколько проверялось изделий, если известно, что бракованных было 8?

10. Из 1000 проверенных деталей оказалось, что 110 из них с дефектом. Какова вероятность, что приобретенный товар является с дефектом?

ЗАДАНИЕ 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

1. Вероятность того, что студент изучает английский равна 0,8, а немецкий 0,3. Вероятность того, что студент изучает оба языка равна 0,2. Найти вероятность того, что случайно взятый студент а) изучает хотя бы один язык; б) не изучает ни одного.

2. Вероятность того, что индекс N ценной бумаги А возрастет равна 0,4, а для ценной бумаги В эта вероятность равна 0,3. Вероятность того, что индекс N возрастет одновременно для обоих ценных бумаг равна 0,15. Какова вероятность того, что а) индекс N возрастет хотя бы для одной ценной бумаги; б) индекс N не возрастет ни у одной ценной бумаги.

3. По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,1 и 0,2. Тогда вероятность банкротства только одного предприятия равна…

4. Брошены две игральные кости. Событие А={выпадение шестерки на первой кости}. Событие В={сумма выпавших очков равна 7}.Являются ли события А и В независимы?

5. Случайным образом выбирается число из множества S={1,2,3,4,5,6,7}. Рассмотрим события А={1,2,3} и В{2,4,6}. Являются ли события А,В- независимыми?

6. В группе из 1000 человек, 450 имеют текущие счета, 320-депозитные счета, 270-и текущий и депозитный счета. Являются ли события "обладание депозитным счетом" и "обладание текущем счетом" независимыми?

7. Технологический процесс контролируется тремя независимо работающими приборами, вероятности отказа которых 0,1;0,1;0,2 соответственно. Определите вероятность выхода из строя хотя бы одного прибора.

8. Вероятность того, что стрелок №1 попадет в цель равна 0,8, а для стрелка №2-0,6. Вероятность того, что оба стрелка попадут в цель равна 0,5. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

9. Случайным образом выбирается число из множества S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Событие А={взятое число <5}, В={взятое число >6}. Используя теорему сложения, найдите вероятность того, что взятое число принадлежит хотя бы одному множеству А или В.

10. Рабочий обслуживает три станка, вероятности отказа станков в течении смены р1=0,4; р2=0,25; р3=0,15 соответственно. Найти вероятность того, что в течении смены откажут ровно два станка.